刷子几何千题大典第1卷.docx
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刷子几何千题大典第1卷
如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连接AC、AF，延长AF交AC的平行线DE于点E，且
AE=AC，连接CE。
求证：
CE=CF。
A
D
E
BC
【刷子千题大典第002题】
已知：
∆ABC中，AB=AC，∠BAC=20︒，∠BDC=30︒。
求证：
AD=BC.
A
BC
已知：
∆ABC中，D为AC边的中点，∠A=3∠C，∠ADB=45︒。
求证：
AB⊥BC
B
A
DC
【刷子千题大典第004题】
如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点E，∠BAC=50︒，∠ABD=60︒，∠CBD=20︒，
∠CAD=30︒，∠ADB=40︒。
求∠ACD。
A
B
D
C
已知，∠ABC=30︒，∠ADC=60︒，AD=DC。
求证：
AB2+BC2=BD2
A
B
D
C
【刷子千题大典第006题】
已知：
在∆ABC中，AB=AC，∠A=80︒，∠OBC=10︒，∠OCA=20︒。
求证：
AB=OB
A
BC
已知：
正方形ABCD中，∠OAD=∠ODA=15︒，求证：
∆OBC为正三角形。
A
D
BC
【刷子千题大典第008题】
已知：
正方形ABCD中，E、F为AD、DC的中点，连接BE、AF，相交于点P，连接PC。
求证：
PC=BC。
A
ED
F
BC
如图，∆ACB与∆ADE都是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90︒，∠CDF=45︒，DF交BE于F，求证：
∠CFD=90︒.
A
E
CB
【刷子千题大典第010题】
如图，四边形ABCD各边都相等，∠ABC=60︒，FD与BA延长线交于E点，延长BC至F，连接FA、CE，交点为M，连接CA。
求证：
CA2=CM⋅CE。
F
B
AE
如图，三角形ABC，D为BC上的点，过B作BE⊥AE，交AD延长线于E，作CF⊥AD
交AD于F，G为BC中点，连接FG与GE。
求证：
FG=GE.
A
C
B
E
【刷子千题大典第012题】
设∆ABC中，∠BAC=60︒，∠ATC=∠BTC=∠CTA=120︒，点M是BC的中点。
求证：
TA+TB+TC=2AM
A
BC
已知：
∆ABC中，∠CBA=2∠CAB，∠CBA的角平分线BD与∠CAB的角平分线AD相交于点D，且BC=AD。
求证：
∠ACB=60︒。
C
BA
【刷子千题大典第014题】
如图，四边形ABCD中，BC=CD，∠BCA=21︒，∠CAD=39︒，∠CDA=78︒，求的度数。
∠BAC
C
AD
已知：
AB=AC，∠ADB=60︒，∠BCE=30︒。
求证：
BA=BE。
A
B
C
【刷子千题大典第016题】
已知：
直角三角形ABC，∠A为直角，I为内心，BD、CE分别为两内角平分线。
∆IBC的面积为S。
求四边形BCDE的面积。
A
BC
已知AB=AC=CD=DE，且BE=BD，求∠EBD的度数。
A
DBC
【刷子千题大典第018题】
如图，∆ABC≌∆CDE，∠D=∠ABC=90︒，点B在CD上，AB、CE交于F，过B作
BG⊥AC于G，交CE于H，连接AH并延长，交CD于I，设
AB=x，BC=y。
（
x>y）
求：
（1）AH的长（用x，y表示）；
（2）BC
IC
的值。
A
DBIC
【刷子千题大典第019题】
如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠BAC=10︒，∠ABD=50︒，∠ACD=20︒，求的度数。
∠CBD
B
AC
D
【刷子千题大典第020题】
