医药数理统计习题答案解析.docx
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医药数理统计习题答案解析
第一章数据的描述和整理
一、学习目的和要求
1.掌握数据的类型及特性;
2.掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法;
3.掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量;
4.能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算;
5.了解统计图形和统计表的表示及意义;
6.了解用Excel软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算
容提要
(一)数据的分类
数据类型
定性数据(品质数据)
定量数据
疋类数据
(计数数据)
定序数据
(等级数据)
数值数据
(计量数据)
表现形式
类别
(无序)
类别
(有序)
数值
(+—O
对应变量
疋类变量
定序变量
数值变量
(离散变量、连续变量)
主要统计方法
计算各组频数,进行列联表分析、2检验等非参数方法
计算各种统计量,进行参数估计和检验、回归分析、方差分析等
参数方法
常用统计图形
条形图,圆形图(饼图)
直方图,折线图,散点图,
茎叶图,箱形图
(二)常用统计量
1、描述集中趋势的统计量
名称
公式
(原始数据)
公式(分组数据)
意义
均值
x
x
1n
—xi
nii
x1kf
x—mifi
nii
反映数据取值的平均水平,是描述数据分布集中趋势的最主要测度值,
中位数
M
rn
当n为奇数
xn),当n为偶数(21)
中位数所在组:
累积频数超过n/2
的那个最低组
是典型的位置平均数,不
受极端值的影响
众数
数据中出现次数最多的观察值
众数所在组:
测度定性数据集中趋势,
M0
频数最大的组
对于定量数据意义不大
2、描述离散程度的统计量
名称
公式(原始数据)
公式(分组数据)
意义
极差
R
R-最大值-最小值
R~最高组上限值-
最低组下限值
反映离散程度的最简单测度值,
不能反映中间数据的离散性
总体方差
2
21N-2
T(XiX)
Ni1
21k2
(mix)fi
Ni1
反映每个总体数据偏离其总体均值的平均程度,是离散程度的最重要测度值,其中标准差具有与观察值数据相同的量纲
总体标准差
厂
厂
NN(xx)2
Ni1
样本方差
S2
S21(Xix)2
n1i1
1k
S(mix)2fj
n1i1
反映每个样本数据偏离其样本均值的平均程度,是离散程度的最重要测度值,其中标准差具有与观察值数据相同的量纲
样本标准差
S
S
S
VS7
J
1n(xix)2
n1i1
1k-2(mix)fin1i1
变异系数
CV
S
CV=2100%|x|
反映数据偏离其均值的相对偏差,是无量纲的相对变异性测度
样本标准误
Sx
Sx孚
vn
反映样本均值偏离总体均值的平均程度,在用样本均值估计总体均值时测度偏差
3、描述分布形状的统计量
名称
公式(原始数据)
公式(分组数据)
意义
偏度
Sn(xx)3
ka
(n1)(n2)S3
k
(mx)3fi
Sk-3——
nS
反映数据分布的非对称性
8=0时为对称;
S>0时为正偏或右偏;
S<0时为负偏或左偏
峰度
K
422
n(n1)(Xix)3[(人x)](n1)
Ku4
(n1)(n2)(n3)S4
(原始数据)
k
(mx)4f
KuA43(分组数据)
nS
反映数据分布的平峰或尖
峰程度
Kj=0时为标准正态;
&>0时为尖峰分布;
0时为扁平分布
在分组数据公式中,m,fi分别为各组的组中值和观察值出现的频数。
三、综合例题解析
例1.证明:
各数据观察值与其均值之差的平方和(称为离差平方和)最小,即
对任意常数C,有
n
(xx)2
i1
n
2
(xC)
i1
n
2
(XiC)
i1
证一:
设
f(C)
由函数极值的求法,对上式求导数,得
f(C)
n
2仕C)2
i1i
n
x
1
2nC,f(C)2n
令f(C)=0,得唯
」驻点
c1n
C-
xi=x
nii
由于f(X)2n0,故当Cx时f(C)y有最小值,其最小值为
n
2f(X)(XiX)。
i1
证二:
因为对任意常数C有
nn
(为X)2(XiC)2
n
2
Xi
i1
2nx
n
(Xi2
i1
2C
XinC2)
i1
n
nX22CXinC2n(X22CXC2)
i1
n(XC)20
故有
(Xi
i1
X)2
(XiC)2
i1
四、习题一解答
1•在某药合成过程中,测得的转化率(%如下:
94.3
92.8
92.7
92.6
93.3
92.9
91.8
92.4
93.4
92.6
92.2
93.0
92.9
92.2
92.4
92.2
92.8
92.4
93.9
92.0
93.5
93.6
93.0
93.0
93.4
94.2
92.8
93.2
92.2
91.8
92.5
93.6
93.9
92.4
91.8
93.8
93.6
92.1
92.0
90.8
(1)取组距为0.5,最低组下限为90.5,试作出频数分布表;
(2)作频数直方图和频率折线图;
