医药数理统计习题答案解析.docx
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医药数理统计习题答案解析
第一章数据的描述和整理
一、学习目的和要求
1.掌握数据的类型及特性；
2.掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；
3.掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量；
4.能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算；
5.了解统计图形和统计表的表示及意义；
6.了解用Excel软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算
容提要
（一）数据的分类
数据类型
定性数据（品质数据）
定量数据
疋类数据
（计数数据）
定序数据
（等级数据）
数值数据
（计量数据）
表现形式
类别
（无序）
类别
（有序）
数值
（+—O
对应变量
疋类变量
定序变量
数值变量
（离散变量、连续变量）
主要统计方法
计算各组频数，进行列联表分析、2检验等非参数方法
计算各种统计量，进行参数估计和检验、回归分析、方差分析等
参数方法
常用统计图形
条形图，圆形图（饼图）
直方图，折线图，散点图，
茎叶图，箱形图
（二）常用统计量
1、描述集中趋势的统计量
名称
公式
（原始数据）
公式（分组数据）
意义
均值
x
x
1n
—xi
nii
x1kf
x—mifi
nii
反映数据取值的平均水平，是描述数据分布集中趋势的最主要测度值，
中位数
M
rn
当n为奇数
xn）,当n为偶数（21）
中位数所在组：
累积频数超过n/2
的那个最低组
是典型的位置平均数，不
受极端值的影响
众数
数据中出现次数最多的观察值
众数所在组：
测度定性数据集中趋势，
M0
频数最大的组
对于定量数据意义不大
2、描述离散程度的统计量
名称
公式（原始数据）
公式（分组数据）
意义
极差
R
R-最大值-最小值
R~最高组上限值-
最低组下限值
反映离散程度的最简单测度值，
不能反映中间数据的离散性
总体方差
2
21N-2
T（XiX）
Ni1
21k2
（mix）fi
Ni1
反映每个总体数据偏离其总体均值的平均程度，是离散程度的最重要测度值，其中标准差具有与观察值数据相同的量纲
总体标准差
厂
厂
NN（xx）2
Ni1
样本方差
S2
S21（Xix）2
n1i1
1k
S（mix）2fj
n1i1
反映每个样本数据偏离其样本均值的平均程度，是离散程度的最重要测度值，其中标准差具有与观察值数据相同的量纲
样本标准差
S
S
S
VS7
J
1n（xix）2
n1i1
1k-2（mix）fin1i1
变异系数
CV
S
CV=2100%|x|
反映数据偏离其均值的相对偏差，是无量纲的相对变异性测度
样本标准误
Sx
Sx孚
vn
反映样本均值偏离总体均值的平均程度，在用样本均值估计总体均值时测度偏差
3、描述分布形状的统计量
名称
公式（原始数据）
公式（分组数据）
意义
偏度
Sn（xx）3
ka
（n1）（n2）S3
k
（mx）3fi
Sk-3——
nS
反映数据分布的非对称性
8=0时为对称；
S>0时为正偏或右偏；
S<0时为负偏或左偏
峰度
K
422
n（n1）（Xix）3[（人x）]（n1）
Ku4
（n1）（n2）（n3）S4
（原始数据）
k
（mx）4f
KuA43（分组数据）
nS
反映数据分布的平峰或尖
峰程度
Kj=0时为标准正态；
&>0时为尖峰分布；
0时为扁平分布
在分组数据公式中，m,fi分别为各组的组中值和观察值出现的频数。
三、综合例题解析
例1.证明：
各数据观察值与其均值之差的平方和（称为离差平方和）最小，即
对任意常数C,有
n
（xx）2
i1
n
2
（xC）
i1
n
2
（XiC）
i1
证一：
设
f（C）
由函数极值的求法，对上式求导数，得
f（C）
n
2仕C）2
i1i
n
x
1
2nC,f（C）2n
令f（C）=0，得唯
」驻点
c1n
C-
xi=x
nii
由于f（X）2n0,故当Cx时f（C）y有最小值，其最小值为
n
2f（X）（XiX）。
i1
证二：
因为对任意常数C有
nn
（为X）2（XiC）2
n
2
Xi
i1
2nx
n
（Xi2
i1
2C
XinC2）
i1
n
nX22CXinC2n（X22CXC2）
i1
n（XC）20
故有
（Xi
i1
X）2
（XiC）2
i1
四、习题一解答
1•在某药合成过程中，测得的转化率（％如下:
94.3
92.8
92.7
92.6
93.3
92.9
91.8
92.4
93.4
92.6
92.2
93.0
92.9
92.2
92.4
92.2
92.8
92.4
93.9
92.0
93.5
93.6
93.0
93.0
93.4
94.2
92.8
93.2
92.2
91.8
92.5
93.6
93.9
92.4
91.8
93.8
93.6
92.1
92.0
90.8
（1）取组距为0.5，最低组下限为90.5，试作出频数分布表;
（2）作频数直方图和频率折线图；