如图，BD=CE，G、H为BC、DE中点，AB=AC，FD=FE，∠BAC=∠DFE。
求证：
AF//GH。
A
B
G
C
F
D
H
E
如图，在正方形ABCD中，有任意四点E、F、G、H，且的面积为5，求正方形ABCD的面积。
EF=4、GH=3，四边形EFGH
A
ED
G
H
BFC
【刷子千题大典第022题】
已知2∠C=3∠B，2BC=AB，求∠A。
C
A
B
在∆ABC中，∠B=46︒，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=21︒，求∠C。
A
B
C
在∆ABC
中，AB=AC
【刷子千题大典第024题】
，D为BC边上一点，E为AD上一点，且满足
∠BDE=2∠CED=∠BAC。
求证：
BD=2CD。
A
BC
如图，∆ABC中，∠BAC=60︒，AB=2AC，点P∆ABC内，且PA=
求∆ABC的面积。
，PB=5，PC=2，
A
P
BC
【刷子千题大典第026题】
已知，FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线，点H是FC的中点，连接EH、DH。
求证：
EH=DH且EH⊥DH。
E
F
BC
已知：
∠CAD=∠DAB=10︒，∠CBD=40︒，∠DBA=20︒，求证：
∠CDB=70︒
C
AB
【刷子千题大典第028题】
已知：
在∆ABC中，AC=BC，∠C=100︒，AD平分∠CAB。
求证：
AD+CD=AB
C
AB
在∆ABC中，D是AB的中点，∠DAC=2∠DCA，∠DCB=30︒，求∠B的度数。
B
AC
【刷子千题大典第030题】
如图，正三角形ABC，以A为顶点向外作两个正三角形ADE和AGF，连接EF、DB、CG，取EF、DB、CG中点M、K、N连接。
求证：
三角形KNM为正三角形
F
D
G
如图，F为三角形ABC内一点，∠AFB=∠AFC，G是AF上的点，直线BG、CG分别交AC、AB于D、E，求证：
∠EFA=∠DFA
A
C
B
【刷子千题大典第032题】
如图，∆ABC中，分别在AB、AC上取点D、E，使得BD=CE，连接BE、CD相交于点P，点M是BC的中点，∠BAC的平分线AQ与PM相交于点Q，DQ与BE交于点K，
EQ与CD交于点T.
求证：
（1）四边形BPCQ是平行四边形
（2）BK=BE
（3）S∆ABK+S∆BKQ=S∆ACT+SCTQ
CT
S∆BKQ
（4）
S∆CTQ
CD
=ABAC
A
BC
Q
如图，平行四边形ABCD，E、F、H分别为BC、AD、BD中点，G为DC上任一点，
GE、DB延长线交于J点，连接JF，取JF上的点I，使得IH//AD，连接IE，求证：
IE//FG
J
C
AFD
【刷子千题大典第034题】
在四边形ABCD中，AD=CD，AC=BD，AB⊥AC，求∠BEC的度数。
D
BC
已知：
∆ABC中，AB=BC，D是AC的中点，过D作DE⊥BC于E，连接AE，取DE
中点F，连接BF。
求证：
AE⊥BF.
B
A
DC
【刷子千题大典第036题】
如图，∠DAC=2x，∠ACB=4x，∠ABC=3x，AD=BC，求∠BAD。
A
B
DC
已知：
ABCD与AEFG均为正方形，连接CF，取CF的中点M，连接DM、ME。
求证：
∆MDE为等腰直角三角形
B
C
F
DE
【刷子千题大典第038题】
已知：
四边形ABDC中，∠ABC=∠ACB=58︒，∠CAD=48︒，∠BCD=30︒，求∠BDA
的度数。
A
BC
D
已知：
在Rt∆ABC中，∠ABC=90︒，D为AC上一点，E是BD的中点，∠1=∠2。
求证：
∠ADB=2∠ABD。
B
ADC
【刷子千题大典第040题】
已知：
∆ABC中，∠A=24︒，∠C=30︒，D为AC上一点，AB=CD，连接BD。
求证：
AB⋅BC=BD⋅AC.
