成都中考27专练老师用.docx
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成都中考27专练老师用
2013级数学专题复习:
几何综合题解法探究二
成都市数学中考B卷27,专练
一.垂直定理基本图形的应用
1.如图,圆O中有直径AB、EF和弦BC,且BC和EF交于点D,点D是弦BC的中点,CD=4,DF=8
(1)求圆O的半径及线段AD的长;
(2)求sin角DAO的值
分析:
(1)由点D是弦BC的中点,EF是直径,根据垂径定理的推论,即可得CB⊥EF且BD=CD=4,然后利用勾股定理,即可求得⊙O的半径R;再连续AC,过D作DH⊥AB交AB于H,由AB是直径,即可得∠ACB=90°,继而可求得线段AD的长;
(2)在Rt△DHB中,由DH=DB•sin∠DBH,可求得DH的长,又由sin∠DAO=DH/AD,求得
解答:
(1)∵D是BC的中点,EF是直径,∴CB⊥EF且BD=CD=4。
∵DF=8, ∴OD=8-R,∵OB2-OD2=DB2,∴R2-(8-R)2=42,
∴R=5.连接AC,过D作DH⊥AB交AB于H.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∵CB=2CD=8,AB=10,∴AC=6.
∴∠ACD=90°,AC=6,CD=4,∴AD=2*√13
(2)∵Rt△DHB中,DH=DB•sin∠DBH=4×3/5=12/5。
∴sin∠DAO=DH/AD=6*√13/65
2.如图,AB、BF分别是⊙O的直径和弦,弦CD与AB、BF分别相交于点E、G,过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H,且HF=HG.
(1)求证:
AB⊥CD;
(2)若sin∠HGF=
,BF=3,求⊙O的半径长.
解
(1)证明:
如图,连接OF,
∵HF是⊙O的切线,
∴∠OFH=90°.………………………………1分
即∠1+∠2=90º.
∵HF=HG,∴∠1=∠HGF.
∵∠HGF=∠3,∴∠3=∠1.
∵OF=OB,∴∠B=∠2.
∴∠B+∠3=90º.
∴∠BEG=90º.
∴AB⊥CD.…………………………………………………………………………3分
3.已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点,弦DF⊥AB于点H,CF交AB于点E.
(l)求证:
PA•PB=PO•PE;
(2)若kE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求弦CF的长.
4..如图,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=
,求⊙O的半径.
解答:
(1)证明:
连接OB
∵OB=OA,CE=CB,
∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线.
(2)连接OF,AF,BF,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴△OAF是等边三角形,
∴∠AOF=60°
∴∠ABF=
∠AOF=30°
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,
∴EG=
BE=5
又Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=
,
∴CE=
=13
∴CG=
=12,
又CD=15,CE=13,
∴DE=2,
由Rt△ADE∽Rt△CGE得
=
∴AD=
•CG=
∴⊙O的半径为2AD=
.
二.弧的中点的应用
1.图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C,BE⊥CD,垂足为E,连接AC、BC.
(1)△ABC的形状是------------------,理由是--------------------
(2)求证:
BC平分∠ABE;
(3)若∠A=60°,OA=2,求CE的
(1)⊿ABC的形状是【直角三角形】,理由是【直径所对的圆周角为直角】
(2)证明:
连接OC
∵CD是圆O的切线
∴OC⊥CD
∵BE⊥CD
∴OC//BE
∴∠OCB=∠EBC
∵OB=OC=半径
∴∠OCB=∠OBC
∴∠OBC=∠EBC
即BC平分∠ABE
(3)解:
∵∠A=60º,∠ACB=90º
∴∠ABC=∠EBC=30º
∴AC=½AB=OA=2
根据勾股定理
BC=√(AB²-AC²)=2√3
∵∠EBC=30º,∠BEC=90º
∴CE=½BC=√3
2.AB是圆O的直径,AE交圆O于点F,且与圆O的切线CD互相垂直,垂足为D。
(1)求证角EAC=角CAB
(2)若CD=4,AD=8
若CD=4,AD=8,求圆O的半径; 求tan角BAE的值
3.(2011山东菏泽,18,10分)如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,
(1)求证:
△ABE∽△ADB;
(2)求AB的长;
(3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
解:
(1)证明:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,
∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠D,
又∵∠BAE=∠EAB,∴△ABE∽△ADB,
(2)∵△ABE∽△ADB,∴
,
∴AB2=AD·AE=(AE+ED)·AE=(2+4)×2=12
∴AB=
.
