高等代数习题.docx
《高等代数习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数习题.docx（53页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高等代数习题
高等代数习题
第一章基本概念
§集合
1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集
2、设a是集A的一个元素。
记号｛a｝表示什么｛a｝-A是否正确
3、设
A=｛x|re去厂1兰x<1）,
5=（I|>0）;
U二（兀IKE&—1<2）
写出一1-/和一「丄亠.
4、写出含有四个元素的集合｛工亠小从｝的一切子集.
5、设A是含有n个元素的集合.A中含有k个元素的子集共有多少个
6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正.
（i）-■■,1一］■
（ii）-厂
7.证明下列等式:
（i）I；f-'1:
'I
（iii）丄一-J.「丄一丄：
.■
§映射
1、设A是前100个正整数所成的集合.找一个A到自身的映射，但不是满射.
2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.
3、是不是全体实数集到自身的映射x
4、设f定义如下：
1,若0空誥＜1;
-1P若工乏1
f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射
5、令A二{1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射
6、设a,b是任意两个实数且avb.试找出一个［0,1］到［a,b］的双射.
7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，fg与
g「f一般不相等。
8设A是全体正实数所成的集合。
令j.匚：
一f--
（i）g是不是A到A的双射
（ii）g是不是f的逆映射
（iii）如果g有逆映射，g的逆映射是什么
9、设..二■：
-■-是映射，又令，证明
（i）如果；是单射，那么「也是单射；
（ii）如果门是满射，那么呂也是满射；
（iii）如果」，都是双射，那么，也是双射，并且
10.判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:
集合A
规贝S
1
全体整数
9上）1"
2
全体整数
（厘』）|—>-ah
（a,b）|ab
3
全体有理数
（«^）Hp
b
4
全体实数
§数学归纳法
1、证明：
I'|■'.
2、设中是一个正整数.证明；，「，时是任意自然数.
这里門=恥-1）…3…1）是挖个元素中取厂个的组合数.
I尸丿川
4、证明第二数学归纳法原理
5、证明,含有v个元素的集合的一切子集的个数等于二
§整数的一些整除性质
1、对于下列的整数—，分别求出以二除:
所得的商和余数:
2、设…'是整数且不全为0,而.，；：
二：
•"；-,■-.证明，丄一I.的一个最大公因数必要且只要；.
3、设訂一.是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数乜：
叫做二与「的最小公倍数如果让］且；■产，则＞■.
证明：
.■任意两个不等于零的整数…】都有唯一的最小公倍数；
，‘」令叱是上与5的最小公倍数而“二，则.
4、设印是一个大于1的整数且具有以下性质：
对于任意整数r,如果厂|n,则'・「或匚|匚.证明，亍是一个素数（定理1.4.5的逆命题）.
5、设是两两不相同的素数，而I-：
■_/_.
（i）证明円心=;
宀利用丄证明,素数有无限多个.
§数环和数域
1.证明，如果一个数环「「「；那么£含有无限多个数.
2.证明，’‘■・，'丄是数域.
3.证明，&二｛善|魄月巨*是一个数环，岂是不是数域
Li
4.证明,两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域.两个
数环的并是不是数环
5.设时是一整数,令
nZ=｛廊|zeZ）
由例1,尸辽是一个数环.设.2-,记■.一：
、.'匚_.
证明：
?
7.J-z.j是一个数环.
：
_..'.：
■,』.
，二；-.J丨壬-.；'二,这里丿I°丿是:
弋与町的最大公因数.
（iv）mZ=ZO=1.
第二章多项式
§一元多项式的定义和运算
1.设和L：
..：
是实数域上的多项式.证明：
若是
⑹，那么
2.求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式/''：
-■/和
3.证明:
［七十我;v-TlQf+D
21人'Til
舁1）…（兀—尬）
57T
§多项式的整除性
1.求:
"•「被J'；除所得的商式和余式：
（i）.-■：
■-":
「-「-
（ii）』「J：
I：
2.证明：
・_、.1必要且只要」
3•令L-'_.../'■1L：
1：
•._.1都是数域F上的多项式，其中'.I-,u且
-11L-_"■/1一.•一•-：
!