（3）根据频数分布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差。
解：
（1）所求频数分布表：
转化率的频数分布表
转化率分组
频数
频率
累积频率
90.5〜
1
0.025
0.025
91.0〜
0
0.00
0.025
91.5〜
3
0.075
0.10
92.0〜
11
0.275
0.375
92.5〜
9
0.225
0.60
93.0〜
7
0.175
0.775
93.5〜
7
0.175
0.95
94.0〜94.5
2
0.05
1.00
（2）频数直方图:
直方图
转化率
频率折线图:
转化率频率折线图
（3）由频数分布表可得
转化率分组组中值mi频数
90.5〜90.751
91.0〜91.250
91.5〜91.753
S2
18
廿1（m
1
二尹75
=0.584
或者s2
92.0
〜92.25
11
92.5
〜92.75
9
93.0
〜93.25
7
93.5
〜93.75
7
94.0〜
94.594.25
2
90.75
191.250
94.252
3713
40
40
92.825
i
X）2fi
—mini1
222
—92.825）X1+（91.25—92.825）>0+…+（94.25—92.825）>2]
fi
nx2）
—（90.7521
39
91.2520
94.25224092.762）0.584
S、S2=、0.584〜0.7642
2•测得10名接触某种病毒的工人的白细胞（109/L）如下:
7.1,6.5,7.4,6.35,6.8,7.25,6.6,7.8,6.0,5.95
（1）计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。
（2）求出该组数据对应的标准化值；
（3）计算其偏度。
5.95
67.75,n=10
10
解:
（1）
i1
Xi
7.16.5
10
2
Xi
i1
7.12
6.52
5.952
462.35
样本均值
X
1n
—Xi
ni1
67.75
10
6.775
21n2_212
方差S（Xinx）（462.35106.775）0.371
n1ii9
标准差SS2=0.371〜0.609
标准误Sx
0.609
40
0.193
qCOAQ
变异系数C市100%=議100%=8.99%
（2）对应的标准化值公式为
Ui
xiX
S
Xi6.775
0.609
对应的标准化值为
0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355
（3）Sk
n化x）3
（n1）（n2）S3
=0.204。
3.已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示
按月人均支出分组（元）家庭户数占总户数的比例（%
200以下1.5
200〜
18.2
500〜46.8
800〜25.3
1000以上8.2
合计100
试计算
（1）该市平均每户月人均支出的均值和标准差；
（2）并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。
解：
（1）由原分组数据表可得
比例（%
支出分组（元）
组中值
200以下
100
1.5
200〜
350
18.2
500〜
650
46.8
800〜
900
25.3
1000以上
1100
8.2
15
xm,
nii
1fi（100
100
1.535018.2
1100
8.2）
S211（
5
2$-2、mifinx）
i1
122
（10021.53502
99
2
18.211002
8.25
687.：
52468
.39
s、s2
..52468.39
229.06；
（2）由原分组数据表可得
支出分组（元）
比例（%累积比例（
%
200以下
1.5
1.5
200〜
18.2
19.7
500〜
46.8
66.5
800〜
25.3
91.8
1000以上
8.2
100
中位数所在组,
即累积比例超过
50的那个最低组，
即为500〜组
则
687.3
o
2）
众数所在组是频数即比例最大的组，也是500〜组。
4.设xi,X2,…，xn和yi,y2,…，yn为两组样本观察值，它们有下列关系:
Xiayi
i=1,2,…，n
其中ab为常数且bMo,求样本均值x与y及样本方差s；和sy之间的关系。
—
1
n
1
y
n
i1
yi
n
1
n
（yi
、2
y）
n1
i1
n
1
1
n
（Xi
X）
解:
1
bn1i1
S；
（空
i1
b（ni1Xi
（xaxa）21（bb
b；S；。
na）
n
（亍）2
五、思考与练习
（一）填充题
1.统计数据可以分为数据、数据、数据、
据等三类，其中数据、数据属于定性数据。
2.常用于表示定性数据整理结果的统计图有、;
而、、、等是专用于表示定量数据
的特征和规律的统计图。
3.用于数据整理和统计分析的常用统计软件有等。
4.描述数据集中趋势的常用测度值主要有、、和
等,其中最重要的是;描述数据离散程度的常用测度值主要有、、、等，其中最重要的
（二）选择题
1.各样本观察值均加同一常数c后（）
样本均值改变，样本标准差不变
两者均改变
A.样本均值不变，样本标准差改变B
C.两者均不变D.