(3)根据频数分布表的分组数据,计算样本均值和样本标准差。
解:
(1)所求频数分布表:
转化率的频数分布表
转化率分组
频数
频率
累积频率
90.5〜
1
0.025
0.025
91.0〜
0
0.00
0.025
91.5〜
3
0.075
0.10
92.0〜
11
0.275
0.375
92.5〜
9
0.225
0.60
93.0〜
7
0.175
0.775
93.5〜
7
0.175
0.95
94.0〜94.5
2
0.05
1.00
(2)频数直方图:
直方图
转化率
频率折线图:
转化率频率折线图
(3)由频数分布表可得
转化率分组组中值mi频数
90.5〜90.751
91.0〜91.250
91.5〜91.753
S2
18
廿1(m
1
二尹75
=0.584
或者s2
92.0
〜92.25
11
92.5
〜92.75
9
93.0
〜93.25
7
93.5
〜93.75
7
94.0〜
94.594.25
2
90.75
191.250
94.252
3713
40
40
92.825
i
X)2fi
—mini1
222
—92.825)X1+(91.25—92.825)>0+…+(94.25—92.825)>2]
fi
nx2)
—(90.7521
39
91.2520
94.25224092.762)0.584
S、S2=、0.584〜0.7642
2•测得10名接触某种病毒的工人的白细胞(109/L)如下:
7.1,6.5,7.4,6.35,6.8,7.25,6.6,7.8,6.0,5.95
(1)计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。
(2)求出该组数据对应的标准化值;
(3)计算其偏度。
5.95
67.75,n=10
10
解:
(1)
i1
Xi
7.16.5
10
2
Xi
i1
7.12
6.52
5.952
462.35
样本均值
X
1n
—Xi
ni1
67.75
10
6.775
21n2_212
方差S(Xinx)(462.35106.775)0.371
n1ii9
标准差SS2=0.371〜0.609
标准误Sx
0.609
40
0.193
qCOAQ
变异系数C市100%=議100%=8.99%
(2)对应的标准化值公式为
Ui
xiX
S
Xi6.775
0.609
对应的标准化值为
0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355
(3)Sk
n化x)3
(n1)(n2)S3
=0.204。
3.已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示
按月人均支出分组(元)家庭户数占总户数的比例(%
200以下1.5
200〜
18.2
500〜46.8
800〜25.3
1000以上8.2
合计100
试计算
(1)该市平均每户月人均支出的均值和标准差;
(2)并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。
解:
(1)由原分组数据表可得
比例(%
支出分组(元)
组中值
200以下
100
1.5
200〜
350
18.2
500〜
650
46.8
800〜
900
25.3
1000以上
1100
8.2
15
xm,
nii
1fi(100
100
1.535018.2
1100
8.2)
S211(
5
2$-2、mifinx)
i1
122
(10021.53502
99
2
18.211002
8.25
687.:
52468
.39
s、s2
..52468.39
229.06;
(2)由原分组数据表可得
支出分组(元)
比例(%累积比例(
%
200以下
1.5
1.5
200〜
18.2
19.7
500〜
46.8
66.5
800〜
25.3
91.8
1000以上
8.2
100
中位数所在组,
即累积比例超过
50的那个最低组,
即为500〜组
则
687.3
o
2)
众数所在组是频数即比例最大的组,也是500〜组。
4.设xi,X2,…,xn和yi,y2,…,yn为两组样本观察值,它们有下列关系:
Xiayi
i=1,2,…,n
其中ab为常数且bMo,求样本均值x与y及样本方差s;和sy之间的关系。
—
1
n
1
y
n
i1
yi
n
1
n
(yi
、2
y)
n1
i1
n
1
1
n
(Xi
X)
解:
1
bn1i1
S;
(空
i1
b(ni1Xi
(xaxa)21(bb
b;S;。
na)
n
(亍)2
五、思考与练习
(一)填充题
1.统计数据可以分为数据、数据、数据、
据等三类,其中数据、数据属于定性数据。
2.常用于表示定性数据整理结果的统计图有、;
而、、、等是专用于表示定量数据
的特征和规律的统计图。
3.用于数据整理和统计分析的常用统计软件有等。
4.描述数据集中趋势的常用测度值主要有、、和
等,其中最重要的是;描述数据离散程度的常用测度值主要有、、、等,其中最重要的
(二)选择题
1.各样本观察值均加同一常数c后()
样本均值改变,样本标准差不变
两者均改变
A.样本均值不变,样本标准差改变B
C.两者均不变D.
