幻方的认识和填写方法.docx
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幻方的认识和填写方法
n阶幻方
幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方
使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*
（n*n+1），这样的方阵称为幻方。
一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N,则
例如：
把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：
每行、每列、两条对角线的和是15。
8
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6
3
5
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4
9
2
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。
n/2*（n*n+1）为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
1、奇数阶幻方
n为奇数（n=3，5，7，9，11……）（n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……）
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法（也有人称之为楼梯方）。
填写方法是这样：
把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：
（1）、每一个数放在前一个数的右上一格；
（2）、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
（3）、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
（4）、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
（5）、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同（4）。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方
n为偶数，且能被4整除（n=4，8，12，16，20……）（n=4k，k=1，2，3，4，5……）
先说明一个定义：
互补：
如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：
将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
1
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16
这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1=4*4+1=17；
把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。
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1
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对
角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
下面是8阶幻方的作法：
（1）先把数字按顺序填。
然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵
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（2）每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。
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1
3、单偶阶幻方
n为偶数，且不能被4整除（n=6，10，14，18，22……）（n=4k+2，k=1，2，3，4，5……）
这是三种里面最复杂的幻方。
以n=10为例。
这时，k=2
（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用楼梯法，依次在
A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
A
B
C
D
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（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
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（3）将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
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（4）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。
（注：
6阶幻方由于k-1=0所以不用再作B、D象限的数据交换）
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（5）将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，即可完成。
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