二阶线性微分方程的解法.docx
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二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如ypyqyf（x）
（1）
的方程称为二阶常系数线性微分方程•其中p、q均为实数，f（x）为已知的
连续函数.
如果f（x）0,则方程式
（1）变成
ypyqy0
（2）
我们把方程
（2）叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式
（1）叫做二阶常
系数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解法.
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1．解的叠加性
定理1如果函数yi与y是式⑵的两个解，则yCiyi也是
式⑵的解，其中C1,C2是任意常数.
证明因为yi与y是方程⑵的解，所以有
y1py1qy10
y2py2qy20
将yC1y1C2y2代入方程
（2）的左边，得
（C1y1C2y2）p（C1y1C2y2）q（C1y1C2y2）
=C1（y1py1qy1）C2（y2py2qy2）0
所以yCiyiCy是方程⑵的解•
定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.
叠加起来的解从形式看含有Ci，C2两个任意常数，但它不一定是方程式
（2）的通解•
2•线性相关、线性无关的概念
设yi，y2，,yn,为定义在区间i的n个函数，若存在不全为零的常数
ki,k2,,kn,使得当在该区间有kiyik?
y2knyn0,则称这n个
函数在区间I线性相关，否则称线性无关.
例如1,cos2x,sin2x在实数围是线性相关的，因为
22
1cosxsinx0
又如1,x,x2在任何区间（a,b）是线性无关的，因为在该区间要使
k1k2xk3x20
必须kik2k30.
对两个函数的情形，若上常数，则y「y2线性相关若如常数，则y2y2
yi，y线性无关.
3•二阶常系数齐次微分方程的解法
定理2如果yi与y2是方程式⑵的两个线性无关的特解，则yCiyiC2y2（G，C2为任意常数）是方程式
（2）的通解.
例如，yy0是二阶齐次线性方程，y_jsinx，y2cosx是它的
Vi
两个解，且-tanX常数，即yi，y2线性无关，所以y2
yCiyiC2y2&sinxC2cosx
（Ci，C2是任意常数）是方程yy0的通解•
rx
由于指数函数ye（r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，
根据指数函数的这个特点，我们用y来试着看能否选取适当的常数r，
rx
使ye满足方程
（2）.
将yerx求导，得
rx2rx
yre,yre
把y,y,y代入方程⑵，得
.2\rx
（rprq）e0
因为e^0,所以只有r2prq0
只要r满足方程式（3）,yerx就是方程式⑵的解.
我们把方程式（3）叫做方程式
（2）的特征方程，特征方程是一个代数方程
其中r2,r的系数及常数项恰好依次是方程
（2）y,y,y的系数•
特征方程（3）的两个根为A,2P"一,因此方程式
（2）的通
解有下列三种不同的情形
2
（1）当p
4q0时，ri,r2是两个不相等的实根•
ri
P.P24q
2
PP24q
2
yierix,y2er2x是方程⑵的两个特解，并且上e（rir2）x常数，即
y2
yi与y2线性无关•根据定理2,得方程⑵的通解为yCie"C2e°x
2
⑵当p4q0时，九“是两个相等的实根
riD£,这时只能得到方程⑵的一个特解yierix,还需求出另一个解y2,且里常数，设里u（x）,即
yiyi
rix,、
y2eu（x）
yerix（uriu）,yerix（u2riu『u）.
将y2,y2,y代入方程⑵，得
erix（u2r1ur12u）p（ur1u）qu0
整理，得
erix[u（2rip）u（ri2priq）u]0
由于eriX0,所以u（2rip）u（r,pqq）u0
因为ri是特征方程（3）的二重根，所以
ri2priq0,2rip0
从而有u0
因为我们只需一个不为常数的解，不妨取ux,可得到方程⑵的另
个解
rix
y2xe.
那么，方程
（2）的通解为
cFix小rix
yCieC2xe
即y（GC2x）erix.
（3）当p24q0时，特征方程（3）有一对共轭复根
ri
i，
r2
i
（0）
-Tt曰
（i）x
（i
）x
于是
yi
e
，y2
e
利用欧拉公式
eix
cosx
isinx把yi,讨2改写为
yi
（i）xe
xe
ixe
ex（cosx
isin
x）
y2
（i）xe
xe
ixe
ex（cosx
isin
x）
yi，y之间成共轭关系，取
yi=]（yiy2）excosx，2
一
1、x.
y2
評y2）esinX
y2
yi
x
esinx
x
ecosx
tanx常数，所以方程
（2）的通解为
方程⑵的解具有叠加性,所以yi,y2还是方程⑵的解,并且
x
ye（C1cosxC2sinx）
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下
（1）写出方程⑵的特征方程
2
rprq0
（2）求特征方程的两个根ri,a
⑶根据ri,r2的不同情形，按下表写出方程⑵的通解.
2
特征方程rprq0的
两个根r1,r2
方程ypyqy0的通
解
两个不相等的实根r1r2
yC1er1xC2er2x
两个相等的实根r1r2
y（GC2X）er1x
一对共轭复根r1,2i
yex（C1cosxC2sinx）
例1求方程y2y5y0的通解.
解：
所给方程的特征方程为
r22r50
ri12i,r212i
所求通解为
yex（C1cos2xCzSin2x）.
2
例2求方程d芋2dSdt2dt
的特解.
解所给方程的特征方程为
2
r
S
2r
0满足初始条件St04,St0
10
2
r1
r2
1
通解为
S
（C1
C2t）et
将初始条件St04代入，得Ci4,于是
S（4C2t）et,对其求导得
S（C24C2t）et
将初始条件St02代入上式，得
C22
所求特解为
S（42t）et
例3求方程y2y3y0的通解.
