云南普洱西盟一中1213学年高一上期末考试数学解析版.docx

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云南普洱西盟一中1213学年高一上期末考试数学解析版

2012-2013学年云南省普洱市西盟一中高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={2，4，5}，B={1，3，5}，则A∩B=（　　）

　A．∅B．{1，2，3，4，5}C．{5}D．{1，3}

考点：

交集及其运算．

专题：

计算题．

分析：

根据两个集合AB，直接利用两个集合的交集的定义求得A∩B．

解答：

解：

∵集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5}，

则A∩B={2，4，5}∩{1，3，5}={5}，

故选C．

点评：

本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．

2．（5分）下列函数是幂函数的是（　　）

　A．y=2x2B．y=x﹣2C．y=x2+xD．y=1

考点：

幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

专题：

计算题．

分析：

直接利用幂函数的定义判断即可．

解答：

解：

根据幂函数的解析式为：

y=xα，（α≠0）可知选项A、C、D不满足题意，

故选B．

点评：

本题考查幂函数的定义以及表达式的形式，基本知识的考查．

3．（5分）下列计算中正确的是（　　）

　A．

=8B．

=10C．

D．

考点：

根式与分数指数幂的互化及其化简运算．

专题：

计算题．

分析：

直接利用开偶次方经过是非负数，可奇次方可正可负判断选项即可．

解答：

解：

因为开偶次方经过是非负数，可奇次方可正可负．所以

=﹣8，A不正确；

=10正确；

＜0不正确；

不正确；

故选B．

点评：

本题考查根式与分数指数幂的运算法则，基本知识的考查．

4．（5分）（2011•泸州一模）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（　　）

　A．φB．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}

考点：

交、并、补集的混合运算．

专题：

计算题．

分析：

先求出S∪T，接着是求补集的问题．

解答：

解：

∵S∪T={1，3，5，6}，

∴CU（S∪T）={2，4，7，8}．

故选B．

点评：

本题属于数集为平台，求集合的并集补集的基础题，也是高考常会考的题型．

5．（5分）下列函数中，与函数y=x相等的是（　　）

　A．

B．

C．

D．

考点：

判断两个函数是否为同一函数．

专题：

计算题．

分析：

通过函数的定义域与对应法则，直接判断是否是相同的函数即可．

解答：

解：

函数y=x的定义域为R，选项中A，D定义域不是R，是A、D不正确．

选项C的对应法则不同，C不正确．

故选B．

点评：

本题考查函数是否是相同的函数的判断方法，基本知识的考查．

6．（5分）（2011•南充一模）若集合S={a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（　　）

　A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

考点：

集合的确定性、互异性、无序性；三角形的形状判断．

专题：

阅读型．

分析：

由集合元素的特点可知a，b及c互不相等，所以a，b及c构成三角形的三边长，得到三角形的三边长互不相等，此三角形没有两边相等，一定不能为等腰三角形．

解答：

解：

根据集合元素的互异性可知：

a，b及c三个元素互不相等，

若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．

故选D．

点评：

此题考查了三角形形状的判断、集合元素的互异性、等腰三角形等基础知识，考查转化思想．属于基础题．

7．（5分）函数y=f（x）的图象在[a，b]内是连续的曲线，若f（a）•f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内（　　）