1：
证明：
4.实数讥W满足什么条件时，多项式；/■<.■■■I.能够整除多项式
A*
5.设F是一个数域，“F证明：
"；整除异h
6.考虑有理数域上多项式
y（x）二（工+1严十（“）0+i）z+・・•+（诃0+1片
这里和*都是非负整数.证明：
-・；:
八」
7.证明：
「-整除「-必要且只要亡整除丁
§多项式的最大公因式
1.计算以下各组多项式的最大公因式：
（i）■-.「‘-：
；
（ii）
/（x）=x*+（2-2）z3+（2_4：
庆+（-1--isg（x）=ra+（I-2i）x+l-i.
2.设|'；.■_；|：
.L..II._：
_.；|证明：
若Ll/.-./c：
\.■:
;
且JT和*】不全为零，则i.":
■反之，若二.1贝则十：
是；.I与」的一个最大公因式.
3.令；与」_是」.的多项式，而是F中的数，并且I-比石〔
证明：
Ji「丨化I；uI.,；丨心I：
..:
.门.・|,二一」.
4.证明：
（i）_「，二:
氏是八和「的最大公因式；
（ii）:
;一:
：
i_1
此处「丄』等都是二］的多项式。
5.设I--■'■h'■i.■■.■-都是有理数域Q
上的多项式。
求"-M:
使得11_：
'■1
对于任意正整数辺我，都有.：
-•、-
7.设I证明：
二L：
丄_1
8.证明：
对于任意正整数*都有…
9.证明：
若是；」与互素，并且与J.」的次数都大于0,那么定理m里的小与；；可以如此选取，使得」的次数低于的次数，.「•.的次数低于的次数，并且这样的与「是唯一的。
10.决定;：
，使「：
.•；:
与匸.：
•「:
:
的最大公因式是
一次的。
11.证明：
如果：
十「冷-1那么对于任意正整数讨,1/..J/V-
12.设..im_:
是数域F上的多项式。
丿与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式:
—卜一.且一:
「卜・；
■'如果■：
••：
€F[x]且/1■!
.|■：
.；，那么---1〕
.证明：
F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。
I.'-I设j'l'I都是最咼次项系数是1的多项式，令•]表不H和或力的最高次项系数是1的那个最小公倍式。
证明/WsM=C/（4gWVWsW]
13-设--■1并且.■■-■■■■-证明：
丄；上.「
14-设.■!
\.■.>"[']证明：
WC/iW/■-人⑴）二[QiWJ<«-i-
防互素的充要条件是存在多项式
如（或出⑴，…叫何巨用X]
使得二•「一「-二
15.设厂；令
^=UWgiW+"'AG）監（刃SiWeF[x],l比照定理，证明：
二…丿.：
；有最大公因式.[提示：
如果丄…•不全为零，取：
是I中次数最低的一个多项式，则』.就是的一个最大公因式.]
§多项式的分解
1.在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：
C）3X241;（h）j:
3-2a3-2x+l.
2.分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式「.为不可约因式的乘积.
3.证明:
:
|,当且仅当I「卜:
4.工求J」7I:
"I在】：
订内的典型分解
式；
II求■!
；-：
；''■fJ-■'I-■■-在「［_内的典型分解式
5.证明：
数域F上一个次数大于零的多项式J.■-是“丄中某一不可约多项式的幕的充分且必要条件是对于任意一或者或者存在一个正整数喘使得于讨呂0".
6.设「厂是二［「中一个次数大于零的多项式.如果对于任意/!
■.L.■-7?
<-只要；」,；〕“就有」］或：
「.：
，「那么一不可
约.
