双曲线练习题及答案.docx
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双曲线练习题及答案
双曲线的焦半径公式:
双曲线相关知识
1:
定义：
双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2.已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1
点P（x,y）在左支上
IPF1|=-（ex+a）;IPF2|=-（ex-a）
点P（x,y）在右支上
IPF1I=ex+a；IPF2|=ex-a
运用双曲线的定义例1.若方程x2是（）
A第一象限
sina+y2cosa=1表示焦点在y轴上的双曲线，则角a所在象限
B、第二象限C、第三象限D
、第四象限
22
练习1.设双曲线-計1上的点P到点（5,0）的距离为
15,则P点到（-5,0）的
距离是（）
A.7B.23
C.5
或23
D.7
或23
22
例2.已知双曲线的两个焦点是椭圆—+也=1
1032
线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（
2222
（A）x^-T=1（B）T—V=1（C）x
6446
的两个顶点,
双曲线的两条准
）。
22
--—
53
2
L=1
5
练习2.离心率e=V2是双曲线的两条渐近线互相垂直的（
）。
（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件
件
（D）不充分不必要条
例3.已知I0|v；，直线y=-tg0（x—1）和双曲线y2cos0共点，贝U0等于（）。
X2=1有且仅有一个公
一-兀兀5兀
（A）±6（B）±；（C）±3（D）±匸
课堂练习1、已知双曲线的渐近线方程是y=±|，焦点在坐标轴上且焦距是10，贝U此双曲
线的方程为
2
3.设e1,e2分别是双曲线笃
a
的大小关系是
2
4.若点0和点F（—2,0）分别是双曲线笃-y2=1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲
a
线右支上的任意一点,则OP^FP的取值范围为（）
A.[3-2B.[3+2>/3,畑）C.[-—，母）D.[—,址）
44
5.已知倾斜角为-的直线1被双曲线x2-4y2=60截得的弦长IAB|=8^2，求
4
直线1的方程及以AB为直径的圆的方程。
6.已知P是曲线xy=1上的任意一点，F（运近）为一定点，丨：
x+y-72=0为
定直线，求证：
|PFI与点P到直线丨的距离d之比等于72。
7、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为（73,0）.
（I）求双曲线C的方程
（U）若直线I:
y=kx+72与双曲线恒有两个不同的交点A和B且OA•OB>2（其中0为原点），求k的取值范围
8、已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B点。
（1）求a的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值;
（3）
2
-=1的交点的个数是（）
4
（C）2个（D）3个
3.直线y=X+3与曲线-型+丫
4
（A）0个（B）1个
4.双曲线X2—ay2=1的焦点坐标是（
2
話二1与圆X2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围是
9.求经过点P（-3,2J7）和Q（-6J2-7），焦点在y轴上的双曲线的标准方程
10设函数f（x）=sinxcosx—寸3cos（x+n）cosx（x€R）.
（1）求f（x）的最小正周期；⑵若函数y=f（x）的图象按b=t，字］平移后得到函数y=g（x）的图象，求y
I42丿
=g（x）在卜的最大值
11、已知数列｛a,满足ai=1,an+=2an+1（n壬N*）.
（I）求数列牯」的通项公式;
（II）若数列心｝满足4242*2=（an+1卢（n-V），证明：
｛bn｝是等差数列;
课2.［解析］从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选
22
3、解
（1）设双曲线方程为笃-爲=1
a2b2
而XaXb+yAyB=XaXb+（kxA+V2）（kXb+72）=（k2+1）XaXb+72k（XA+xb）+2
十1）亠畑込2斗
1—3k1-3k3k-1
22
于是3k^^>2，即—3<+9>0解此不等式得1ck2c3.②
3k2-13k2—13
12
由①+②得一3
故的取值范围为（_1,_VI）u卜总」
3I3丿
4、解：
（1）由卩「x：
1消去y，得（3-a2）x2-2ax-2=0
（1）
[3x-y=1
依题意[3"aHO即-J6cavJ6且aH±J3
（2）
[a>0
x^X2=-2a^（3）
（2）设A（X1,y1）,B（X2,y2），则｛2*
畑=二（4）
I3—a
9设函数f（x）=sinxcosx—73cos（x+n）cox（x€R）.