B
A
DC
【刷子千题大典第041题】
已知AB=AC，∠BAC=80︒，∠PBC=20︒，∠PCB=40︒，求∠APB的大小。
A
B
C
【刷子千题大典第042题】
如图，ABTG、ACDE是正方形，线段BC的中点是K。
求证：
∆TEK与∆GDK的面积相等。
G
T
D
BKC
已知：
ABCD与A1B1C1D1均为正方形，A2、B2、C2、D2分别为AA1、BB1、CC1、DD1
的中点。
求证：
A2B2C2D2为正方形
A1D1
AD
BC
【刷子千题大典第044题】
如图，在∆ABC三边上，向外做三角形ABR、BCP、CAQ，使∠CBP=∠CAQ=45︒，
∠BCP=∠ACQ=30︒，∠ABR=∠BAR=15︒。
求证：
RQ与RP垂直且相等。
C
Q
B
AR
四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。
求证：
∠PQC=∠PQD。
D
A
MQB
【刷子千题大典第046题】
ABCD是梯形，且BC＝2AD，作CE⊥AB。
EC上有一点P，满足BP＝CP，连AP、ED。
若
∠ABP＝∠ADE。
求证：
AP⊥AD。
已知，∠BAC=90︒，AH⊥BC于点H，点J、I、S分别是∆ABH、∆ACH、∆ABC的旁心，S在BC上的射影是E，过J、I分别作JE、IE作垂线交于点G。
求证：
（1）四边形EJGI是正方形
（2）SG//AE且SG=AE。
A
C
B
S
【刷子千题大典第048题】
已知，点D是∆ABC内一定点，且有∠DAC=∠DCB=∠DBA=30︒。
求证：
∆ABC是正三角形。
A
B
C
如图，∆ABC中，BD⊥AC于D，E为BD上一点，且∠ABD=38︒，∠CBD=68︒，
∠BCE=14︒，∠DCE=8︒，求∠DAE的度数。
B
A
C
【刷子千题大典第050题】
如图，过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N，DM与BN交于点L，BP⊥BN，
交DM于点P。
求证：
（1）CL⊥MN；
（2）∠MON=∠BPM。
AB
N
P
已知：
∆ABC外接于⊙O，∠BAC=60︒，AE⊥BC，CF⊥AB，AE、CF相交于点H，点D为弧BC的中点，连接HD、AD。
求证：
∆AHD为等腰三角形
A
D
【刷子千题大典第052题】
已知H是△ABC的垂心，M、N分别是BC和AH的中点，直线MN交以AH为直径的圆于点S、T。
求证：
AT、AS平分∠BAC及其外角。
A
S
N
T
H
BMC
设△ABC内接于圆O，过O作OE⊥BC交圆O于E，交AB于F，交AC延长线于G。
过G作圆O的切线GT，T为切点。
求证：
TF⊥GE。
矩形ABCD中，AB＝
【刷子千题大典第054题】
AD，P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、PD分
别交AB于F、E。
求证：
AE2＋BF2＝AB2。
已知：
D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD，O是△ABC外心。
求证：
A、E、O、F四点共圆。
【刷子千题大典第056题】
已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一点，联结BM延长交圆O于C。
求证：
AC//EF的充要条件是M为EF中点。
自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。
求证：
CE=EF。
【刷子千题大典第058题】
过点P任作圆O的两条割线PAB、PCD，直线AD与BC交于Q，弦DE//PQ，BE
交PQ延长线于M。
求证：
OM⊥PQ。
如图，设⊙O1与⊙O2交于AB两点。
AC是⊙O2的切线，交⊙O1于C点。
AD是⊙O1的切线，交⊙O2于D点。
过A任作直线，交⊙O1、⊙O2及经过A、C、D三点的圆分别于M、N、P。
求证：
AM=NP。
P
【刷子千题大典第060题】
两圆圆O1和圆O2相交于M、P，过M作圆O2的切线交圆O1于A；又过M作圆O1的切线交圆O2于B，在直线MP上截取PH=MP。
求证：
四边形MAHB内接于圆。
H
已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B弧段上任意一点。
∠APB的平分线交圆O'于Q点。
求证：
PQ2=PA×PB。
【刷子千题大典第062题】
已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于P，设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。
求证：
OM⊥MP。
P
已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。
求证：
DEPF是平行四边形。
A
【刷子千题大典第064题】
设以O为圆心的圆经过△ABC的两个顶点A和C，且与边AB、BC分别交于K
和N，又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。
求证：
∠OMB=90°。
B
