《数值计算方法》复习资料.docx
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《数值计算方法》复习资料
《数值计算方法》复习资料
第一章数值计算方法与误差分析
第二章非线性方程的数值解法
第三章线性方程组的数值解法
第四章插值与曲线拟合
第五章数值积分与数值微分
第六章常微分方程的数值解法
自测题
课程的性质与任务
数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析
一 考核知识点
误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二 复习要求
1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及
它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
三 例题
例1设x*=π=3.1415926…
近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.0015926…，有
即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.
又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有
即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.
而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有
即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.
这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；
例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：
2.0004－0.0020090009000.00
解因为x1=2.0004＝0.20004×101,它的绝对误差限0.00005=0.5×101―5，即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有效数字.a1=2，相对误差限
x2=－0.00200，绝对误差限0.000005，因为m=－2，n=3，x2=－0.00200有3位有效数字.a1=2，相对误差限εr=
=0.0025
x3=9000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4,n=4,x3=9000有4位有效数字，a=9，相对误差限εr＝
＝0.000056
x4=9000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9000.00有6位有效数字，相对误差限为εr＝
＝0.00000056
由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.
例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？
解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足
，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足
，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
故ln2≈0.693。
第二章非线性方程的数值解法
一 考核知识点
二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。
二 复习要求
1.知道有根区间概念，和方程f（x）=0在区间（a,b）有根的充分条件。
2.掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法二分次数公式，掌握迭代法，知道其收敛性。
3.熟练掌握牛顿法。
掌握初始值的选择条件。
4.掌握弦截法。
三 例题
例1证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？
证明令f（x）＝1－x－sinx，
∵f（0）=1>0，f
（1）=－sin1<0
∴f（x）=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又
f'（x）=1－cosx>0（x∈[0.1]）,故f（x）＝0在区间[0，1]内有唯一实根.
给定误差限ε＝0.5×10－4，有
只要取n＝14.
例2用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根.计算过程保留4位小数.
[分析]容易判断[1，2]是方程的有根区间.若建立迭代格式
，此时迭代发散.
建立迭代格式
，此时迭代收敛.
解建立迭代格式
取
1.5185
例3用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x=1.5附近的根.计算中保留5位小数点.
[分析]先确定有根区间.再代公式.
解f（x）=x3－x2－1，f
（1）=－1，f
（2）=3，有根区间取[1,2].
取x1=1,迭代公式为
（n=1,2,…）
取
1.46553，f（1.46553）≈－0.000145
例4选择填空题
1.设函数f（x）在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f（x）=0在区间[a,b]一定有实根.
答案：
f（a）f（b）<0
解答：
因为f（x）在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f（c）=0，故f（x）=0一定有根.
2.用简单迭代法求方程f（x）=0的实根，把方程（x）=0表成x=ϕ（x）,则f（x）=0的根是（）
（A）y=x与y=ϕ（x）的交点（B）y=x与y=ϕ（x）交点的横坐标
（C）y=x与x轴的交点的横坐标（D）y=ϕ（x）与x轴交点的横坐标
答案：
（B）
解答：
把f（x）=0表成x=ϕ（x）,满足x=ϕ（x）的x是方程的解，它正是y=x与y=ϕ（x）的交点的横坐标.
3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：
（A）
解答：
在（A）中
故迭代发散.
在（B）中
，故迭代收敛.
在（C）中，
，故迭代收敛.
在（D）中，类似证明，迭代收敛.
第三章线性方程组的数值解法
一、考核知识点
高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯――赛德尔迭代法，超松弛迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。
二、复习要求
1.知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。
2.掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。
3.知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。
三、例题
例1用顺序消去法解线性方程组
解顺序消元
于是有同解方程组：
回代得解：
x3=－1,x2=1,x1=1。
原线性方程组的解为X＝（1,1,－1）T。
例2取初始向量X（0）=（0,0,0）T,用雅可比迭代法求解线性方程组
解建立迭代公式
（k=1,2,3,…）
第1次迭代,k=0，X（0）＝0，得到X
（1）＝（1,3,5）T,
第2次迭代，k=1，
，得到X
（2）＝（5,－3,－3）T
第3次迭代，k=2，
，得到X（3）＝（1,1,1）T
第4次迭代，k=3，
，得到X（4）＝（1,1,1）T
例3填空选择题：
1.用高斯列主元消去法解线性方程组
作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解答1.选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：
2x1+2x2+3x3=3，消元得到
是应填写的内容。
2.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组
的迭代格式中
＝（k=0,1,2,…）