2.关于样本标准差,以下哪项是错误的()
A.反映样本观察值的离散程度
B.度量了数据偏离样本均值的大小
C.反映了均值代表性的好坏
D.不会小于样本均值
A.变异系数(CV
C•极差(R)
•方差(S2)
•标准差(S)
(三)计算题
1.在某次实验中,用洋地黄溶液分别注入10只家鸽,直至动物死亡。
将致死量
折算至原来洋地黄叶粉的重量。
其数据记录为(单位:
mg/kg)
97.3,91.3,102,129,92.8,98.4,96.3,99.0,89.2,90.1
试计算该组数据的样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。
六、思考与练习参考答案
(一)填充题
1.
定类,定序,数值,定类,定序
2.
条形图、圆形图;直方图、频数折线图、
茎叶图、箱形图
3.
SASSPSSExcel
4.
均值、众数、中位数,均值,极差、方差、
标准差、变异系数,方差、标准
差
(二)选择题
1.B;2.D;3.A
(三)计算题
1.均值98.54、方差132.27、标准差11.501、标准误3.637、变异系数11.67%.
第二章随机事件与概率
一、学习目的和要求
1.掌握事件等的基本概念及运算关系;
2.熟练掌握古典概率及计算;
3.理解统计概率、主观概率和概率的公理化定义;
4.熟练掌握概率的加法公式、乘法公式及计算;
5.理解并掌握条件概率与事件独立性的概念并进行计算;
6.掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。
、容提要
(一)基本概念
概念
符号
概率论的定义
集合论的含义
随机试验
(试验)
E
具有以下特征的观测或试验:
1.试验在相同的条件下可重复地进行
2.试验的所有结果事先已知,且不止一个
3.每次试验恰好出现其中之一,但试验前
无法预知到底出现哪一个结果。
样本空间
试验所有可能结果组成的集合,即所有基
本事件的全体
全集
基本事件
(样本点)
试验的每个不可再分的可能结果,即样本
空间的元素
丿元素
随机事件
(事件)
A
试验中可能发生也可能不发生的结果,是
由基本事件组成的样本空间的子集
子集
必然事件
在试验中一定发生的事件
全集
不可能事件
在试验中一定不发生的事件,不含任何基空集
本事件
(二)事件间的关系
关系
符号
概率论的定义
集合论的含义
包含
AB
事件A的发生必然导致事件B的发生
A是B的子集
相等
A=B
AB而且BA
A与B相等
和(并)
A+B(AUB)
事件A与B中至少有一个事件发生
A与B的并
积(交)
ABAnB)
事件A与B同时发生
A与B的交
差
A—B
事件A发生同时B不发生
A与B的差
互不相容
AB=
事件A与B不可能同时发生
A与B不相交
对立
A
事件A不发生
A的补集(余集)
(三)事件的运算规律
运算律
公式
交换律
A+B=B+AAB=BA
结合律
(A+B+C=A+(B+C,(ABC=A(BQ
分配律
(A+BCAGBCA+(BQ=(A+B(A+Q
差积转换律
ABABAAB
对立律
AA=,A+A=Q
德•摩根对偶律
ABAB,ABAB
(四)概率的定义
类型
定义公式
古典概率
a小mA所含的基本事件数
P(A)=
n基本事件总数
统计概率
P(A)=P(〜fnA叫n
对样本空间中任意事件A对应的一个实数P(A),满足公理1(非负性):
0公理化定义公理2(规性):
R)=1,F()=0
(基本性质)公理3(可加性):
若A,A,…,A,…,两两互不相容,
P(A+A+…+A+…)=P(A)+F(A2)+…+RA)+•'则称P(A)为随机事件A的概率。
(5)概率的计算公式
名称
计算公式
加法公式
RA+B)=RA)+RB—P(AB
若AB互不相容(AB=):
P(A+B)=P(A)+RB)
对立事件公式
P(A)=1—P(A);P(A)=1—P(A)
事件之差公式
P(A—B)=RA)—P(AB
若BAP(A-B)=RA»—P(B)
条件概率公式
P(B|A)P(AB),(P(A)>0)
P(A)
乘法公式
若P(A)>0,RAB=RA)RB|A|
若P(B)>0,RAB=RB)RA|B)
当P(AA…A-1)>0时,有
P(AA…A)=RA)P(AA)P(A3|A1A2)…P(A|AA2…A-1)
独立事件公式
AB相互独立:
P(AB=RA)RB)
A,A>,…,A相互独立:
RAA…An)=RA)P(A)…P(An)
全概率公式
若A1,Aa,…,A为完备事件组*,对事件B
n
PBP(Ai)P(B|Ai)
i1
逆概率公式
(贝叶斯公式)
若A1,A…,An为完备事件组*,P(E)>0
P(Aj)P(B|Aj)
P(Aj|B)n
P(A)P(B|A)
i1
*完备事件组1.A,A2,…,An互不相容且P(A)>0(i=1,2,…,n);
{A,A2,…,A}2.A+A2+…+A=
三、综合例题解析
例1从某鱼池中取100条鱼,做上记号后再放入该鱼池中。
现从该池中任意捉来50条鱼,发现其中有两条有记号,问池大约有多少条鱼?