§重因式
1.证明下列关于多项式的导数的公式：
（町=Ax）^）+fMM
Ii_未必是「.：
:
！
的片重因式;
是-―的二重因式的充分且必要条件是C:
3.证明有理系数多项式
没有重因式.
4..应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式
0）+
⑹X4+4m+B.
5.证明：
数域F上的一个葺次多项式能被它的导数整除的充分且
必要条件是
这里的八尸是F中的数。
§多项式函数多项式的根
1.设「>,求..
2.数环R的一个数「说是.<=-：
［-.的一个弱重根，如果…；可以被
a-M整除，但不能被（—旷整除.判断5是不是多项式
3z5-224x3+742x2+5^+50
的根.如果是的话，是几重根
3.设L「i--:
求「一r
[提示：
应用综合除法.]
4.将下列多项式表成•-二的多项式.
5.求一个次数小于4的多项式.■...,使一」/「-.W-
6.求一个2次多项式，使它在“•二"处与函数丄.■:
有相同的值.
2
7.令j.j是两个多项式,并且|可以被卫工一整除.证明J八1
8.令「是一个复数，并且是匕中一个非零多项式的根，令
7=vw^ewi/w=o]
证明在j中存在唯一的最高次项系数是i的多项式-「，使得」中每一
多项式「I；：
都可以写成：
一、」二的形式，这里」；.；*•_.
.ft在一；中不可约.如果.■--■.■：
■■,求上述的-汽：
[提示:
取“，是j中次数最低的、最高次项系数是i的多项式.]
9.设―中多项式八—-且「是一个大于1的整数.
证明：
」J.的根只能是零或单位根.
［提示：
如果「是的根，那么都是—•.的根•］
§复数和实数域上多项式
1.设址次多项式.'I；I-I-■■■■-L...的根是＜.■■■.：
.求
，以X!
rca2?
为根的多项式，这里；是--个数。
（ii）以丄，丄，…，丄（假定「-二.■■■「［都不等于零）为根的多项式.
12n
2.设「.一是一个多项式，用表示把的系数分别换成它们的共
轭数后所得多项式.证明：
....若是g：
「L那么!
.：
-.：
■;
□.若是j.i.是「.・.和y.的一个最大公因式，并且的最高次
项系数是1,那么门…是一个实系数多项式）.
3.给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.
4.在复数和实数域上，分解.；：
1为不可约因式的乘积.
5.证明：
数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.
§有理数域上多项式
1.证明以下多项式在有理数域上不可约
A1一二二1、；
（ii）2zs4-18z*+6xa+6;
….：
JI.1.'二I；
.1亠［..
2.利用艾森斯坦判断法，证明：
若是九阳…宀是f个不相同的素数而择是一个大于1的整数,那么J「…门是一个无理数•
3.设是一个整系数多项式.证明:
若是和「，都是奇数，那么不能有整数根.
4.求以下多项式的有理根：
，丿-.!
/._「；
...I?
.-1二一；
（刃门兀§—十一2工工+2只——x-3
''22
第三章行列式
§线性方程组和行列式§排列
1.计算下列排列的反序数:
2.假设n个数码的排列丄_的反序数是k,那么排列—亠的
反序数是多少
3.写出4个数码的一切排列.
§:
阶行列式
1.确定六阶行列式
口11如2…％
角I^22…盘护
»aaa■419■«■■
务］a62…a66
4.考察下列行列式:
旳1
a+■
“22
■"%
…5
»■■■■■»■■■
?
二
%
■¥■
%
%
…处
…％
%
%
、■ZJ
%
%
■-%
D=
其中..二.…：
是.这个数码的一个排列。
这两个行列式间有什么关系
龙一左aa.
ax-aa.
5.
计算冷阶行列式aax~a
b十亡
C+LX
a+B
a
bc
6+旳
©+知
=2
乞+6
內+的
巾+S
7.证明：
行列式
8.设在*阶行列式
au如"■au
D严］叱…%中，咛—片丄八让…冲证明，当尬是奇数吋，2）=0.
