江西省重点中学协作体届高三第一次联考数学文试题含答案解析.docx
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江西省重点中学协作体届高三第一次联考数学文试题含答案解析
江西省重点中学协作体2022届高三2月第一次联考数学（文）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．集合
，则
（）
A．
B．[1，2）C．[1，2]D．
2．已知复数
（i为虚数单位），则
（）
A．
B．
C．
D．
3．已知命题p：
“
的否定是：
”；命题q：
“
的一个充分不必要条件是
”，则下面命题为真命题的是（）
A．
B．
C．
D．
4．设
是第二象限角，P（－4，y）为其终边上的一点，且
，则
等于（）
A．－
B．－
C．
D．
5．若实数x，y满足约束条件
，则
的最大值为（）
A．
B．5C．－5D．4
6．设
，则a，b，c的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为6}，则
（）
A．
B．
C．
D．
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，
，则
（）
A．
B．1C．
D．
9．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．火箭在发射时会产生巨大的噪音，若所有声音的声强级d（x）（单位：
）与声强x（单位：
）满足
．火箭发射时的声强级约为140
，人交谈时的声强级约为50
，那么火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为（）
A．
B．
C．
D．
10．已知双曲线
的右焦点为F，点P，Q分别在C的两条渐近线上，且P在第一象限，O为坐标原点，若
，则双曲线C的离心率为（）
A．
B．2C．4D．
11．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出猜想：
是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出
不是质数，现设
，若任意
，使不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
，下列说法正确的是（）
A．当
时，函数f（x）有两个极值点
B．当
时，函数f（x）在
上没有最小值
C．当
，函数f（x）有两个零点
D．当
，函数f（x）在（－∞，0）上单调递增
二、填空题
13．向量
，
，
，
，则
___．
14．已知A，B是抛物线
上的动点，且满足
，则AB中点M的横坐标
的最小值为________．
15．2022年北京冬奥会理念包括有：
绿色、共享、开放、廉洁．“绿色奥运”也是本届奥运最主要的理念，学校为助力冬奥会开展模型设计大赛，某同学设计的模型三视图如图所示，则该几何体的表面积为___．
16．已知函数
，若方程
恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为___．
三、解答题
17．已知
是正项等比数列，
为等差数列，且
．
（1）求
和
的通项公式：
（2）若
，求数列
的前n项和
．
18．“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间．同学甲和同学乙约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少．某周甲乙两人每天的阅读时间（单位：
min），如下表所示，其中学生甲周日的阅读时间m忘了记录，但知道
．
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
序号x
1
2
3
4
5
6
7
甲的阅读时间y/min
15
20
20
25
30
36
m
乙的阅读时间z/min
16
22
25
26
32
35
35
（1）求同学甲的本周阅读时间之和超过同学乙的本周阅读时间之和的概率；
（2）根据同学甲本周前5天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计同学甲周日阅读时间m的值．参考公式：
回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
19．如图，在四棱柱
中，
⊥底面ABCD，
，
，
，M为
的中点．
（1）证明：
；
（2）如图所示，若平面
把四棱柱
分成上下两部分，求上下两部分的体积之比（用较大的体积比上较小的体积）．
20．已知椭圆C：
经过点P
，离心率为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作直线l//y轴，第四象限内一点A在椭圆C上（点A不在直线l上），点A和点B关于直线l对称，直线BP与椭圆的另一个交点为Q，试判断直线AQ和直线OP（O为原点）的位置的关系，并说明理由．
21．已知函数
，函数
为
的导函数．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）当
时，证明：
．
22．曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）把
的参数方程化为极坐标方程；
（2）求曲线
与
交点的极坐标
．
23．已知
，函数
的最小值为4．
（1）求
的值；
（2）求证：
．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求出集合
，再根据对数函数的性质求出集合
，再根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：
由
，即
，解得
，所以
，
，所以
；
故选：
B
2．D
【解析】
【分析】
由复数相等，应用复数的乘法求出复数z的代数形式，进而求模即可.
【详解】
由题设，
，
所以
.
故选：
D
3．C
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题，故命题p为真命题，而“
的一个必要不充分条件是
”，命题q为假命题，进而判断出答案.
【详解】
由题意得：
命题p为真命题，其中“
的一个必要不充分条件是
”，所以命题q为假命题，故
为假命题，
为假命题，
为真命题，
为假命题.