解:
设池大约有n条鱼,令
A={从池中捉到有记号鱼}
则从池中捉到有记号鱼的概率
100
P(A)=——
n
由统计概率的定义知,它近似于捉到有记号鱼的频率fn(A)=—,即
50
1002
n50
解之得n=2500,故池大约有2500条鱼。
例2口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币,从中任取五个,求总值超过一角的概率。
解一:
令A={总值超过一角},现将从10个硬币中任取5个的每种取法作为每个基本事件,显然本例属于古典概型问题,可利用组合数来解决。
所取5个硬币总值超过一角的情形,其币值由大到小可根据其中有2个伍分、有1个伍分和没有伍分来考虑。
则
P(A)
23122
C2C8C2C3C5
132
C2C3C5
5
10
空=0.5
252
解二:
本例也可以先计算其对立事件
A={总值不超过一角}
考察5个硬币总值不超过一角的情形,其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬币的不同个数来计算其有利情形的组合数。
则
541321123
P(A)1P(A)1C—―C5(C5__C3C2)C5C31126=0.5Cl。
252
亠-c5c2(c;W)126
或P(A)1P(A)1825351=0.5
C10252
例3将n个人等可能地分配到N(nwN)间房中去,试求下列事件的概率:
(1)A={某指定的n间房中各有一人};
(2)B={恰有n间房,其中各有一人};
(3)C={某指定的房中恰有m(men)个人}。
解:
把n个人等可能地分配到N间房中去,由于并没有限定每一间房中的人数,故是一可重复的排列问题,这样的分法共有M种。
(1)对事件A,对指定的n间房,第一个人可分配到该n间房的任一间,有n种分法;第二个人可分配到余下的n—1间房中的任一间,有n—1种分法,以此类推,得到A共含有n!
个基本事件,故
P(A)
n!
(2)对事件B,因为n间房没有指定,所以可先在N间房中任意选出n间房(共有CN种选法),然后对于选出的某n间房,按照上面的分析,可知B共含有CN•!
个基本事件,从而
P(B)
CNn!
(3)对于事件C,由于m个人可从n个人中任意选出,故有CT种选法,而其余n
—m个人可任意地分配到其余的N—1间房中,共有(N—1)”m种分配法,故C中共含有
CT(N-1)n-m个基本事件,因此
P(C)
C「(N
1)n
C"m(^)m(1
注意:
可归入上述“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多,例如:
(1)生日问题:
n个人的生日的可能情形,这时N=365天(n<365);
(2)乘客下车问题:
一客车上有n名乘客,它在N个站上都停,乘客下车的各种可能情形;
(3)印刷错误问题:
n个印刷错误在一本有N页的书中的一切可能的分布(n不超过每一页的字符数);
(4)放球问题:
将n个球放入N个盒子的可能情形。
值得注意的是,在处理这类问题时,要分清什么是“人”,什么是“房”,一般不
能颠倒。
例4(1994年考研题)设A,B为两事件,且P(A)=p,P(AE)=P(AB),求P(B)。
解:
由于
P(AB)P(A__)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)],
现因为P(A护P(AB),则
P(AB)1P(A)P(B)P(AB)
又P[A)=p,故
P(B)1P(A)1p。
注意:
事件运算的德•摩根律及对立事件公式的恰当应用
例5设某地区位于河流甲、乙的交汇处,而任一何流泛滥时,该地区即被淹没。
已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为0.2和0.3,又当河流甲泛滥时,“引起”河流乙泛滥的概率为0.4,求
(1)当河流乙泛滥时,“引起”河流甲泛滥的概率;
(2)该时期该地区被淹没的概率。
解:
令A={河流甲泛滥},B={河流乙泛滥}
由题意知
P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(B|A)=0.4
再由乘法公式
P(AE)=P(A)P(B|A)=0.2>0.4=0.08,
则
(1)所求概率为
P(A|B)迴0080.267
P(B)0.3
(2)所求概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB>=0.2+0.3—0.08=0.42。
例6设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概
率与B发生A不发生的概率相等,求P(A)。
解:
由题设可知因为
A和B相互独立,则
P(AE)=P(A)P(B),
再由题设可知
1
P(AB)P(A)P(B)9,
P(AB)
P(AB)
又因为
P(AB)
P(AB),
P(A-B)=
P(B-A),
由事件之差公式得
P(A)P(AB)
P(B)P(AB)
则有P