《数值计算方法》复习资料.docx

1、数值计算方法复习资料数值计算方法复习资料第一章 数值计算方法与误差分析第二章 非线性方程的数值解法第三章 线性方程组的数值解法第四章 插值与曲线拟合第五章 数值积分与数值微分第六章 常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务 数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。第一章 数值计算方法与误差分析 一考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

2、 二复习要求 1. 知道产生误差的主要来源。 2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及 它们之间的关系。 3. 知道四则运算中的误差传播公式。 三例题 例1 设x*= =3.1415926 近似值x=3.140.314101,即m=1，它的绝对误差是 0.001 592 6，有 即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074，有 即m=1,n5，x=3.1416有5位有效数字. 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926，有 即m=1,n4，x=3.1415有

3、4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字； 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 0.002 00 9 000 9 000.00 解 因为x1=2.000 40.200 04101, 它的绝对误差限0.000 05=0.510 15，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限 x2=0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=2，n=3，x2=0.002 00有3位有效数字. a1=2，相对误差限r= =0.002 5x3=9 000，绝对误差限为0.510

4、0，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，a=9，相对误差限r 0.000 056 x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为r 0.000 000 56 由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718，精确到103的近似值是多少？ 解 精确到1030.001，意旨两个近似值x1,x2满足 ，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足 ，近似值的绝对误差限应是0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。故ln20.693。第二章 非线性方程的数值

5、解法 一 考核知识点 二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。 二 复习要求 1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间(a,b)有根的充分条件。2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法二分次数公式，掌握迭代法 ，知道其收敛性。 3. 熟练掌握牛顿法。掌握初始值的选择条件。 4. 掌握弦截法。三 例题例1 证明方程1xsinx0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5104的根要迭代多少次？ 证明 令f(x)1xsinx， f(0)=10，f(1)=sin10(x0.1),故f(x)0在区间0，1内有唯一实根. 给定误差限0.5104，有 只要取n14. 例2 用迭代法求

6、方程x54x20的最小正根.计算过程保留4位小数. 分析 容易判断1，2是方程的有根区间.若建立迭代格式 ，此时迭代发散. 建立迭代格式 ，此时迭代收敛. 解 建立迭代格式 取 1.5185 例3 用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根.计算中保留5位小数点. 分析 先确定有根区间.再代公式. 解 f(x)= x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取1,2. 取x1=1, 迭代公式为 (n=1,2,) 取 1.46553，f(1.46553)0.000145 例4 选择填空题 1. 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足 ，则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根. 答案

7、：f(a)f(b)6 (B) =6 (C) 6 解答：当a6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第3章定理知，迭代解一定收敛。应选择(A)。第四章 插值与曲线拟合一 考核知识点 插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；差商及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数，最小二乘法，直线拟合。 二 复习要求 1. 了解插值函数，插值节点等概念。 2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。 3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解差商概念和性质，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。 4. 掌握分段线性插值的方法和线

8、性插值基函数的构造。 5.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法，三例题 例1 已知函数y=f(x)的观察数据为xk 2045yk 5131试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (x)，并计算f(1)。 解 先构造基函数 所求三次多项式为 P3(x)= P3(1) 例2 已知函数y=f(x)的数据如表中第2，3列。计算它的各阶均差。 解 依据均差计算公式，结果列表中。 k xk f(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差00.400.410 75 10.550.578 151.116 00 20.650.696 751.168 000.280 00 30.80

9、0.888 111.275 730.358 930.197 33 40.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34 计算公式为：一阶均差 二阶均差 例3 设 是n+1个互异的插值节点， 是拉格朗日插值基函数，证明： 证明 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x) 当f(x)1时,1 由于 ,故有 例4 满足条件的插值多项式p(x)=_解 设所求的为 p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3由插值条件知解之得 a2 =3/2 a3 = - 1/2 所求的插值多项式为 p(x)= -1/2x3 + 3/2x2例5选择填空题1.通过四个互

10、异节点的插值多项式P(x),只要满足( ),则P(x)是不超过一次的多项式。 (A) 初始值y0=0 (B) 一阶均差为0 (C) 二阶均差为0 (D)三阶均差为0 解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(xx0)它是不超过一次的多项式。故选择(C)正确。2. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( ) (A) (B) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)(C) (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) 解答：(A)，(D)。第五章 数值积分

