届高考数学理大一轮复习顶层设计教师用书第七章 立体几何 第二节 空间几何体的表面积与体积 Word版.docx

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届高考数学理大一轮复习顶层设计教师用书第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积Word版

第二节　空间几何体的表面积与体积

☆☆☆考纲考题考情☆☆☆

考纲要求

真题举例

命题角度

　　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

，全国卷Ⅰ，分（表面积）

，全国卷Ⅱ，分（表面积）

，全国卷Ⅲ，分（体积最大值）

，北京卷，分（三棱锥体积）

，浙江卷，分（体积最大值）

　　本节主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时考查空间几何体的结构特征、三视图等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想。

微知识　小题练

自主排查

．几何体的表面积

（）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。

（）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。

（）若圆柱、圆锥的底面半径为，母线长，则其表面积为柱＝π＋π，锥＝π＋π。

（）若圆台的上下底面半径为，，母线长为，则圆台的表面积为＝π（＋）＋π（＋）。

（）球的表面积为π（球半径是）。

．几何体的体积

（）柱体＝。

（）锥体＝。

（）台体＝（′＋＋），圆台＝π（＋＋），球＝π（球半径是）。

微点提醒

．求多面体的表面积，应找到其特征几何图形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁。

求旋转体（除球外）的侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和。

．求几何体的体积，要注意分割与补形。

将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解。

小题快练

一、走进教材

．（必修组改编）如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为。

【解析】　设长方体的相邻三条棱长分别为，，，它截出棱锥的体积为＝××××＝，剩下的几何体的体积＝－＝，所以∶＝∶。

【答案】　∶

．（必修组改编）一直角三角形的三边长分别为，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为。

【解析】　旋转一周所得几何体为以为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为＝π××＋π××＝π（）。

【答案】π

二、双基查验

．（·全国卷Ⅱ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

．π．π

．π．π

【解析】　该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径＝，底面圆的周长＝π＝π，圆锥的母线长＝＝，圆柱的高＝，所以该几何体的表面积表＝π＋＋＝π＋π＋π＝π。

故选。

【答案】　

．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为（　　）

．π．π

．π．π

【解析】　依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为×＝，高为＝，因此底面中心到各顶点的距离均等于，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为，所以其外接球的表面积等于π×＝π。

故选。

【答案】　

．表面积为π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为。

【解析】　设圆锥的母线为，圆锥底面半径为，则π＋π＝π，π＝π。

解得＝，即直径为。

【答案】　

．（·北京高考）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为。

【解析】　通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积＝＝，通过侧视图可知四棱柱的高＝，所以该四棱柱的体积＝＝。

【答案】

．（·赤峰模拟）已知三棱柱－的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球的表面上，且球的表面积为π，则此三棱柱的体积为。

【解析】　如图，设三棱柱－的棱长为，在△中，

＋＝，即＋＝，所以＝，

球表＝π＝π＝π，

所以＝，即＝，

三棱柱＝（）·＝＝×＝。

【答案】

微考点　大课堂

考点一

空间几何体的表面积

【典例】　（）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（　　）

．＋．＋

．＋．

（）（·全国卷Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。

若该几何体的体积是，则它的表面积是（　　）

．π．π

．π．π

【解析】　（）由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示。

直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为＋，侧面积为×（＋）＝＋，两底面的面积和为×××（＋）＝，所以该几何体的表面积为＋＋＝＋。

故选。

（）由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为，故×π＝π，所以＝，表面积＝×π＋π＝π。

故选。

【答案】　（）　（）

反思归纳　以三视图为载体的几何体表面积的求法

．恰当分析给出的三视图。

．找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。

．注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。

【变式训练】　一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是（　　）

＋

．π＋

【解析】　这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半。

根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是，下底面半径是，高为，母线长是，其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故＝π×＋π×＋π（＋）×＋×（＋）×＝＋。