2.关于样本标准差，以下哪项是错误的（）
A.反映样本观察值的离散程度
B.度量了数据偏离样本均值的大小
C.反映了均值代表性的好坏
D.不会小于样本均值
A.变异系数（CV
C•极差（R）
•方差（S2）
•标准差（S）
（三）计算题
1.在某次实验中，用洋地黄溶液分别注入10只家鸽，直至动物死亡。
将致死量
折算至原来洋地黄叶粉的重量。
其数据记录为（单位：
mg/kg）
97.3，91.3，102，129，92.8，98.4，96.3，99.0,89.2，90.1
试计算该组数据的样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。
六、思考与练习参考答案
（一）填充题
1.
定类，定序，数值，定类，定序
2.
条形图、圆形图；直方图、频数折线图、
茎叶图、箱形图
3.
SASSPSSExcel
4.
均值、众数、中位数，均值，极差、方差、
标准差、变异系数，方差、标准
差
（二）选择题
1.B；2.D；3.A
（三）计算题
1.均值98.54、方差132.27、标准差11.501、标准误3.637、变异系数11.67%.
第二章随机事件与概率
一、学习目的和要求
1.掌握事件等的基本概念及运算关系；
2.熟练掌握古典概率及计算；
3.理解统计概率、主观概率和概率的公理化定义；
4.熟练掌握概率的加法公式、乘法公式及计算；
5.理解并掌握条件概率与事件独立性的概念并进行计算;
6.掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。
、容提要
（一）基本概念
概念
符号
概率论的定义
集合论的含义
随机试验
（试验）
E
具有以下特征的观测或试验：
1.试验在相同的条件下可重复地进行
2.试验的所有结果事先已知，且不止一个
3.每次试验恰好出现其中之一，但试验前
无法预知到底出现哪一个结果。
样本空间
试验所有可能结果组成的集合，即所有基
本事件的全体
全集
基本事件
（样本点）
试验的每个不可再分的可能结果，即样本
空间的元素
丿元素
随机事件
（事件）
A
试验中可能发生也可能不发生的结果，是
由基本事件组成的样本空间的子集
子集
必然事件
在试验中一定发生的事件
全集
不可能事件
在试验中一定不发生的事件，不含任何基空集
本事件
（二）事件间的关系
关系
符号
概率论的定义
集合论的含义
包含
AB
事件A的发生必然导致事件B的发生
A是B的子集
相等
A=B
AB而且BA
A与B相等
和（并）
A+B（AUB）
事件A与B中至少有一个事件发生
A与B的并
积（交）
ABAnB）
事件A与B同时发生
A与B的交
差
A—B
事件A发生同时B不发生
A与B的差
互不相容
AB=
事件A与B不可能同时发生
A与B不相交
对立
A
事件A不发生
A的补集（余集）
（三）事件的运算规律
运算律
公式
交换律
A+B=B+AAB=BA
结合律
（A+B+C=A+（B+C,（ABC=A（BQ
分配律
（A+BCAGBCA+（BQ=（A+B（A+Q
差积转换律
ABABAAB
对立律
AA=,A+A=Q
德•摩根对偶律
ABAB,ABAB
（四）概率的定义
类型
定义公式
古典概率
a小mA所含的基本事件数
P（A）=
n基本事件总数
统计概率
P（A）=P（〜fnA叫n
对样本空间中任意事件A对应的一个实数P（A），满足公理1（非负性）：
0公理化定义公理2（规性）：
R）=1,F（）=0
（基本性质）公理3（可加性）：
若A,A,…，A,…，两两互不相容,
P（A+A+…+A+…）=P（A）+F（A2）+…+RA）+•'则称P（A）为随机事件A的概率。
（5）概率的计算公式
名称
计算公式
加法公式
RA+B）=RA）+RB—P（AB
若AB互不相容（AB=）:
P（A+B）=P（A）+RB）
对立事件公式
P（A）=1—P（A）；P（A）=1—P（A）
事件之差公式
P（A—B）=RA）—P（AB
若BAP（A-B）=RA»—P（B）
条件概率公式
P（B|A）P（AB）,（P（A）>0）
P（A）
乘法公式
若P（A）>0,RAB=RA）RB|A|
若P（B）>0,RAB=RB）RA|B）
当P（AA…A-1）>0时，有
P（AA…A）=RA）P（AA）P（A3|A1A2）…P（A|AA2…A-1）
独立事件公式
AB相互独立：
P（AB=RA）RB）
A,A>,…，A相互独立：
RAA…An）=RA）P（A）…P（An）
全概率公式
若A1,Aa,…,A为完备事件组*，对事件B
n
PBP（Ai）P（B|Ai）
i1
逆概率公式
（贝叶斯公式）
若A1,A…,An为完备事件组*,P（E）>0
P（Aj）P（B|Aj）
P（Aj|B）n
P（A）P（B|A）
i1
*完备事件组1.A,A2,…,An互不相容且P（A）>0（i=1,2,…,n）;
{A,A2,…,A}2.A+A2+…+A=
三、综合例题解析
例1从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。
现从该池中任意捉来50条鱼，发现其中有两条有记号，问池大约有多少条鱼？
解：
设池大约有n条鱼，令
A=｛从池中捉到有记号鱼｝
