Leslie人口模型及例题详解.docx
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Leslie人口模型及例题详解
Leslie人口模型
现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。
如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须
建立一个更精确的模型。
20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化
的离散模型。
模型假设
（1）将时间离散化,
假设男女人口的性别比为
i：
i，因此本模型仅考虑女性人口的发展变
化。
假设女性最大年龄为
S岁，将其等间隔划分成
m个年龄段，不妨假设S为m的整数倍，每隔
S/m年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的
变化；
（2）记ni（t）为第i个年龄组t次观察的女性总人数，记
di，记
第i年龄组女性生育率为bi（注：
所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为
Si1di,假设bi,di不随时间变化；
⑶不考虑生存空间等自然资源的制约，不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响
（4）生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。
建立模型与求解
根据以上假设，可得到方程
ni（t
m
1）=bn,t）
i1
nii（t
1）
sni（t）i1,2•…，m-1
写成矩阵形式为
（2）
n（0）[ni（O）,n2（0）,,nm（0）]
假设n（0）和矩阵
L已经由统计资料给出，则
为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件:
（i）Si>0，i=1，2,…，n-1;
（ii）bi0，i=1，2，…，m且b不全为零。
i）、（ii）下，下面的结果是成立
易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。
在条件（
的：
定理1
L矩阵有唯一的单重的正的特征根0，且对应的一个特征向量为
2m1T
n*=[1,si/o,S1S2/o，…，S1S2…sm-i/o]（3）
定理2
若i是矩阵L的任意一个特征根，则必有i0。
定理3
若L第一行中至少有两个顺次的bi,bi10，则
（i）若1是矩阵L的任意一个特征根，则必有10。
（ii）Jimn（t）/0=cn*,（4）
其中c是与n（0）有关的常数。
定理1至定理3的证明这里省去。
由定理3的结论知道，当t充分大时，有
n（t）c0n*（5）
定理4
记ibiS1S2LS1,q（）=1/+2/2+…+m/m，贝y是L的非零特征根的充分必要
条件为
q（）=1（6）
所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按-1的比例增长。
由（5）式可得到如下结论：
（i）当>1时，人口数最终是递增的；
（ii）当<1时，人口数最终是递减的；
（iii）当=1时，人口数是稳定的。
根据（6）式，如果=1，则有
b1+b2S1+b?
S1S2+…+bmS1S2…Sm-1=1
记
R=b1+b2S1+bsS1S2+…+bms1S2…Sm-1（7）
R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。
当R>1时，人口递增；当R<1
时，人口递减。
Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。
公园大象管理
南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存
环境，将大象的总数控制在11000头左右。
每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。
过去
20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀
或者迁移的方法来实现。
统计表明，每年约处理600-800头大象。
近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。
但是一种新
的给大象打避孕针的方法也被研制成功。
一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。
公园有一些关于大象的资料，供建模参考：
1几乎不再迁入或迁出大象；
2目前性别比接近1：
1，采取控制后，也希望维持这个比例；
3初生象的性别比也是大约1：
1，生双胎的比例为%
4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；
5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；
6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；
7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；
8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；
你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成
以下任务：
1建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；
2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,（你可能被要求观察30-60年）；
3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种
4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；
5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程（最多3页）回答公共关心的问题。
6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.
附过去两年的迁出数据
年龄
0
1
2
345
6
789
总量1
103
77
71
7068
61
58515251
母象1
50
36
41
2931
30
28242229
总量2
98
74
69
61
60
54
52
59
5857
母象2
57
34
33
29
34
28
27
31
2525
年龄