■■■4»■■■■I
细7…细
§子式和代数余式行列式的依行依列展开
10—1-1
1.
依第三行展开，然后加以计算.
把行列式0-1-11
abed
-1-110
2.计算以下行列式
<=>
32
+
十
G-
o
o
••
o
o
a
O
0
o
•
■
•
o
P
o
O
o
0
■
•
■
A
o
<=>
o
o
a
•
■
•
Cr
o
o
o
a
o
•
0
•
o
Cr
o
a
o
o
■
•
•
o
O
0
o
o
3
o
£
0
12
Ia5
总9
3
6
1
r—*
4
t—*
3
1
2
4
»—Ao
6
3
9
2
•—*
4
O
O
94
432
432
43
0
O
O
Foo
ooo
ia
a«
ooo
[_曲
0
…o
0
-1
吗
…0
0
0
-1
]—■码
…0
0
■>11
■*1
11«
■1«1t■
|>11
0
0
0
…1-叫_]
比
0
Q
0
…-1
1一龟
提示：
把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和
3•令11■■-11」件:
兀（可）
计算行列式W
§克拉默规则
1.解以下线性方程组:
k）7i]++2ng+?
丑4=h
3^!
_花_屯一2咼二一4n2町+3工合■屯一帝=-6’疋14-2x2+3為_軒=7.
（五）可-I■叼-I■曲+西=0,
+Xq+不耳+忑§=U,
石十2x^+3x3二2
x2+2r3+3xf--2,
邑+2^4+坯二2
2.设丁上，…「二*是..个不同的数，JL…■，一是任意「.个数,而
多项式
I■■■：
-■■■i■■I...."有以下性质：
■■■!
.■■■,.I-
用线性方程组的理论证明，的系数「.°…心是唯一确定的，并且对菇=1的情形导出拉格朗日插值公式
3.设■:
-用线性方程组的理论证明，若是有—一个不同的根，那么F「是零多项式.
第四章线性方程组
§消元法
1.解以下线性方程组:
（»兀1-2x2+也+可=1,问-2叱十屯-百二_1,筍一2巧十心十科二工（五）2无一孔+?
弄3=i3Xj+込一5x3=0F4盂］-+xL-3,筍+3乃-13^3=-6.
2.证明：
对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。
3.设起阶行列式—%%H0.
BHI«■*■4II■4
4.证明：
在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把
垃行丹列矩阵
「1
0■■■
0
cP
知
…%
0
1…
0
0
口21
勺2
化为亍冋列矩阵
■ft1
1>feBt>11
hl*
■It
0
0…
1
0
厲1
5
…仏」
2
0…
0
§矩阵的秩线性方程组可解的判别法
1.对第一和第二种行初等变换证明定理
2.利用初等变换求下列矩阵的秩：
f2
1
11
2
1
0
4
-1
11
4
56
5
<2
-1
5
7
[125P
123710
1342门
J451116^
3.证明：
一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1.
4.证明：
含有个未知量—1个方程的线性方程组
有解的必要条件是行列式
au
这个条件不是充分的，试举一反例.
5..〉_T「C一：
.‘二P：
_
有解
6..!
取怎样的数值时，线性方程组
有唯一解，没有解，有无穷多解
§线性方程组的公式解
1考虑线性方程组:
这里」+=〔一「丨「亠『十「一zi一心m+L.
2..|二厂片二」上一「L；
it]2iT?
+JTj+尢斗~1=
H]-2工2+也■X斗=・1"
x1-2巧+码+5j4=5.
3.设线性方程组:
Qll^L+鸟12才；I+■「+疗11斥*=尻
（9）
^21^1+位竝兀厦■Hi+agXx-b^,
耳01+耳內+…+务花耳=^>
有解，并且添加一个方程：
-―二—+\■.,'..于方程组（9）所得的
方程组与（9）同解.证明：
添加的方程是（9）中迢个方程的结果.