11、与数值微分 一考核知识点 数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿柯特斯求积公式，柯特斯系数及其性质，(复化)梯形求积公式，(复化)辛卜生求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯勒让德求积公式； (二点、三点)插值型求导公式。 二复习要求 1. 了解数值积分和代数精度等基本概念。 2. 了解牛顿柯特斯求积公式和柯特斯系数的性质。熟练掌握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)辛卜生求积公式。 3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。会用高斯勒让德求积公式求定积分的近似值。 4. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。三 例题 例1 试确定求积公式

12、的代数精度。 解 当f(x)取1,x,x2,计算求积公式何时精确成立。(1) 取f(x)=1,有：左边 , 右边2 (2) 取f(x)=x,有：左边 , 右边0 (3)类似导出， 取f(x)=x2, x3, 有左边=右边 (5) 取f(x)=x4,有：左边=2/5, 右边=2/9 当k3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。 例2 试用梯形公式、科茨公式和辛卜生公式计算定积分 (计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算 (2)用柯特斯公式 系数为 (3)如果要求精确到105，用复化辛卜生公式，截断误差为 RNf , N2 只需把0.5,14等分，分点为0.5,

13、0.625,0.75,0.875,1 例3 用三点高斯勒让德求积公式计算积分 解 做变量替换 ，有 。查表得节点为0.774 596 669 和0；系数分别为0.555 555 5556和0.888 888 8889 +0.888 888 889 0.94083124例4已知函数值f(1.0)=0.250 000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206 612，用三点公式计算 在x=1.0,1.1,1.2处的导数值。解 三点导数公式为 k=1,2,3,n1本例取x0=1.0, x1=1.1, x2=1.2, y0=0.250 000,y1=0.226757,y2=0.206

14、612,h=0.1。于是有 例5 选择填空题 1. 如果用复化梯形公式计算定积分 ,要求截断误差不超过0.5104，试问n( ) (A) 41 (B) 42 (C) 43 (D) 40 解答；复化的梯形公式的截断误差为 ，n=40.8 ,取n41。故选择(A)。 2.已知n=3时，柯特斯系数 ，那么 解答：由柯特斯系数的归一性质， 第六章 常微分方程的数值解法一 考核知识点 尤拉公式，梯形公式，改进尤拉法，局部截断误差；龙格库塔法，局部截断误差。 二 复习要求1.掌握尤拉法和改进的尤拉法(梯形公式、预报校正公式)，知道其局部截断误差。 2. 知道龙格库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格库塔法。

15、掌握四阶龙格库塔法，知道龙格库塔法的局部截断误差。 三 例题 例1 用尤拉法解初值问题 ,取步长h=0.2。计算过程保留6位小数。 解h=0.2, f(x)=yxy2。首先建立尤拉迭代格式 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)y1=0.21(401)0.8当k1,x2=0.4时,已知x1=0.2, y1=0.8,有y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.614 4 当k=2,x3=0.6时,已知x2=0.4,y2=0.6144,有y(0.6)y3=0.20.6144(40.40.4613)=0.8 例2 用尤拉预报校正公式求解初值问题 ，取步长h=0.2

16、,计算 y(0.2),y(0.4)的近似值，小数点后至少保留5位。 解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=yy2sinx 尤拉预报校正公式为： 有迭代公式: 当k=0，x0=1, y0=1时，x1=1.2，有 当k=1，x1=1.2, y1=0.71549时，x2=1.4，有 =0.52608 例3 写出用四阶龙格库塔法求解初值问题 的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。 解 此处f(x,y)=83y, 四阶龙格库塔法公式为 其中 1=f(xk,yk)；2=f(xn+ h，yk+ h1)；3=f(xk+ h，yn+ h2)；4=f(xk+h，yk+h3)本例计算公式为： 其中 1=83 yk；2=5.62.1 yk；3=6.322.37yk; 4=4.2081.578yk 当x0=0,y0=2, 浙江中医学院计算机科学与技术系