故选：
C
4．A
【解析】
【分析】
根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】
因为
，所以
，解得
，
又
是第二象限角，所以
，所以
．
故选：
A．
5．B
【解析】
【分析】
根据不等式组画出可行域，数形结合即可求得目标函数的最大值.
【详解】
因为不等式组
对应的可行域如下所示：
又
，即
，其表示与
平行，且在
轴的截距为
的直线，
数形结合可知，当且仅当直线过点
时，
取得最大值，
此时
.
故选：
B.
6．B
【解析】
【分析】
根据指对数函数的性质判断a，b，c的大小即可.
【详解】
由
，
所以
.
故选：
B
7．B
【解析】
【分析】
列出事件A的可能性，从中求出事件B的可能性，求出概率
【详解】
两次点数均为奇数，可能情况有
，
，
，
，
，
，
，
，
共九种，其中和为6的情况有
，
，
三种，所以
故选：
B
8．A
【解析】
【分析】
由已知及余弦定理可得
，再根据正弦定理的边角关系有
，代入整理化简即可得结果.
【详解】
由
，则
，
又
，有
，即
，
所以
，整理得
，故
.
故选：
A
9．A
【解析】
【分析】
由题意
，代入火箭和人交谈时的声强级可求解对应声强，即得解
【详解】
由题意，
，则
火箭发射时的声强级约为140
，人交谈时的声强级约为50
，
则火箭发射时的声强约为
，人交谈时的声强约为
，
所以火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为
故选：
A
10．A
【解析】
【分析】
设
与
轴的交点为
，根据双曲线的对称性得到四边形
为矩形，求得点
的坐标，利用
，列出方程求得
，进而求得
，即可求解.
【详解】
由双曲线
，可其渐近线方程为
，
因为
，可得
，且
，
设
与
轴的交点为
，根据双曲线的对称性可得
，如图所示，
所以
且
，所以四边形
为矩形，
当
时，可得
，即
，所以
，
所以
，
又因为
，可得
，即
，
又由
，可得
，所以
，所以
，
即双曲线
的离心率为
.
故选：
A.
11．A
【解析】
【分析】
由已知条件可得
，从而得
，进而可求得
，再由
在
上单调递增，可求得答案
【详解】
，
由于
，
则
，
，
因为
在
上单调递增，
所以
，即
，
故
，解得
或
，
故选：
A．
12．C
【解析】
【分析】
先求出函数的导数，再结合各选项中
的范围判断导数的符号并得到相应的单调性，从而可判断各项的正误.
【详解】
，
当
时，
，如取
，则
，此时
恒成立，
故
为
上的增函数，故
无极值点，故A错误.
当
时，
，而
，故
在
上有且只有一个实数根
，且：
当
时，
；当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
故在
上，
，故B错误.
当
时，
，
当
或时，
；当
或
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
而
，
，故
有两个零点，故C正确.
当
时，取
，
则
，
令
，则
或
，
令
，则
，
故
的增区间为
，
，减区间为
，
而
，故D错误.
故选：
C.
13．
【解析】
【分析】
利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数
的值，再利用平面向量的坐标运算以及向量模的坐标运算可求得结果.
【详解】
由已知可得
，解得
，则
，
所以，
，因此，
.
故答案为：
.
14．
##
【解析】
【分析】
先过点
，
分别作抛物线
准线的垂线，由抛物线的定义得
，即可得解.
【详解】
设抛物线
的准线为
，焦点为
，则
，
过点
作
于
，过点
作
于
，
连接
，
，则
，
得
，解得
，所以
的最小值为
，
故答案为：
.
15．
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，求出几何体的表面积
【详解】
根据三视图可得几何体的结构如上图所示，是在三棱柱
中挖掉三棱锥
，其中
为
中点，
，
，所以
，根据勾股定理得：
等腰三角形
的高
，
所以
；
，
，
，所以该几何体的表面积
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
首先求出
时
的单调性和极值，然后分
、
两种情况讨论，每种情况下画出图形，由
先得
的个数，进而得出
的个数，然后可建立不等式求解.
