成都中考27专练老师用.docx
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成都中考27专练老师用
2013级数学专题复习：
几何综合题解法探究二
成都市数学中考B卷27，专练
一．垂直定理基本图形的应用
1.如图，圆O中有直径AB、EF和弦BC，且BC和EF交于点D，点D是弦BC的中点，CD=4，DF=8
（1）求圆O的半径及线段AD的长；
（2）求sin角DAO的值
分析：
（1）由点D是弦BC的中点，EF是直径，根据垂径定理的推论，即可得CB⊥EF且BD=CD=4，然后利用勾股定理，即可求得⊙O的半径R；再连续AC，过D作DH⊥AB交AB于H，由AB是直径，即可得∠ACB=90°，继而可求得线段AD的长；
（2）在Rt△DHB中，由DH=DB•sin∠DBH，可求得DH的长，又由sin∠DAO=DH/AD，求得
解答：
（1）∵D是BC的中点，EF是直径，∴CB⊥EF且BD=CD=4。
∵DF=8， ∴OD=8-R，∵OB2-OD2=DB2，∴R2-（8-R）2=42，
∴R=5．连接AC，过D作DH⊥AB交AB于H．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∵CB=2CD=8，AB=10，∴AC=6．
∴∠ACD=90°，AC=6，CD=4，∴AD=2*√13
（2）∵Rt△DHB中，DH=DB•sin∠DBH=4×3/5=12/5。
∴sin∠DAO=DH/AD=6*√13/65
2．如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG.
（1）求证：
AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF＝
，BF＝3，求⊙O的半径长.
解
（1）证明：
如图，连接OF，
∵HF是⊙O的切线，
∴∠OFH=90°.………………………………1分
即∠1+∠2=90º.
∵HF=HG，∴∠1=∠HGF.
∵∠HGF=∠3，∴∠3=∠1.
∵OF=OB，∴∠B=∠2.
∴∠B+∠3=90º.
∴∠BEG=90º.
∴AB⊥CD.…………………………………………………………………………3分
3.已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．
（l）求证：
PA•PB=PO•PE；
（2）若kE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．
4.．如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=
，求⊙O的半径．
解答：
（1）证明：
连接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=
∠AOF=30°
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
∴EG=
BE=5
又Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=
，
∴CE=
=13
∴CG=
=12，
又CD=15，CE=13，
∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得
=
∴AD=
•CG=
∴⊙O的半径为2AD=
．
二．弧的中点的应用
1.图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．
（1）△ABC的形状是------------------，理由是--------------------
（2）求证：
BC平分∠ABE；
（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的
（1）⊿ABC的形状是【直角三角形】，理由是【直径所对的圆周角为直角】
（2）证明：
连接OC
∵CD是圆O的切线
∴OC⊥CD
∵BE⊥CD
∴OC//BE
∴∠OCB=∠EBC
∵OB=OC=半径
∴∠OCB=∠OBC
∴∠OBC=∠EBC
即BC平分∠ABE
（3）解：
∵∠A=60º，∠ACB=90º
∴∠ABC=∠EBC=30º
∴AC=½AB=OA=2
根据勾股定理
BC=√（AB²-AC²）=2√3
∵∠EBC=30º，∠BEC=90º
∴CE=½BC=√3
2.AB是圆O的直径，AE交圆O于点F,且与圆O的切线CD互相垂直，垂足为D。
（1）求证角EAC=角CAB
（2）若CD=4,AD=8
若CD=4,AD=8,求圆O的半径； 求tan角BAE的值
3.（2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，
（1）求证：
△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：
（1）证明：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，
又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB，
（2）∵△ABE∽△ADB，∴
，
∴AB2=AD·AE=（AE＋ED）·AE=（2＋4）×2=12
∴AB=
．
（3）直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，
∴
，
BF=BO=
，
∵AB=
，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，
∴直线FA与⊙O相切．
4.．（2012•湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．
（1）如图1，求证：
△PCD∽△ABC；
（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？
请在图2中画出△PCD并说明理由；
（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P是
对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；
（2）解：
当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，
理由：
∵AB，PC是⊙O的半径，
∴AB=PC，
∵△PCD∽△ABC，
∴△PCD≌△ABC；
（3）解：
∵∠ACB=90°，AC=AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴
=
，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．
典型例题
1.如图，在圆O中，AB是直径，P为AB上一点，∠NPB=45°
（1）若AP=2，BP=6，求MN的长
（2）若MP=3，NP=5，求AB的长
（3）当P在AB上运动时（保持∠NPM的度数不变），试问（PM^2+PN^2）/AB^2的值是否发生变化若不变，请求其值；若变化，请求出其值的范围。
1因直径AB=AP+BP=2+6=8，所以半径OA=8/2=4，OP=OA-AP=4-2=2.又角MPB=45度，故作OH垂直MN，垂足为H，三角形OHP是等腰直角三角形。
OH=HP，而OH^2+PH^2=OP^2,所以，OH=PH=OP/（根号2）=根号2.再，过圆心的垂直弦平分弦，故MH=NH，连接OM，在直角三角形OHM中，利用勾股定理，MH^2=MO^2-OH^2=4^2-（根号2）^2=14,MH=根号14,因此，MP=根号14-根号2，NP=根号14+根号2，MN=2根号14.2若MP=3，NP=5，那么，MN=3+5=8，MH=8/2=4，PH=1.由于三角形OHP是等腰直角三角形，OH=HP=1，在直角三角形MHO中利用勾股定理，OM^2=OH^2+MH^2=1+4^2=17,所以，OM=根号17，直径AB=2根号17.
3因MH=NH，OH=HP，OH垂直MN，那么PM^2+PN^2=（MH-HP）^2+（PH+HN）^2=（MH-HP）^2+（MH+HP）^2=2（MH^2+HP^2）=2（MH^2+HO^2）=2OM^2所以，（PM^2+PN^2）/AB^2=2OM^2/（2OM）^2=1/2.可见，P变化时，比值不变，总为1/2.
2.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，A是弧BDC中点，AE⊥AC于A，与圆O及CD的延长线分别交于E、F，且BF=AD，EM切圆O与M：
如图，已知四边形ABCD内接于圆O，A是弧BDC中点，AE⊥AC于A，与圆O及CD的延长线分别交于E、F，且BF=AD，EM切圆O与M：
1.△ADC∽△EBA
2.AC²=1/2*BC*CE
3.若AB=2，EM=3，求tan∠CAD
1，
∵BF=AD
∴∠EAB=ACD
∵∠EBA=∠D（圆内接四边形外角等于内对角）
∴△ADC∽△EBA
2，
∵A是弧BDC中点，且AH过圆心O，
∴AH为BC的中垂线
又知AE⊥AC
∴△EAC∽△AHC
∴AC:
EC=CH:
AC
AC^2=CE*CH=1/2CE*BC
3
由EM是○O的切线得：
ME^2=EF*AE=（AE-AF）*AE
即：
9=AE^2-AE*AF
连接CFAB=AC
角AFC=角ACB
△AEC∽△AFC
AC^=AE*AF
所以：
求得AE^2=13，AE=√13
所以：
tan∠5=AC/AE=2/√13
即：
tan∠DAC=2/√13
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