如图，PC切⊙O于C，AC为圆的直径，PEF为⊙O的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D。
求证：
四边形ABCD为平行四边形
C
【刷子千题大典第066题】
如图，已知AD是⊙O的直径，D是BC中点，AB、AC交⊙O于点E、F，EM、FM是⊙O的切线，EM、FM相交于点M，连接DM。
求证：
DM⊥BC
BC
M
如图，三角形ABC内接于⊙O，两条高AD、BE交于点H，连接AO、OH。
若
BD=3，CD=1，求三角形AOH面积。
AH=2，
【刷子千题大典第068题】
已知正方形ABCD，P是CD上的一点，以AB为直径的圆⊙O交PA、PB于E、F，射线DE、CF交于点M。
求证：
点M在⊙O上。
AD
E
MOP
F
BC
CD为⊙O的直径，A、B为半圆上两点，DE为过点D的切线，AB交DE于E，连接OE，交CB于M，交AC于N。
求证：
ON=OM
N
M
【刷子千题大典第070题】
如图，E、F分别是圆内接四边形ADBC的对角线AB、CD的中点，若∠DEB=∠CEB。
求证：
∠AFD=∠BFD
A
D
以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。
求证：
这两条线段垂直且相等。
G
E
J
K
【刷子千题大典第072题】
如图，∆ABC为一普通三角形，求证：
AB2⋅PC+AC2⋅PB=BC（AP2+PB⋅PC）
A
BPC
如图，O、I分别为∆ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，AB≠AC，求证：
∆ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。
A
【刷子千题大典第074题】
如图，三角形BDC和三角形BEA都是等腰直角三角形，∠BDC=∠BEA=90︒，连接AC，取AC中点F，连接EF、DF、DE，证明三角形DEF是等腰直角三角形。
D
A
C
∆ABC中，CA=CB，D、E分别在CA、CB上，并且CE=CD，过C、D作AE的垂线分别交AB于G、H，若∠ACB=90︒,求证：
BG=GH。
C
A
B
【刷子千题大典第076题】
P是∆ABC内一点，∠PBA=∠PCA，D是BC中点，过点P分别作∠BAC内外角平分线的垂线，垂足为E、F，求证：
D、E、F三点共线。
A
F
E
P
BDC
已知，∆ABC，∠BCA=90︒，过C作AB的垂线，垂足为D点，设X是线段CD内部的一个点，K在线段AX上，满足BK=BC；类似地，L在线段BX上，满足AL=AC。
令M为AL与BK的交点，证明：
MK=ML
C
A
DB
【刷子千题大典第078题】
已知∠A=100︒，DC平分∠C，∠CAE=20︒，求∠CDE。
A
B
EC
四边形ABCD内接于圆，其边AB、DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E、F，求证：
P、E、F三点共线。
A
PQ
【刷子千题大典第080题】
在锐角∆ABC中，AC、BC切内接圆于点E、D，在AC、BC上取点Q、P，使得CQ=AE、
CP=BD，BQ交AP于点M，把AP与圆的交点离A近的记作点N。
求证：
PM=AN
A
Q
N
ME
BPDC
如图，MN为∆ABC边BC的中垂线，MN交∆ABC的外接圆于M、N，交BC于D，过
D做AN的平行线，P为该平行线上一点，过P作直线与PM垂直交∆ABC于E、F。
求证：
PE=PF
M
N
【刷子千题大典第082题】
如图，以任意∆ABC三边分别向内侧作三个正三角形∆BCD、∆ABE、∆ACF，连接AD并延长与CE相交于G，求证：
F、B、G三点共线.
A
F
设点I、H分别为锐角∆ABC的内心和垂心，点B1、C1为两边中点，射线B1I交边
AB于点B2（B2≠B），射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于K，
A1为∆BHC的外心。
求证：
A、I、A1三点共线的充要条件是∆BKB2和∆CKC2面积相等。
A
C2
【刷子千题大典第084题】
如图，∆ABC的内切圆I切AB、BC、AC于点D、E、F，直线EF与AI、BI、DI交于点M、N、K。
求证：
DM⋅KE=DN⋅KF。
C
ADB
四边形ABCD内接于⊙O，两对角线交于H两组对边分别相交于P、Q。
求证：
H为∆OPQ
的垂心
A
Q
P
【刷子千题大典第086题】
过圆外一点A作圆的切线AC、AD，再作割线AEF，分别经E、F作圆的切线相交于B。
求证：
B、C、D三点共线。
B
D
EF
AO
C
两个半径不等的圆满K1、K2交于A、B两点，C、D为K1、K2上两点且AC=AD，CB
交⊙K2于F，DB交⊙K1于E，CD、EF的中垂线交于P。
求证：
CA、PA、EP构成直角三角形。
EP
【刷子千题大典第088题】
若∆ABC为等边三角形，O为其内接圆，D为O上一点，证明或否证：
AD2+BD2+CD2为定值。
B
A
C
∆ABC的内切圆I切BC于D，M是高AH的中点，DM交圆于R，求证：
DR
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