（1）求f（x）的最小正周期；
⑵若函数y=f（x）的图象按b=丁，2尸移后得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在
0,nn上的最大值.大纲文数18.C9[2011重庆卷]
11寸31寸3寸3
【解答】
（1）f（x）=2sin2x+也cos2x=^sin2x+专（1+cos2x）=in2x+专cos2x+2
=sin（2x+故f（x）的最小正周期为T=界n.
=Sin]2/—；）+讣申+当=sin
22、已知数列taj-满足a1=1,an甲=2an+1（n亡N*）.
（I）求数列｛aj的通项公式;
（II）若数列｛0｝满足44」4»2-..44」=（an+1）°（n^N*），证明：
｛bn｝是等差数列;
22（I）：
7an+=2an1n<^N
”an++1=2（an+1）,
/.｛an+1｝是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。
/.an+1=21
2*
即an=2-1（n亡N）.
（II）证法一：
：
才乜山七才心=（an+1）bn.
”2[（bi+b2+..+bn）—n]=nbn,
2[（bi+b2+...+bn+bn十）-（n+1）]=（n+1）bn卄
②一①，得2（bn+—1）=（n+1）bn卅—nbn,
即（n—1）bn+-nbn+2=0,
nbn七—（n+1）bn++2=0.
④一③，得nbn42—2nbn++nbn=0,
即bn七一2bn++bn=0,”bn七一bn+=bn+—bn（n匸N）,
练习题答案
22-
1、［解析］设双曲线方程为x一4y=h
当几＞0时，化为
=1-.2—=10二A=20,
V4
2、［解析］从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选
22
Xy
7、解
（1）设双曲线方程为一2—丄牙=1
ab
由已知得a=J3,c=2，再由a2+b2=22，得b2=1
2
cX2
故双曲线C的方程为——-y=1.
3
而XaX^YaY^XaXb+（kxA+逅）（kXb,+72）=（k2+1）XaXb+丘k（XA+Xb）+2
—3k2+9
于是叮＞2,即二3尸＞0解此不等式得1＜k^3.②
3k~13k-13
12
由①+②得一3
故的取值范围为（一1,—卜生,1
fy=ax+122
&解：
（1）由J消去y，得（3-a"-2ax-2=0
（1）
iSx2-y2=1
课练4【答案】
2
有背-％2十皿），解得
程为一-y2=1,设点P（X0,y0）,则
3
2
yo=~3-1（Xo二V3）
.|PF|2x2-272x+2+y2-2咼+2
.22,
dX+y
因为=（Xo+2』0）,O^=（X0,y0）,所以
OpF^=x/x,+2）+y02=X0（X0+2）+旦—1=处+2x^1，此二次函数对应的抛物
33
线的对称轴为,因为x0>V3,所以当x0=J3时，OP"Fp取得最小值
4
4x3+2J3-1=3+2j3，故OPFP的取值范围是［3+2J3,垃），选B。
3
课练5答案：
y=x±9,（X±12）2+（y±3）2=32
提示：
设直线的方程是y=x+m,与双曲线的方程X2—4y2=60联立，消去y得3x2+8mx+4m2
+60=0,|AB|=72区1—X2|=J2J=842,解得m=±9,•••直线l的方程是y=x±9,
19
当m=9时,AB的中点是（12,3）,.・.圆的方程是（x—12）2+（y—3）2=32，同样当m=-9时，AB的中点是（一12,—3）,圆的方程是（X+12）2+（y+3）2=32
课练6提示：
设P（X,y）,|PFf=（x—72）2+（y—罷）2,P点到直线l的距离d=[x+y匚时21
2十2-2运X-2屈乜y=2,PF'与点卩到直线1的距离d之比等
课后6答案：
B提示：
a2-b2=1,罟"且a2>b2,a>0,解得a+b=2
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