解所给方程的特征方程为r22r30
其根为r13,r21
所以原方程的通解为yC1e3xC2ex
二、二阶常系数非齐次方程的解法
1.解的结构
定理3设y是方程
（1）的一个特解，丫是式
（1）所对应的齐次方程式
（2）的通解，则yYy是方程式
（1）的通解.
证明把yYy代入方程
（1）的左端：
（Yy）p（Yy）q（Yy）
=（YpYqY）（ypyqy）
=0f（x）f（x）
yYy使方程
（1）的两端恒等,所以yYy是方程
（1）的解.
定理4设二阶非齐次线性方程
（1）的右端f（x）是几个函数之和,如
ypyqyf1（x）f2（x）（4）
而y1与y2分别是方程ypyqyf1（x）
与ypyqyf2（x）
的特解，那么yiy就是方程（4）的特解，非齐次线性方程
（1）的特解有时可
用上述定理来帮助求出.
2.f（x）eXpm（x）型的解法
f（x）exPm（x）,其中为常数,Pm（x）是关于x的一个m次多项式.
方程
（1）的右端f（x）是多项式Pm（x）与指数函数ex乘积的导数仍为
同一类型函数,因此方程
（1）的特解可能为y
Q（x）ex,其中Q（x）是某个
多项式函数.
把y
Q（x）ex
y
[Q（x）Q（x）]ex
y
[2Q（x）2Q（x）Q
（x）]ex
代入方程
（1）并消去
ex,得
Q（x）
（2p）Q（x）（2
pq）Q（x）Pm（x）（5）
以下分三种不同的情形，分别讨论函数Q（x）的确定方法
（1）若不是方程式
（2）的特征方程r2prq0的根,即
2pq0,要使式（5）的两端恒等,可令Q（x）为另一个m次多项式Qm（x）:
Qm（x）b0b1xb2x2bmxm
代入（5）式,并比较两端关于x同次幂的系数,就得到关于未知数b0,b1,,bm
的m1个方程.联立解方程组可以确定出bi（i0,1,,m）.从而得到所求方程的特解为
yQm（x）ex
（2）若
是特征方程r2
prq0的单根,即
2
2p
q0,2
p0,要使式⑸成立，则Q（x）必须要是m次多
项式函数,于是令
Q（x）xQm（x）
用同样的方法来确定Qm（x）的系数bi（i0,1,,m）.
22
（3）若是特征方程r2prq0的重根,即2pq0,
2p0.
要使（5）式成立，则Q（x）必须是一个m次多项式，可令
2
Q（x）x2Qm（x）
用同样的方法来确定Qm（x）的系数.
综上所述,若方程式
（1）中的f（x）Pm（x）ex,则式
（1）的特解为
xkQm（x）e
其中Qm（x）是与Pm（x）同次多项式，k按不是特征方程的根，是特征方程
的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.
2x
例4求方程y2y3e的一个特解
解f（x）是Pm（x）ex型,且Pm（x）3,2
对应齐次方程的特征方程为
r22r0,特征根根为口0,02.
=-2是特征方程的单根，令
yxb°e2x，代入原方程解得
故所求特解为
3
b0
—
2
y
32x
xe
2
例5求方程y2y（x1）ex的通解.
解先求对应齐次方程y
2yy0的通解.
特征方程为r22r10,r1r21
齐次方程的通解为
再求所给方程的特解
Y（GC2x）ex.
1,Pm（x）x1
由于1是特征方程的二重根，所以
yx2（axb）ex
把它代入所给方程，并约去ex得
6ax
2b
x1
比较系数，得
1
1
a
—
b
6
2
于是
y
2/X
x（6
1'x
1）e
所给方程的通解为
yyy
（C1
C2x
12
x
±x3）e
2
6
f（x）AcosxBsinx,其中A、B、均为常数.
此时,方程式⑴成为
ypyqAcosxBsinx（7）
这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式⑺的特解y也
应属同一类型，可以证明式（7）的特解形式为
yxk（acosxbsinx）
其中a,b为待定常数.k为一个整数.
当i不是特征方程r2prq0的根，k取0；
2
当i不是特征方程rprq0的根，k取1;
例6求方程y2y3y4sinx的一个特解.
解1，ii不是特征方程为r22r30的根，k0.
因此原方程的特解形式为
yacosxbsinx
于是yasinxbcosx
yacosxbsinx
将y,y,y代入原方程，得
4a
2a
2b
4b
0
4
解得
a
2
b
4
5
5
原方程的特解为：
y
2
cosx
4.sinx
5
5
例7求方程y
2y3y
ex
sinx的通解
解先求对应的齐次方程的通解Y.对应的齐次方程的特征方程为
r22r30
ri1,r23
YC1exC2e3x
再求非齐次方程的一个特解y•
由于f（x）5cos2xex,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为
fi（x）ex,f2（x）sinx的特解yi、y?
则yyy是原方程的一
个特解•
由于1,ii均不是特征方程的根，故特解为
yy1y2aex（bcosxcsinx）
代入原方程，得
XX
4ae（4b2c）cosx（2b4c）sinxesinx
比较系数，得
4a
1
4b2c
0
2b
4c1
解之得a
1
b
1
c
1
4
10
5
于是所给方程的一个特解为
1x
1
1
sinx
y
e
cosx
—
4
10
5
所以所求方程的通解为
yYy
C1e
xC2e3x
1
x1
e
1.
cosxsinx
4
10
5
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