角平分线和线段垂直平分线的性质.docx

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角平分线和线段垂直平分线的性质

角平分线和线段垂直平分线的性质

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理的作用：

证明两条线段相等

（2）线段关于它的垂直平分线对称.

3、关于三角形三边垂直平分线的定理

（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的作用：

证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.

例1　如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）

　　A．6cm　　　B．8cmC．10cm　　D．12cm

4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等..

定理的作用：

①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

6、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的作用：

①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

一、选择题：

1．如图1，在△ABC中，AD平分∠CAE，∠B=

，∠CAD=

，则∠ACD等于（）

A．

B．

C．

　D．

2．如图2，在△ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则

=（）

A．

B．

C．

　D．不能确定

3．如图3，在△ABC中，∠C=

，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：

①AD平分∠CDE；

②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB。

其中正确的有（）

A．2个B．3个C．4个　D．1个

4．如图4，AD∥BC，∠D=

，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是（）

A．PD>PCB．PD

。

5、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）

A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；

C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。

6、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不能确定

7、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，F在BC上，并且BF＝AB，则下列四个结论：

①EF∥AC，②∠EFB＝∠BAD，③AE＝EF，④△ABE≌△FBE，其中正确的结论有（　　　　）

A、①②③④　　　　　B、①③　　　　　C、②④　　　　　D、②③④

7题图8题图9题图

8、如图所示，在

中，∠C＝90°，AC＝4㎝，AB＝7㎝，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，则EB的长是（　　　　）

A、3㎝　　　　B、4㎝　　　　　C、5㎝　　　　D、不能确定

9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（　　　）处。

A、1　　　B、2　　　　C、3　　　　　　D、4

二、填空题：

1、已知：

线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。

2、已知：

如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC=。

3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数。

4、如图，△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B∠BAE，∠C∠GAF，若∠BAC=1260，则∠EAG=。

5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是。

第2题第4题第5题

6、在△ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是。

7、在△ABC中,AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=

8.如图，已知AB∥CD，O是∠ACD和∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离为＿＿＿＿＿＿。

9.如图所示，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝＿＿＿＿＿。

10.如图所示，在

中，∠C＝90°，折叠后，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于＿＿＿＿度。

8题图9题图10题图

三、解答题

1、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E

求证：

（1）∠EAD=∠EDA;

（2）DF∥AC

（3）∠EAC=∠B

3、如图12，PA=PB，∠1+∠2=

。

求证：

OP平分∠AOB。

16．Rt

中，

，

，

为

中点，若点

．

分别在线段

．

上移动，且在移动过程中保持

，试判断

的形状，并证明你的结论．

4、如图13，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，

若AQ=PQ，RP=PS。

则PQ与AB是否平行？

请说明理由。

10．如图，AD⊥DC，BC⊥DC：

，E是DC上一点，AE平分∠DAB．

（1）如果BE平分∠ABC，求证：

点E是DC的中点；

（2）如果E是DC的中点，求证：

BE平分∠ABC．

1.△DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，

求证：

（1）AE=BD

（2）CM=CN（3）△CMN为等边三角形（4）MN∥BC

2．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：

画∠MAB、∠NBA的平分线交于E

（1）∠AEB是什么角？

（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？

（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？

并说明理由。

3．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.