故选。

【答案】　

考点二

空间几何体的体积……多维探究

角度一：

以三视图为背景的体积问题

【典例】　（·浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：

），则该几何体的表面积是，体积是。

【解析】　将三视图还原成直观图如图所示，它由个长方体组合而成，其体积＝×××＝，表面积为××＋××＝。

【答案】　　

角度二：

利用割补法、换底法求体积

【典例】　如图所示，多面体是经过正四棱柱底面顶点作截面而截得的，已知＝，截面与底面成°的二面角，＝，则这个多面体的体积为（　　）

【解析】　以正方形为底面，为棱将题图补成一个正四棱柱－，如图所示。

∵截面与底面成°的二面角，

∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半。

∵＝，易知∠为截面与底面所成的二面角的平面角。

∴∠＝°。

∵＝，∴＝，＝。

∴正四棱柱－的体积＝××＝。

∴所求多面体的体积为。

故选。

【答案】　

反思归纳　.分割法：

通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积。

.补体法：

通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算。

.换底法：

三棱锥换底法通常在高或底面积不好求时使用。

.三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为棱锥的顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解。

考点三

与球有关的“切”、“接”问题……母题发散

【典例】　已知，是球的球面上两点，∠＝°，为该球面上的动点，若三棱锥－体积的最大值为，则球的表面积为（　　）

．π．π

．π．π

【解析】　如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥－的体积最大，设球的半径为，此时－＝－＝××＝＝，故＝，则球的表面积为＝π＝π，故选。

【答案】　

【母题变式】　.若本典例条件变为“直三棱柱－的个顶点都在球的球面上”，若＝，＝，⊥，＝，求球的半径。

【解析】　设球的半径为，因为直三棱柱中＝，＝，＝，⊥，所以＝，且为过底面的截面圆的直径。

取中点，则⊥底面，则在侧面内，矩形的对角线长即为球直径，所以＝＝，即＝。

【答案】

．若本典例条件变为“正四棱锥的顶点都在球的球面上”，若该棱锥的高为，底面边长为，求该球的体积。

【解析】　如图，设球心为，半径为，

则在△中，（－）＋（）＝，解得＝，则球的体积球＝π＝π×＝。

【答案】

反思归纳　空间几何体与球接、切问题的求解方法

.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。

.若球面上四点，，，构成的三条线段，，两两互相垂直，且＝，＝，＝，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用＝＋＋求解。

【拓展变式】　（·全国卷Ⅲ）在封闭的直三棱柱－内有一个体积为的球。

若⊥，＝，＝，＝，则的最大值是（　　）

．π

．π

【解析】　由题意可得若最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为，球的直径为，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径＝，该球的体积最大，＝π＝×＝。

故选。

【答案】　

微考场　新提升

．一个球的表面积是π，那么这个球的体积为（　　）

ππ

．π．π

解析　设球的半径为，则表面积是π，即π＝π，解得＝。

所以体积为π＝。

故选。

答案　

．在三角形中，＝，＝，∠＝°，若将△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为（　　）

．π．π

．π．π

解析　依题意知几何体为底面半径为，母线长为的圆锥，所得几何体的侧面积等于π××＝π。

故选。

答案　

．如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）

．．

．．

解析　由三视图还原出几何体的直观图如图，⊥平面，与平行，＝，＝，＝，＝，所求体积＝××（＋）××＝。

故选。

答案　

．（·四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是。

解析　由正视图知，底面三角形是腰长为，底边为的等腰三角形，三棱锥的高为，所以该三棱锥的体积＝××＝。

答案

.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：

寸）。

若π取，其体积为（立方寸），则图中的为。

解析　由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得（－）××＋π·＝，解得＝。

答案　

微专题　巧突破

巧定各类外接球的球心

简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐。

有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。

为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心。

一、由球的定义确定球心

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心。

深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：

．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；

．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；

．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；

．正棱锥的外接球球心在其高线上，具体位置可通过构造直角三角形运用勾股定理计算得到；

．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

【典例】　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（　　）

．π　　　．π　　　

．π　　　．π

【解析】　已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为，体积为，可求得底面边长为，故球的直径为＝，半径为，球的表面积为π，故选。

【答案】　

【小结】　本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的。

【变式训练】　已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（　　）

．π．π

．π．π

【解析】　由三视图可知该三棱锥的高为，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为，则底面外接圆的半径为，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上。

由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等，则三棱锥的外接