4.设齐次线性方程组
©怀1+L»iaz3+--+lz1mzm=0,
的系数行列式二j，而匸中某一元素J的代数余子式.「.证明：
这
个方程组的解都可以写成.■-■■■.■-,的形式，此处k是任意数.
5.设行列式
“21
a：
=0
令.是元素:
的代数余子式.证明：
矩阵
的秩二:
.
第五章矩阵
§矩阵的运算
1.计算
广12和
广-1-2-驴
246
-1-2一4
占6巧
U2
4丿
广13
r3-i
02、
01
-3
20
1T
30
5
2-14
□2P
『231\
2P
012
-110
012
J1h
J
卫1b
2.证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B,第j列等于B的第j列左乘以A.
3.可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：
（i）设B=（[）是一个n・p矩阵.令$=几…打是B的第
j列，j=1,2,…,p.又设是任意一个p1矩阵.证明：
B；=「’•厂■：
•、、■.
（ii）设A是一个mn矩阵.利用（i）及习题2的结果，证明：
A（B匕）=（AB）；.
（iii）设C是一个pxq矩阵.利用（ii），证明：
A（BC）=（AB）C.
4.
设
r0
1
0
A=
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
证明：
当且仅当
B=^：
；时，AB=BA
（000a」
5.令.是第i行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵.求
:
■■匚•
6.求满足以下条件的所有n阶矩阵A
（i）"i,j=1,2,…,n,
（ii）AB=BA;这里B是任意n阶矩阵。
7.举例证明，当AB二AC寸，未必B=C
8.证明，对任意n阶矩阵A和B,都有AB-BA^I.［提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和］
9.令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：
（—里）（亠■一二-I_「）二2
10.对任意n阶矩阵A,必有n阶矩阵B和C,使A=B+C并且
B=B\C=-Cl
§可逆矩阵矩阵乘积的行列式
1.设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：
把第二行的3倍加到第三行,把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么
2.证明：
一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵.
3.求下列矩阵的逆矩阵:
1
2
-I'1
x
i
-SillCf
3
-4
-2
；
"inor
COS^J
5
-3
1
7
1
2兀2兀
——S1H——.
33
4.设A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得匚
（i）证明丄可逆，并且•-I…
（ii）求下列矩阵的逆矩阵
4-12-34
01-12-3
001-12。
0001-1
[o0001」
、九（a
5.设/=,加—
证明，一总可以表成丄；和=型初等矩阵的乘积.
6.令二「是n阶矩阵討的伴随矩阵，证明「厂-
（区别detA工0和detA=O两种情形）
7.设A和B都是n阶矩阵.证明，若AB可逆，则A和B都可逆.
8.设A和B都是n阶矩阵.证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵.
9.证明，一个n阶矩阵A的秩w1必要且只要A可以表为一个n•；1矩阵和一个
15矩阵的乘积.
10.证明：
一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和.
11.设A是一个n：
：
n矩阵，「都是n1矩阵.用记号•，亠：
表示以•「代替A的第i列后所得到的「工矩阵.
（i）线性方程组」：
「可以改写成•:
?
7，■-■-!
I是
n阶单位矩阵.
（ii）当detA工0时，对（i）中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则.
§矩阵的分块
1.求下面矩阵的逆矩阵.
2
-1
0
IJ-
-3
2
0
0
31
-19
3
-4
■23
14
-2
2.
设A,B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明
是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法.求SA,AS,TA和AT•由此能得出
什么规律
4.证明，2n阶矩阵
U0、
1
总可以写成几个形如
rl0
pq
的矩
[ob
\ei）
阵的乘积.
5.设
30・・・夕
0亠£…0A=巴
■»■+■a■I--I■--I■
0…j4j
升级会员 