江苏中职数学学业水平测试指导用书第五章三角函数.docx

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江苏中职数学学业水平测试指导用书第五章三角函数

第五章三角函数

§5.1角的概念推广

【知识要点】

1．角的概念的推广

（1）角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置分别称为角的始边和终边．

（2）正角、负角和零角

一条射线绕着端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．

2．象限角和非象限角

为了方便，经常在平面直角坐标系中研究角.让角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，规定：

角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角。

角的终边在坐标轴上时，这个角不属于任何象限，称为非象限角。

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角（连同角α在内），可组成一个集合{β|β=α+k360，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和的形式。

【基础训练】

1．一条射线绕着端点按方向旋转形成的角叫做正角；按方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，那么把它看成角。

2．30角是第象限角；120角是第象限角；315角是第象限角；-60角是第象限角。

3．0角的终边在；90角的终边在；180角的终边在；270角的终边在；-90角的终边在。

4．与90终边相同的角的集合是；与820终边相同的角的集合是；与-496终边相同的角的集合是。

【能力训练】

1．下列命题中正确的是（）。

A．终边在y轴正半轴上的角是直角　B．终边相同的角一定相等

C．第四象限角一定是负角D．锐角一定是第一象限角

2．下列角中与130°角终边相同的角是（）。

A．1000°B．-630°C．-950°D．-150°

§5.2弧度制

【知识要点】

1．角度制和弧度制

用角度作单位来度量角的制度叫做角度制；用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。

2．1弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad。

规定：

正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0。

3.弧度与角度的换算关系：

180°=πrad；1°=

rad≈0.01745rad；1rad=

≈57.3°

4.弧长公式及扇形面积公式：

（1）弧长公式：

l=|α|r

（2）扇形面积公式：

【基础训练】

1．角度与弧度的互化

（1）18°=；

（2）-67.5°=；（3）

，（4）

．

2．

是第象限角；

是第象限角；

是第象限角；

是第象限角。

3．0的终边在；

的终边在；π的终边在；

的终边在。

4．与

终边相同的角的集合是。

5．

（1）已知扇形的半径为10cm，圆心角为

，则该扇形的弧长是cm，面积是cm2。

（2）已知扇形的半径为6cm，圆心角为30°，则该扇形的弧长是cm，面积是cm2。

【能力训练】

1．下列角中为第四象限角的是（）。

A．490°B．

C．

D．630°

2．下列各角中与角

终边相同角的是（）。

A．

B．

C．

D．

§5.3任意角的三角函数

【知识要点】

1．任意角的三角函数的定义

设角α是任意角，在角α的终边上任取除原点以外的任一点P（x，y），点P到原点的距离为r，

r=|OP|=

>0

则比值

叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=

；

比值

叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=

；

比值

叫做α的正切，记作tanα，即tanα=

。

正弦函数和余弦函数的定义域都是R，正切函数的定义域是{α|α≠

+kπ，k∈Z}。

2．三角函数值在各象限内的符号如图：

3．利用计算器求三角函数值

操作步骤为：

按D/R键，设定角的计算模式为角度（D）或弧度（R）→按sin键（cos键、tan键）→输入相应的角度值或弧度值→按=键，显示三角函数值。

【基础训练】

1．已知角α的终边过下列点，求sinα，cosα，tanα。

（1）P1（3，4）；

（2）P2（-1，1）

（3）P3（-5，-12）（4）P4（

，-1）

2．求下列各角的正弦值、余弦值、正切值。

（1）60

（2）π

3．确定三角函数值的符号（用“<”或“>”填空）。

（1）sin70°0；

（2）

0；（3）tan（-46°）0。

4．已知sinα>0且cosα<0，则角α的是第象限角；

已知sinα<0且tanα>0，则角α的是第象限角。

【能力训练】

1．已知角α为第四象限角，且终边过点P（3，y），若|OP|=5，求sinα，cosα，tanα。

2．已知sinαcosα>0，则角α的是第象限角；

已知sinαtanα<0，则角α的是第象限角。

§5.4同角三角函数的基本关系

【知识要点】

同角三角函数的基本关系

（1）sin2α+cos2α=1

（2）

=tanα

【基础训练】

1．化简：

（1）sin270°+cos270°=；

（2）sin23α+cos23α=；（3）

；

（4）

=；（5）cos60°tan60°=。

2．