解答高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。
答案是：
3.当
（）时，线性方程组
的迭代解一定收敛。
（A）>6（B）=6（C）<6（D）>∣6∣
解答：
当∣a∣>6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第3章定理知，迭代解一定收敛。
应选择（A）。
第四章插值与曲线拟合
一 考核知识点
插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：
插值基函数；差商及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数，最小二乘法，直线拟合。
二 复习要求
1.了解插值函数，插值节点等概念。
2.熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3.掌握牛顿插值多项式的公式，了解差商概念和性质，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
4.掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。
5.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法，
三 例题
例1已知函数y=f（x）的观察数据为
xk
－2
0
4
5
yk
5
1
－3
1
试构造f（x）的拉格朗日多项式Pn（x），并计算f（－1）。
解先构造基函数
所求三次多项式为
P3（x）=
＝
＋
－
＋
＝
P3（－1）＝
例2已知函数y=f（x）的数据如表中第2，3列。
计算它的各阶均差。
解依据均差计算公式，结果列表中。
k
xk
f（xk）
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
0
0.40
0.41075
1
0.55
0.57815
1.11600
2
0.65
0.69675
1.16800
0.28000
3
0.80
0.88811
1.27573
0.35893
0.19733
4
0.90
1.20152
1.38410
0.43348
0.21300
0.03134
计算公式为：
一阶均差
二阶均差
………
例3设
是n+1个互异的插值节点，
是拉格朗日插值基函数，证明：
证明Pn（x）=y0l0（x）+y1l1（x）+…+ynln（x）＝
当f（x）≡1时,1＝
由于
,故有
例4 满足条件
的插值多项式p（x）=_________________
解设所求的为p（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3
由插值条件知
解之得a2=3/2a3=-1/2
所求的插值多项式为p（x）=-1/2x3+3/2x2
例5选择填空题
1.通过四个互异节点的插值多项式P（x）,只要满足（）,则P（x）是不超过一次的多项式。
（A）初始值y0=0（B）一阶均差为0（C）二阶均差为0（D）三阶均差为0
解答：
因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N（x）=f（x0）+f（x0,x1）（x－x0）
它是不超过一次的多项式。
故选择（C）正确。
2.拉格朗日插值多项式的余项是（）,牛顿插值多项式的余项是（）
（A）
（B）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）
（C）
（D）f（x,x0,x1,x2,…,xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）
解答：
（A），（D）。
第五章数值积分与数值微分
一 考核知识点
数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿――柯特斯求积公式，柯特斯系数及其性质，（复化）梯形求积公式，（复化）辛卜生求积公式；高斯型求积公式，高斯点，（二点、三点）高斯――勒让德求积公式；（二点、三点）插值型求导公式。
二 复习要求
1.了解数值积分和代数精度等基本概念。
2.了解牛顿−柯特斯求积公式和柯特斯系数的性质。
熟练掌握并推导（复化）梯形求积公式和（复化）辛卜生求积公式。
3.知道高斯求积公式和高斯点概念。
会用高斯−勒让德求积公式求定积分的近似值。
4.知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。
三例题
例1试确定求积公式
的代数精度。
解当f（x）取1,x,x2,…计算求积公式何时精确成立。
（1）取f（x）=1,有：
左边＝
右边＝2
（2）取f（x）=x,有：
左边＝
右边＝0
（3）类似导出，取f（x）=x2,x3,有左边=右边
（5）取f（x）=x4,有：
左边=2/5,右边=2/9
当k≤3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。
例2试用梯形公式、科茨公式和辛卜生公式计算定积分
（计算结果取5位有效数字）
（1）用梯形公式计算
（2）用柯特斯公式系数为
＝
（3）如果要求精确到10－5，用复化辛卜生公式，截断误差为
∣RN[f]∣
N≥2
只需把[0.5,1]4等分，分点为0.5,0.625,0.75,0.875,1
例3用三点高斯－勒让德求积公式计算积分
解做变量替换
，有
＝
。
查表得节点为±0.774596669和0；系数分别为0.5555555556和0.8888888889
＝
+0.888888889×
＋
＝0.94083124
例4已知函数值f（1.0）=0.250000,f（1.1）=0.226757,f（1.2）=0.206612，用三点公式计算
在x=1.0,1.1,1.2处的导数值。
解三点导数公式为
k=1,2,3,…,n－1
本例取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,y0=0.250000,y1=0.226757,y2=0.206612,h=0.1。
于是有
例5选择填空题
1.如果用复化梯形公式计算定积分
要求截断误差不超过0.5×10－4，试问n≥（）
（A）41（B）42（C）43（D）40
解答；复化的梯形公式的截断误差为
，n=40.8,取n≥41。
故选择（A）。
2.已知n=3时，柯特斯系数
，那么
＝
解答：
由柯特斯系数的归一性质，
第六章常微分方程的数值解法
一 考核知识点
尤拉公式，梯形公式，改进尤拉法，局部截断误差；龙格――库塔法，局部截断误差。
二 复习要求
1.掌握尤拉法和改进的尤拉法（梯形公式、预报－校正公式），知道其局部截断误差。
2.知道龙格−库塔法的基本思想。
知道二阶、三阶龙格−库塔法。
掌握四阶龙格――库塔法，知道龙格−库塔法的局部截断误差。
三 例题
例1用尤拉法解初值问题
取步长h=0.2。
计算过程保留6位小数。
解h=0.2,f（x）=－y－xy2。
首先建立尤拉迭代格式
当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有y（0.2）≈y1=0.2×1（4－0×1）＝0.8
当k＝1,x2=0.4时,已知x1=0.2,y1=0.8,有y（0.4）≈y2=0.2×0.8×（4－0.2×0.8）＝0.6144
当k=2,x3=0.6时,已知x2=0.4,y2=0.6144,有y（0.6）≈y3=0.2×0.6144×（4－0.4×0.4613）=0.8
例2用尤拉预报－校正公式求解初值问题
，取步长h=0.2,计算y（0.2）,y（0.4）的近似值，小数点后至少保留5位。
解步长h=0.2,此时f（x,y）=－y－y2sinx
尤拉预报－校正公式为：
有迭代公式:
当k=0，x0=1,y0=1时，x1=1.2，有
当k=1，x1=1.2,y1=0.71549时，x2=1.4，有
=0.52608
例3写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题
的计算公式，取步长h=0.2计算y（0.4）的近似值。
至少保留四位小数。
解此处f（x,y）=8－3y,四阶龙格－库塔法公式为
其中κ1=f（xk,yk）；κ2=f（xn+
h，yk+
hκ1）；κ3=f（xk+
h，yn+
hκ2）；κ4=f（xk+h，yk+hκ3）
本例计算公式为：
其中κ1=8－3yk；κ2=5.6－2.1yk；κ3=6.32－2.37yk;κ4=4.208＋1.578yk
当x0=0,y0==2,
浙江中医学院计算机科学与技术系
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