　A．只有一个零点B．无零点C．至少有一个零点D．无法确定

考点：

函数零点的判定定理．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据根的存在性定理进行判断．

解答：

解：

若函数y=f（x）的图象在[a，b]内是连续的曲线，若f（a）•f（b）＜0，

则根据根的存在性定理可知，函数y=f（x）在区间（a，b）内至少含有一个零点．

故选C．

点评：

本题主要考查根的存在性定理的理解和应用．

8．（5分）设f（x）=3x+3x﹣8，计算知f

（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则函数的零点落在区间（　　）

　A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定

考点：

函数零点的判定定理．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

利用根的存在性定理进行判断．

解答：

解：

因为f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，

所以根据根的存在性定理可知函数的零点落在区间（1.25，1.5）．

故选B．

点评：

本题主要考查函数零点区间的判断，比较基础．

9．（5分）下列函数中，图象过定点（0，1）的是（　　）

　A．y=x24B．y=log23xC．y=3xD．

考点：

指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

把x=0代入函数的解析式，求得只有y=3x的函数值为1，由此可得结论．

解答：

解，把x=0代入函数的解析式，求得只有y=3x的函数值为1，故只有函数y=3x的图象过点（0，1），

故选C．

点评：

本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，判断一个点是否在函数的图象上的方法，属于中档题．

10．（5分）如图是由哪个平面图形旋转得到的（　　）

　A．

B．

C．

D．

考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

专题：

阅读型．

分析：

利用所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，从而得到轴截面的图形．

解答：

解：

图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，

故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，

故选D．

点评：

本题考查旋转体的结构特征，旋转体的轴截面的形状．

11．（5分）一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（　　）

　A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2

考点：

球内接多面体；球的体积和表面积．

分析：

先根据正方体的顶点都在球面上，求出球的半径，然后求出球的表面积．

解答：

解：

正方体体积为8，可知其边长为2，体对角线为

=2

，

即为球的直径，所以半径为

，表面积为4π

2=12π．

故选B．

点评：

本题考查学生的空间想象能力，以及对球的体积和表面积公式的考查，是基础题．

12．（5分）设集合A={0，1，2，3}，B={1，2，3，4}，则集合A∩B的真子集的个数为（　　）

　A．32个B．16个C．8个D．7个

考点：

子集与真子集；交集及其运算．

专题：

计算题．

分析：

集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={0，1，2，3}，B={1，2，3，4}，能求出集合A∩B真子集的个数．

解答：

解：

∵A={0，1，2，3}，B={1，2，3，4}，

∴集合A∩B={1，2，3}．

集合的真子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，∅．共有7个．

故选D．

点评：

本题考查集合的交集及其运算，考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）用“＜”或“＞”号填空：

0.50.8　＜　0.50.7；log125　=　log1215．

考点：

对数函数的单调性与特殊点．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据函数y=0.5x在R上是减函数，可得0.50.8与0.50.7的大小关系；由函数y=log12x在（0，+∞）

上是增函数，可得log125=log125，从而得到答案．

解答：

解：

由于函数y=0.5x在R上是减函数，可得0.50.8＜0.50.7．

由函数y=log12x在（0，+∞）上是增函数，可得log125=log125，

故答案为＜；=．

点评：

本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

14．（5分）球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的　8　倍．

考点：

球的体积和表面积．

专题：

计算题．

分析：

设球原来的半径为r，则扩大后的半径为2r，求出球原来的体积和后来的体积，计算球后来的体积与球原来的体积之比．

解答：

解：

设球原来的半径为r，则扩大后的半径为2r，球原来的体积为

，球后来的体积为

=

，

球后来的体积与球原来的体积之比为

=8，

故答案为8．

点评：

本题考查求得体积的计算公式的应用．关键是设出原来的半径，求出后来的半径．

15．（5分）函数f（x）=loga

（a＞0且a≠1），f

（2）=3，则f（﹣2）的值为　﹣3　．

考点：

函数的值．

专题：

计算题．

分析：

利用f（﹣x）=﹣f（x），结合即可求得答案．

解答：

解：

∵f（x）=loga

（a＞0且a≠1），

∴f（x）+f（﹣x）=loga

+

=

=loga1

=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），又f

（2）=3，

∴f（﹣2）=﹣f

（2）=﹣3，

故答案为：

﹣3．

点评：

本题考查函数的奇偶性，判断函数f（x）为奇函数是关键，属于基础题．

16．（5分）函数f（x）=ax2﹣x﹣1仅有一个零点，则实数a的取值范围　

　．

考点：

函数零点的判定定理．

专题：

计算题．

分析：

本题采用直接法，先对二次项系数进行讨论：

①a=0；②a≠0；再对②充分利用二次函数的根的判别式解决问题．

解答：

解：

若a=0，则f（x）=﹣x﹣1，令f（x）=﹣x﹣1=0，得x=﹣1，符合题意；

若a≠0，则f（x）=ax2﹣x﹣1是二次函数，

∴f（x）有且仅有一个零点⇔△=1+4a=0

综上所述，a=0或

故答案为：

．

点评：

本题主要考查了二次函数的图象和图象变化及数形结合思想，属于基础题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）

（1）解方程：

x2﹣3x﹣10=0

（2）解方程组：

．

考点：

因式分解定理．

专题：

计算题．

分析：

（1）分解方程左边的二次三项式，可得（x﹣5）（x+2）=0，进而根据两因式积等0，则各因式均可能为0，求出原方程的解．

（2）利用加减消元法，消去x，先求出y值，代入任一方程求出x值，可得方程组的解．

解答：

解：

（1）∵x2﹣3x﹣10=0

∴（x﹣5）（x+2）=0

解是x=5或x=﹣2

（2）

①×3﹣②×2得：

5y=5

解得y=1，

代入①可得x=2

故方程组的解集为

点评：

本题考查的知识点是一元二次方程的解法和二元一次方程组的解法，前者的方式是利用因式分解达到降次的目的，后者的解答思路是消元．

18．（12分）已知集合A={x|x是小于8的正整数}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，求A∩B，A∩C，A∩（B∪C），A∪（B∩C）