10
11
12
13
14
15
16
17
1819
总量1
51
50
51
48
47
49
48
47
4342
母象1
27
27
26
27
26
25
28
27
1925
总量
2
60
63
64
60
6
359
52
55
4950
母象
2
26
36
38
30
3
334
24
30
2130
年龄
20
21
222
3
24
25
26
27
2829
总量
1
42
37
39
41
42
43
45
48
49
47
母象
1
18
16
19
24
17
25
21
26
29
27
总量
2
53
57
65
53
56
50
53
49
43
40
母象
2
29
27
40
23
29
24
21
26
24
16
年龄
30
31
32
33
3
4353637
3839
总量
1
46
42
44
44
46
49
47
48
46
41
母象
1
24
22
20
22
24
24
23
25
21
24
总量
2
38
35
37
33
20
33
30
29
29
26
母象
2
17
16
18
18
15
18
12
17
16
13
年龄
I
4
0
41
42
43
44
4546
47
48
1
总量1
41
42
43
38
34
34
33
3035
26
母象1
24
19
26
20
20
15
16
1320
11
总量2
10
24
25
22
21
22
11
2121
19
母象2
6
11
14
10
10
12
8
1112
9
年龄
50
51
52
53
54
55
5657
58
59
总量1
21
18
14
59
7
6
0
44
母象1
10
9
844
4
3
0
32
总量2
15
5
10
97
6
5
4
70
母象2
6
4
54
4
2
3
2
40
年龄
60
6
62
63
6465
66
67
68
6970
总量143221302102
母象
1
2
1
1
1
0
3
0
0
1
0
2
总量
2
2
3
0
2
0
2
0
1
0
0
0
母象
2
2
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
假设与分析
1大象性别比接近1：
1，初生象的性别比也是大约1：
1，采取控制后，也希望维持这个比例；
2过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；
3避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个年龄的母象是等比例避孕的，比例系数为k,仅通过调节k来控制公园大象数量；
4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁，当前状态下，成年象的成活率为s,生育母象率为r,老年象的成活率是线性逐渐递减的，因此其成活率可表示为设初生象活到1岁的存活率为s0。
5避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是否怀
孕,一旦打了避孕针,母象就被避孕或中止怀孕,平均每年有比例的母象处于避孕状态；每年母
象的避孕率为,每年的避孕方案时瞬时完成的。
6假设大象的年龄结构是稳定的。
数据处理与分析
（1）2-60岁大象的存活率与年龄结构
母象生育率为
r=1/+（1+/2=头/年
12岁的母象生育母象的生育率为r/6。
由题设知道存活率s（0.95,0.99）。
以下是第一年迁移出0至70岁大象数据
x1=[103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,3
5,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4,4,4,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2];
以下是第二年迁移的0-70岁大象数据
x2=[98,746961605452595857606364606359525549
5053576553565053494340383537332033302929261024252221
221121211915510976547023020201000];x=x1+x2;x0=x/norm（x,1）;
以下是第一年迁移的0-59岁母象数据
y1=[5036412931302824222927272627262528271925181619
241725212629272422202224242325212424192620201516
13201110984443032];以下是第二年迁移的0-59岁母象数据
y2=[5734332934282731252526363830333424302130292740
2329242126241617161818151812171613611141010128
111296454423240];考虑到有些数据较小及抽样的随机性，我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据。
t1=x1（2:
11）;t2=x2（2:
11）;
tt=t1+t2;
tt1=tt（1:
9）;tt2=tt（2:
10）;tn=tt2./tt1;
mean（tn）
ans=
t1=x1（
12:
21）;t2=x2（
12:
21）;tt=t1+t2;tt1=tt（1:
9）;
tt2=tt（2:
10）;tn=tt2./tt1;
mean（tn）
ans=
t1=x1（
12:
31）;t2=x2（
12:
31）;tt=t1+t2;
tt1=tt（1:
19）;
tt2=tt（2:
20）;tn=tt2./tt1;
mean（tn）
ans=
t1=x1（
12:
41）;t2=x2（
12:
41）;tt=t1+t2;
tt1=tt（1:
29）;
tt2=tt（2:
30）;tn=tt2./tt1;
mean（tn）
ans=
t1=x1（
12:
51）;t2=x2（
12:
51）;tt=t1+t2;
tt1=tt（1:
39）;
tt2=tt（2:
40）;tn=tt2./tt1;
mean（tn）
ans=
t1=x1（
12:
60）;t2=x2（
12:
60）;tt=t1+t2;
tt1=tt（1:
48）;tt2=tt（2:
49）;tn=tt2./tt1;mean（tn）
ans=
n1=zeros（1,71）;
n1
（1）=1;n1
（2）=;
fori=3:
61
n1（i）=n1（i-1）*;
end
n1;
fori=62:
71
n1（i）=n1（61）*（1-（i-61）/10）;
end
n1;
N1=n1（12:
50）;
xx=x（12:
50）;
xx=100*xx/norm（xx,1）;
N1=100*N1/norm（N1,1）;
t=1:
39;plot（t,N1,t,xx）;axis（[10,40,0,5]）;title（'图1'）通过以上分析大致可以得到，1-60岁大象的存活率约为。
0-70岁年龄结构向量见图2。
y0=100*x0/norm（x0,1）;
a=0:
70;
bar（a,y0,'stacked'）;
title（'图2'）
下面我们取s00.75,s1s20.98。
m1=zeros（1,71）;
m1
（1）=1;
m1
（2）=;
fori=3:
61
m1（i）=m1（i-1）*;
end
m1;
fori=62:
71
m1（i）=m1（61）*（1-（i-61）/10）;
end
m1;
m1=100*m1/norm（m1,1）;
bar（a,m1,'stacked'）;
title（'图3稳定的年龄结构'）
plot（a,m1,'r-',a,y0,'b-.'）;
title（'图4年龄结构当前状态与稳定状态比较'）
polyfit（y0,m1,1）
ans=
从所给的数据来看，象群的年龄结构还没有达到相对稳定的状态。
根据以上数据，大体可以得到l=zeros（71,71）;l（1,13）=6;l（2,1）=;
fori=14:
61
l（1,i）=;
end
l;
forj=3:
61
l（j,j-1）=;
end;l;
fork=62:
71
l（k,k-1）=
eig（l）;
矩阵的唯一正特征值为。
对于不同的存活率，得到的唯一正特征值为：
下面我们估计每年处于避孕状态母象的比率。
此时，女性生育率为0.1448
（1）。
记
由（6）式得
解得
1_1/*杯11*（1/6+
ans=
即每年应该有%的母象处于避孕状态。
为了保证有%的母象处于避孕状态，下面分析每年应该打避孕针母象的比例。
在假设3和假设5的前提下，如果每年打避孕针母象比例为。
母象可以分成3类：
即
当年被打避孕针而上一年没有被打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针,比例为
2
2
（1）；连续两年被打避孕针2；连续两年没有被打避孕针。
只有最后一类母象具有生育能力。
因此，只需要满足方程
1-sqrt
ans=*5500
ans=
+003
解得0.387，即每年大约需要给2127头母象打避孕针。
在方案实施过程中，实际上根本不需要打这么多针，因为许多小象还是可以识别的。
可以采取随机抽样的打针方式，对于抽到的小象只计数不打针，直至计满2127头母象，就算完成当年任务。
采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的，下面给出了打与不打避孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群数的比较。
m1=zeros（1,71）;
m1
（1）=1;m1
（2）=;
fori=3:
61
m1（i）=m1（i-1）*;
end;m1;
fori=62:
71
m1（i）=m1（61）*（1-（i-61）/10）;
end;m1;
n1=zeros（1,71）;
n1
（1）=1;n1
（2）=;
fori=3:
61
n1（i）=n1（i-1）*;
end;n1;
fori=62:
71
n1（i）=n1（61）*（1-（i-61）/10）;
end;n1;
subplot（1,2,1）
a=0:
70;
plot（a,m1,'r-',a,n1,'b--'）;
title（'图5年龄结构比较'）;
axis（[0,70,0,1]）;
M1=5500*m1/norm（m1,1）;N1=5500*n1/norm（n1,1）;
a=0:
70;
subplot（1,2,2）
plot（a,M1,'r-',a,N1,'b--'）
title（'图5各年龄段大象数比较图'）
axis（[-0,70,0,300]）通过以上两个图的比较，可以发现采取避孕措施，将使幼象、小象数减少，中老年象数增加。
由于采取避孕措施，使得初生小象数减少，因此会不可避免地引起象群年龄结构的改
变，下面分析，15年、30年、60年后的象群年龄结构。
L=zeros（71,71）;
L（1,13）=*6;L（2,1）=;
fori=14:
61
L（1,i）=*;end;L;
forj=3:
61
L（j,j-1）=;end;L;
fork=62:
71
L（k,k-1）=end;L;
eig（L）;
n15=LA15*x0';n30=LA15*n15;n60=LA30*n30;
n15=100*n15/norm（n15,1）;n30=100*n30/norm（n30,1）;
n60=100*n60/norm（n60,1）;
M15=5500*n15/norm（n15,1）;M30=5500*n30/norm（n30,1）;
M60=5500*n60/norm（n60,1）;
bar（a,55*y0）
title（'图6a避孕前种群量分布'）;axis（[0,70,0,250]）bar（a,M15）
title（'图6b避孕15年后种群量分布'）;axis（[0,70,0,250]）bar（a,M30）
title（'图6c避孕30年后种群量分布'）;axis（[0,70,0,250]）M60=5500*n60/norm（n60,1）;
bar（a,M60）
title（'图6d避孕前种群量分布'）;axis（[0,70,0,250]）
n70=LA70*x0';n70=100*n70/norm（n70,1）;k1=100*m1/norm（m1,1）;
图7给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比较
plot（a,k1,'r-',a,n70,'b-.'）;
title（'图7避孕前后稳定的年龄结构'）;axis（[0,70,0,5]）数据不确定性对结果的影响
分别取s00.7,0.8,s1s20.95,0.99
1-1/**A11*（1/6+
ans=
1-sqrt
ans=
1-1/**A11*（1/6+
ans=
1-sqrt
ans=
每年需避孕的母象比例为%—%。
对于每年可以迁移50-300头大象及s00.75,s1s20.98，下面分析避孕方案的变化及最经济的方案。
设增长率为p，对于so0.75,3S20.98
令
当p1.01，每年的避孕率为%，每年迁出110头；当p1.02，每年的避孕率为%，每年迁出220头；当p1.025，每年的避孕率为%，迁出275头。
1-1/**A11*（1/6+
ans=
1-sqrt
ans=
p=;
1-pA12./**A11*（1/6+./p-./p）.A49）/./p）））
ans=
1-sqrt
ans=
p=;
1-p.A12./**A11*（1/6+./p-./p）A49）/p）））
1-sqrt
ans=
p=;
1-p"2./**A11*（1/6+./p-./p）
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