则从池中捉到有记号鱼的概率
100
P（A）=——
n
由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频率fn（A）=—，即
50
1002
n50
解之得n=2500,故池大约有2500条鱼。
例2口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超过一角的概率。
解一：
令A=｛总值超过一角｝，现将从10个硬币中任取5个的每种取法作为每个基本事件，显然本例属于古典概型问题，可利用组合数来解决。
所取5个硬币总值超过一角的情形，其币值由大到小可根据其中有2个伍分、有1个伍分和没有伍分来考虑。
则
P（A）
23122
C2C8C2C3C5
132
C2C3C5
5
10
空=0.5
252
解二：
本例也可以先计算其对立事件
A=｛总值不超过一角｝
考察5个硬币总值不超过一角的情形，其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬币的不同个数来计算其有利情形的组合数。
则
541321123
P（A）1P（A）1C—―C5（C5__C3C2）C5C31126=0.5Cl。
252
亠-c5c2（c；W）126
或P（A）1P（A）1825351=0.5
C10252
例3将n个人等可能地分配到N（nwN）间房中去，试求下列事件的概率：
（1）A=｛某指定的n间房中各有一人｝;
（2）B=｛恰有n间房，其中各有一人｝;
（3）C=｛某指定的房中恰有m（men）个人｝。
解：
把n个人等可能地分配到N间房中去，由于并没有限定每一间房中的人数，故是一可重复的排列问题，这样的分法共有M种。
（1）对事件A,对指定的n间房，第一个人可分配到该n间房的任一间，有n种分法；第二个人可分配到余下的n—1间房中的任一间，有n—1种分法，以此类推，得到A共含有n!
个基本事件，故
P（A）
n!
（2）对事件B,因为n间房没有指定，所以可先在N间房中任意选出n间房（共有CN种选法），然后对于选出的某n间房，按照上面的分析，可知B共含有CN•!
个基本事件，从而
P（B）
CNn!
（3）对于事件C,由于m个人可从n个人中任意选出，故有CT种选法，而其余n
—m个人可任意地分配到其余的N—1间房中，共有（N—1）”m种分配法，故C中共含有
CT（N-1）n-m个基本事件，因此
P（C）
C「（N
1）n
C"m（^）m（1
注意：
可归入上述“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如:
（1）生日问题：
n个人的生日的可能情形，这时N=365天（n<365）;
（2）乘客下车问题：
一客车上有n名乘客，它在N个站上都停，乘客下车的各种可能情形；
（3）印刷错误问题：
n个印刷错误在一本有N页的书中的一切可能的分布（n不超过每一页的字符数）；
（4）放球问题：
将n个球放入N个盒子的可能情形。
值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人”，什么是“房”，一般不
能颠倒。
例4（1994年考研题）设A,B为两事件，且P（A）=p,P（AE）=P（AB）,求P（B）。
解：
由于
P（AB）P（A__）1P（AB）1[P（A）P（B）P（AB）],
现因为P（A护P（AB），则
P（AB）1P（A）P（B）P（AB）
又P[A）=p，故
P（B）1P（A）1p。
注意：
事件运算的德•摩根律及对立事件公式的恰当应用
例5设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时，该地区即被淹没。
已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为0.2和0.3，又当河流甲泛滥时，“引起”河流乙泛滥的概率为0.4，求
（1）当河流乙泛滥时，“引起”河流甲泛滥的概率；
（2）该时期该地区被淹没的概率。
解：
令A=｛河流甲泛滥｝，B=｛河流乙泛滥｝
由题意知
P（A）=0.2,P（B）=0.3,P（B|A）=0.4
再由乘法公式
P（AE）=P（A）P（B|A）=0.2>0.4=0.08,
则
（1）所求概率为
P（A|B）迴0080.267
P（B）0.3
（2）所求概率为
P（A+B）=P（A）+P（B）—P（AB>=0.2+0.3—0.08=0.42。
例6设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概
率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）。
解：
由题设可知因为
A和B相互独立，则
P（AE）=P（A）P（B），
再由题设可知
1
P（AB）P（A）P（B）9，
P（AB）
P（AB）
又因为
P（AB）
P（AB），
P（A-B）=
P（B-A）,
由事件之差公式得
P（A）P（AB）
P（B）P（AB）
则有P
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