考点：

交、并、补集的混合运算．

专题：

计算题．

分析：

直接利用交集、并集、补集的求解方法求解即可．

解答：

解：

因为集合A={x|x是小于8的正整数}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，

所以A∩B={1，2，3}，

A∩C={3，4，5，6}，

A∩（B∪C）={1，2，3，4，5，6}，

A∪（B∩C）={1，2，3，4，5，6，7}

点评：

本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．

19．（12分）

（1）求函数y=1+

的定义域；

（2）解不等式log2（2x+3）＞log2（5x﹣6）

考点：

对数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法．

专题：

函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：

（1）由函数的解析式可得可得

，解得x的范围，即可求得函数的定义域．

（2）由不等式可得2x+3＞5x﹣6＞0，解得x的范围，求得函数的定义域．

解答：

解：

（1）由函数y=1+

可得

，解得﹣3≤x≤1，

故函数的定义域为[﹣3，1]．

（2）由不等式log2（2x+3）＞log2（5x﹣6），可得2x+3＞5x﹣6＞0，

解得＜x＜3，故函数的定义域为（，3）．

点评：

本题主要考查对数不等式的解法，求函数的定义域，属于中档题．

20．（12分）

（1）计算：

log45．log56．log67．log78；

（2）证明：

函数f（x）=x2+1在（﹣∞，0）上是减函数．

考点：

函数单调性的判断与证明；对数的运算性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）把要求的式子利用换底公式运算求得结果．

（2）先求出函数的导数，再根据当x＜0时，f′（x）＜0，可得函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．

解答：

解：

（1）log45．log56．log67．log78=

=

=

=．

（2）证明：

由函数f（x）=x2+1，可得f′（x）=2x，

当x＜0时，f′（x）=2x＜0，

故函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．

点评：

本题主要考查对数的运算性质的应用，函数的单调性的证明方法，属于基础题．

21．（12分）为了鼓励居民节约用水，西盟县改革居民用水的计费方法．每月的收费标准如下：

月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3按2元/m3计费，超过的部分按3.6元/m3计费．设每户月用水量为xm3，应交水费为y元．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）小明家第二季度缴纳水费的情况如下：

月份

四月份

五月份

六月份

缴费金额/元

30

34

43.6

问小明家第二季度共用水多少立方米？

考点：

根据实际问题选择函数类型．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）由题意，当用水量0＜x≤20时，y=2x．当用水量x＞20时，前20m3按2元/m3计费，超过的部分按3.6元/m3计费，由此列式即可得到y关于x的分段函数式；

（2）四月份和五月份的用水量除以单价均不超过20m3，六月份的用水量除以单价超过了20m3，所以六月份的用水量为20+（43.6﹣2×20）÷3.6m3，作和后可求小明家第二季度得用水量．

解答：

解：

（1）由题意可得，

当0＜x≤20时，y=2x

当x＞20时，y=2×20+3.6（x﹣20）=3.6x﹣32

所以y与x的函数表达式为

；

（2）四月份用水为，30÷2=15m3

五月份用水为，34÷2=17m3

六月份用水为，20+（43.6﹣2×20）÷3.6=21m3

第二季度共用水为：

15+17+21=53m3

答：

小明家第二季度共用水53立方米．

点评：

本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了分段函数的求法，考查了学生的“建模能力”和根据实际问题分析和解决问题的能力，是中档题．

22．（12分）直角三角形两直角边边长分别为3和4，将此三角形绕其斜边旋转一周，求得到的旋转体的表面积和体积．

考点：

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

专题：

计算题；空间位置关系与距离．

分析：

由题意，所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成．利用解三角形知识，算出圆锥的底面半径，结合锥体的侧面公式得到旋转体的表面积S=

，再由锥体的体积公式，算出体积为V=

．

解答：

解：

根据题意，所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成

它的底面半径等于直角三角形斜边上的高，高分别等于两条直角边在斜边的射影长

∵两直角边边长分别为3和4，

∴斜边长为

=5，

由面积公式可得斜边上的高为h=

=

可得所求旋转体的底面半径r=

因此，两个圆锥的侧面积分别为

S上侧面=π×

×4=

；S下侧面=π×

×3=

∴旋转体的表面积S=

+

=

由锥体的体积公式，可得旋转体的体积为V=π×

×5=

点评：

本题给出直角三角形旋转一周，求转成的几何体的体积和表面积．着重考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．