【详解】
当
时，
，
，所以当
时，
，
单调递增
当
时，
，
单调递减，且
当
时，如上图，
与
只有一个交点，然后由
可得
，
所以
只有1个根
当
时，设
，由上图可得
有两个根，设为
，其中
，
因为
有两个根，所以
有3个根，所以
，解得
综上：
实数a的取值范围为
故答案为：
17．
（1）
；
（2）
【解析】
【分析】
（1）设出数列
的公比、
的公差，再根据给定条件列式计算即可作答；
（2）由
（1）的结论求出数列
的通项，再利用错位相减法计算作答.
（1）
设正项等比数列
的公比为
，由
得：
，解得
，又
，则
，
于是得
，解得
，所以
的通项公式是
；
设等差数列
的公差为d，依题意，
，由
得
，则有
所以
的通项公式是
．
（2）
由题可知
，
于是
∴
，
即
，
所以有
，
化简得：
.
18．
（1）
（2）
，36
【解析】
【分析】
（1）求出甲同学的阅读时间之和的可能性，乙同学的阅读时间之和，求出概率
（2）将表格数据代入公式求出回归方程，令
即可求出m的值
（1）
依题意．
，则m的取值一共有25个不同结果，它们等可能．
令
，解得
，
因此，当甲这一周的阅读时间超过乙这一周的阅读时间时，m的取值一共有15个不同结果，所以甲这一周的阅读时间超乙这一周的阅读时间的概率为
．
（2）
，计算得：
，
，∴
将
代入估计：
19．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）通过线面垂直证明线线垂直
（2）分别求出两部分的体积，作比即可
（1）
证明：
∵
⊥平面ABCD
平面ABCD，∴
，
，
∴
∴
∴
且
，
平面
，∴AC⊥平面
，又
平面
∴
∵
∴
∴
∴
，且
，
平面
，所以MD⊥平面
平面
∴
（2）
由
（1）可计算得：
，
所以
，
，
20．
（1）
（2）直线AQ和直线OP平行，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由离心率公式以及点与椭圆的位置关系列出方程组，求解得出方程；
（2）联立直线和椭圆方程求出
的坐标，进而得出
，从而得出直线AQ和直线OP平行.
（1）
由题可得
，∴
，∴
（2）
直线AQ和直线OP平行，证明如下：
由题易知直线PA和直线PQ斜率均存在，且
，设直线PA斜率为k，
则可知
设
，
联立
与椭圆方程
，得
则
，∴
同理可得
所以
又知
，因为A在第四象限，所以点A不在直线OP上，
综上可知，直线AQ和直线OP平行.
【点睛】
关键点睛：
对于第二问，关键是将对称性转化为斜率互为相反数，进而设出直线方程，再由
得出直线AQ和直线OP平行.
21．
（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求
的导函数
，再对
求导，讨论
、
研究
的单调性.
（2）由
（1）结论，将问题转化为
在
上恒成立，构造
，利用导数研究最值，即可证明结论.
（1）
定义域为
，
∴
，
当
时，则
时，
，故
的单调增区间是
；
当
，则
时，
；当
时，
，
故
在
）单调递增，在
单调递减．
综上，
时
的单调增区间是
；a＜0时
的单调增区间是
，
的单调减区间是
．
（2）
由
（1）知，当
时，
在
取得最大值，为
，
所以
等价于
．
设
，则
，
当
时，
；当
时，
．
所以
在
单调递增，在
单调递减，故
时，
．
所以
时，
，即
得证.
【点睛】
关键点点睛：
第二问，将问题转化为
在
上恒成立，并构造中间函数研究最值证明不等式.
22．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）应用同角三角形函数的平方关系消参，得到直角坐标方程，再由公式法写出极坐标方程即可.
（2）写出
的直角坐标方程，联立
求交点坐标，再转化为极坐标形式即可.
（1）
曲线
的参数方程为
（
为参数），则
，
所以直角坐标方程为
，
由公式法，可得极坐标方程为
.
（2）
曲线
的极坐标方程为
，可得其直角坐标方程为
所以
，解得
或
，
所以交点极坐标为
.
23．
（1）
；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值三角不等式有
，结合已知即可求
的值；
（2）由
（1）结论及基本不等式“1”的代换求
的最小值，注意等号成立条件，结合对数运算及
，即可证明结论.
（1）
因为
，
由绝对值三角不等式得：
，
∴
.
（2）
∵
且
，
∴由基本不等式得：
，当且仅当
时等号成立，
所以
，又
，
所以
，得证.
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