（1）已知sinα=0.6，α是第二象限角，求cosα，tanα。

（2）已知cosα=-0.6，α是第三象限角，求sinα，tanα。

【能力训练】

1．下列等式中，正确的是（）。

A．sin240°+cos250°=1　B．sinαtanα=cosα

C．sin4α+cos4α=1D．cosαtanα=sinα

2．已知sinα=

，求cosα，tanα。

3．已知tanα=

，α是第三象限角，求sinα和cosα。

§5.5三角函数的诱导公式

【知识要点】

三角函数的诱导公式（k∈Z）

公式1sin（α+2kπ）=sinαcos（α+2kπ）=cosαtan（α+2kπ）=tanα

公式2sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanα

公式3sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanα

公式4sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanα

【基础训练】

1．化简

（1）sin（α+2π）=；

（2）cos（α+180°）=；

（3）sin（180°-α）=；（4）tan（-α）=；

（5）cos（α+π）=；（6）tan（π-α）=；

2．下列结论中，错误的是（）。

A．cos（-α）=-cosαB．sin（π-α）=sinα

C．tan（π+α）=tanαD．sin（α+180°）=-sinα

3.求三角函数值

（1）sin（-30°）=

（2）cos150°=（3）tan210°=

（4）sin405°=（5）cos

=（6）tan

=

【能力训练】

化简：

（1）sin（-210°）tan240°+cos（-210°）；

（2）

§5.6正弦函数的图象与性质

【知识要点】

1．正弦函数的图象

（1）正弦函数在[0,2π]上的图象（如右图）有五个关键点：

（0，0），（

，1），（π，0），（

，-1），（2π，0）。

常用“五点法”作正弦函数在[0,2π]上的简图．

（2）正弦函数y=sinx，x∈R的图象称为正弦曲线．

2．正弦函数的性质

（1）周期函数：

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，当x取定义域D内的每一个值时，都有x+T∈D，并且等式f（x+T）=f（x）成立，那么函数y=f（x）叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期

（2）正弦函数的图象和性质

函数

y=sinx，x∈R

图象

性质

定义域

R

值域

[-1,1]

最值

当x=

+2kπ（k∈Z）时，ymax=1；

当x=

+2kπ（k∈Z）时，ymin=-1

周期性

y=sinx，x∈R是周期函数，其周期T=2π

奇偶性

y=sinx，x∈R是奇函数

单调性

在[-

+2kπ,

+2kπ]（k∈Z）上是增函数；

在[

+2kπ,

+2kπ]（k∈Z）上是减函数

【基础训练】

1．函数y=sinx的定义域是，值域是，周期是，当x=时，ymax=，当x=时，ymin=。

2．函数y=3+sinx的最大值是，最小值是，周期是。

3．函数y=sinx-3的最大值是，最小值是，周期是．

4．比较大小：

sin34°sin47°；sin（

）sin（

）．

5．在下列区间中，函数y=sinx单调递增的是（）。

A．[0，

]B．[

，π]C．[π，

]D．[0，π]

【能力训练】

1．用“五点法”作下列函数在[0,2π]上的简图。

（1）y=sinx

（2）y=sinx+1

（3）y=sinx-1

§5.7余弦函数的图象与性质

【知识要点】

1．余弦函数的图象

（1）余弦函数在[0,2π]上的图象（如右图）有五个关键点：

（0，1），（

，0），（π，-1），（

，0），（2π，1）。

常用“五点法”作余弦函数在[0,2π]上的简图．

（2）余弦函数y=cosx，x∈R的图象称为余弦曲线。

2．余弦函数的图象和性质

函数

y=cosx，x∈R

图象

性质

定义域

R

值域

[-1,1]

最值

当x=2kπ（k∈Z）时，ymax=1；

当x=π+2kπ（k∈Z）时，ymin=-1

周期性

y=cosx，x∈R是周期函数，其周期T=2π

奇偶性

y=cosx，x∈R是偶函数

单调性

在[2kπ,π+2kπ]（k∈Z）上是减函数；

在[π+2kπ,2π+2kπ]（k∈Z）上是增函数

【基础训练】

1．函数y=cosx的定义域是，值域是，周期是，当x=时，ymax=，当x=时，ymin=。

2．函数y=cosx+2的最大值是，最小值是，周期是；

3．函数y=cosx-2的最大值是，最小值是，周期是．

4．比较大小：

cos230°cos250°，cos

cos

。

5．在下列区间中，函数y=cosx单调递增的是（）。

A．[0，

]B．[

，π]C．[π，

]D．[0，π]

【能力训练】

下列结论中正确的是（）。

A．y=sinx和y=cosx都是偶函数

B．y=sinx和y=cosx都是周期函数

C．y=sinx和y=cosx在[0,

]都是增函数

D．y=sinx和y=cosx在x=2kπ（k∈Z）时有最大值1

§5.8已知三角函数值求角

【知识要点】

1．已知任意一个角，可以求出它的三角函数值（角必须属于这个函数的定义域）；反之，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角。

2．一些常用特殊角的三角函数值

Α（rad）

0

π

α（°）

0°

30°

45°

60°

90°

180