(3)直线FA与⊙O相切,理由如下:
连接OA,∵BD为⊙O的直径,∴∠BAD=90°,
∴
,
BF=BO=
,
∵AB=
,∴BF=BO=AB,可证∠OAF=90°,
∴直线FA与⊙O相切.
4..(2012•湘潭)如图,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=AB,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.
(1)如图1,求证:
△PCD∽△ABC;
(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?
请在图2中画出△PCD并说明理由;
(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵PD⊥CD,
∴∠D=90°,
∴∠D=∠ACB,
∵∠A与∠P是
对的圆周角,
∴∠A=∠P,
∴△PCD∽△ABC;
(2)解:
当PC是⊙O的直径时,△PCD≌△ABC,
理由:
∵AB,PC是⊙O的半径,
∴AB=PC,
∵△PCD∽△ABC,
∴△PCD≌△ABC;
(3)解:
∵∠ACB=90°,AC=AB,
∴∠ABC=30°,
∵△PCD∽△ABC,
∴∠PCD=∠ABC=30°,
∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴
=
,
∴∠ACP=∠ABC=30°,
∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°.
典型例题
1.如图,在圆O中,AB是直径,P为AB上一点,∠NPB=45°
(1)若AP=2,BP=6,求MN的长
(2)若MP=3,NP=5,求AB的长
(3)当P在AB上运动时(保持∠NPM的度数不变),试问(PM^2+PN^2)/AB^2的值是否发生变化若不变,请求其值;若变化,请求出其值的范围。
1因直径AB=AP+BP=2+6=8,所以半径OA=8/2=4,OP=OA-AP=4-2=2.又角MPB=45度,故作OH垂直MN,垂足为H,三角形OHP是等腰直角三角形。
OH=HP,而OH^2+PH^2=OP^2,所以,OH=PH=OP/(根号2)=根号2.再,过圆心的垂直弦平分弦,故MH=NH,连接OM,在直角三角形OHM中,利用勾股定理,MH^2=MO^2-OH^2=4^2-(根号2)^2=14,MH=根号14,因此,MP=根号14-根号2,NP=根号14+根号2,MN=2根号14.2若MP=3,NP=5,那么,MN=3+5=8,MH=8/2=4,PH=1.由于三角形OHP是等腰直角三角形,OH=HP=1,在直角三角形MHO中利用勾股定理,OM^2=OH^2+MH^2=1+4^2=17,所以,OM=根号17,直径AB=2根号17.
3因MH=NH,OH=HP,OH垂直MN,那么PM^2+PN^2=(MH-HP)^2+(PH+HN)^2=(MH-HP)^2+(MH+HP)^2=2(MH^2+HP^2)=2(MH^2+HO^2)=2OM^2所以,(PM^2+PN^2)/AB^2=2OM^2/(2OM)^2=1/2.可见,P变化时,比值不变,总为1/2.
2.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,A是弧BDC中点,AE⊥AC于A,与圆O及CD的延长线分别交于E、F,且BF=AD,EM切圆O与M:
如图,已知四边形ABCD内接于圆O,A是弧BDC中点,AE⊥AC于A,与圆O及CD的延长线分别交于E、F,且BF=AD,EM切圆O与M:
1.△ADC∽△EBA
2.AC²=1/2*BC*CE
3.若AB=2,EM=3,求tan∠CAD
1,
∵BF=AD
∴∠EAB=ACD
∵∠EBA=∠D(圆内接四边形外角等于内对角)
∴△ADC∽△EBA
2,
∵A是弧BDC中点,且AH过圆心O,
∴AH为BC的中垂线
又知AE⊥AC
∴△EAC∽△AHC
∴AC:
EC=CH:
AC
AC^2=CE*CH=1/2CE*BC
3
由EM是○O的切线得:
ME^2=EF*AE=(AE-AF)*AE
即:
9=AE^2-AE*AF
连接CFAB=AC
角AFC=角ACB
△AEC∽△AFC
AC^=AE*AF
所以:
求得AE^2=13,AE=√13
所以:
tan∠5=AC/AE=2/√13
即:
tan∠DAC=2/√13