北师大版八年级数学上册期末复习.docx
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北师大版八年级数学上册期末复习
北师大版《数学》（八年级|:
»知识点总结
第一章勾股定理
1、勾股定理
<1）直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2
（2）勾股定理的验证：
测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱岀入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）
（3）勾股定理的适用范围：
仅限于直角三角形
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系丿+胪=己那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：
满足的三个正整数队橫c,称为勾股数。
常见的勾股数有：
（6,8,10）（3,4,5）（5,12,,13）（9,12,15）（70125）（9,40.41）
规律：
（1）.短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。
即当a为奇数且a（5,12,,13）（72425）（9,40,41）
（2）大于2的任創禺数，2n（n>l）都可构成一组勾股数分别是：
2n,rM,i?
+]
如：
（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）
4、常见题型应用：
（1）己知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……
（2）己知任意一条的边长以及另夕卜两条边长之间的关系，求各边的长度//斜虹的高级周纳积……
（3）判定三角形形状：
a2+b2>c2锐角a2+哓4直角〜，a2+b2判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之冋的大小关系；c.确定形状
（4）构建直角三角形解题
例1.己知直角三角形的两直角边之比为3：
4,斜边为10。
求直角三角形的两直角边。
解：
设两直角边为3x,4x,由题意知：
（3x）2+（4x）2=100,9x2+16x2=100,25x2=100,x2=4
.・・x=2,则3x=6,4x=8,故两直角边为6,8。
中卷嗽
（1）中考典题
例如图
（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图
（2）所示，测得得BD=0.5米,求梯子顶端A下落了多少米？
A
E
CBCBD
<1）（2〉
思维入门指串梯子顶端A下落的距离为AE,即求AE的长。
己知AB和BC.根据勾股定理可求AC,只要求出EC即可。
解:
在RtAACB中，AC2=AB2-BC?
=2.52-1.52=4,
...AC=2
VBD=0.5,:
.CD=2
在及AECD中，EC2=ED2-CD2=252-22=225
・・・EC=1.5
:
..4E=AC-EC=2-15=0.5答：
梯子顶端下滑了0.5米。
点拨：
要考虑梯子的长度不变。
例5.如图所示的一块地，AD=12m,CD=9m,ZADC=90°,AB=39m.BC=36m.求这块地的面积。
CB
思维入门指导：
求面租时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD，似乎不得要领，连结AC,求岀Sy-Sg即可。
AC2=CD2+AD2=122+92=225
・•・AC=15
在Z\ABC中，AB2=1521
AC2+BC2=152+362=1521
/.AB2=AC2+BC1,:
.Z.ACB=90°
■•-S皿-Sg=^ACBC-^.ADCD
=1x15x36-1x12x9=270-54=216（w2）
答：
这块地的面积是216平方米。
点拨：
此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。
第二章藏
基本知识回顾
1.无理数的引入。
无理数的定义无限不循环小数。
算术平方根定义如果一个非负数X的平方等于即亍=。
那么这个非负数X就叫做。
的算术平方根，记为石，算术平方根为非负数栃20
'正数的平方根有乏个，它们互为相反数
平方根＜0的平方根是0
负数没有平方根
2.无理数的表示
定义：
如果一个数的平方等于a,即x）=a,那么这个数就
叫做。
的平方根，记为±名
'正数的立方根是正数
立方根J负数的立方根是亜
0的立方根是g
定义：
如果一个数x的立方等于力即”=a,那么这个数x
就叫做。
的立方根，记为柘.
MM奥數和形懒淋谈
-、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
实数
负有理数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
2、无理数：
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如万眾等；
（2）有特定意义的数，如圆周率払或化简后含有兀的数，W3+8等；
（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.1010010001—等；
（4）某些三角函数值，如sin60°等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一•对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0‘a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|R）。
零的绝对值是它本身，也可看■成它的相反数，若|a|=a,则归）；若|a|=・a,则定丄
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和・1。
零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是——对应的，并能灵活运用。
5、估算
利用作负数解題的常见类型
例］.已知Vx-5+|y-3|=0,求子-2y的值。
解：
V7x^5>0,|j-3|>0,HVx^5+|v-3|=0
/.Jx-5=0,\y—3|=0
.•.x—5=0,y-3=0
.・・x=5,y=3
:
.x2-2y=25-6=19
点拨：
利用算术平方根，绝对值非负性解题。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：
一般地，如果一个正数x的平方等于a,即』，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：
记作“*”，读作根号a。
性质：
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：
一般地，如果一个数x的平方等于a,即宀，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方粉。
表示方法：
正数a的平方根记做“土石”，读作“正、负根号a”。
性质：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：
求f数a的平方根的运算，叫做开平方。
注意切的双重非负性：
被开方数与结果均为非负数。
即a\0,
3、立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方勘。
表示方法：
记作栃性质：
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：
代=-布，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方
（1）数轴比较：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：
设a、b是实数，
a-b>0Oa>b,
a-b=0Oa=b,
a-b<0a（3）求商比较法：
设a、b是两正实数，
—>1<=><7>d;—=1=a=b,—v1=。
vb;
bbb
（4）绝对值比较法：
设a、b是两负实数，则同>㈣。
々<》。
（5）平方法：
设a、b是两负实数，则。
2>b2^a（6）倒数法：
设a、b是同正，如果l/a>l/b,则。
勺；同负，如果l/a>l/b,则a>b
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“丁被开方数a必须是非负数。
2、渤：
（1）（V^）2=a（a>0）
（2）=同=rQ（。
20）
1-a（a<0）
（3）4ab=4a9y[b（a>0;b>0）（.Ja•4b=4ab{a>0,6>0））
（a>Q,b>Q）
（普睁*>o））
3、运算结果若含有“4a“形式，必须满足:
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
（1）六种运算：
加、减、乘、除、乘方、开方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方,
再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
加法交换律
乘法对加法的分配律a（b+c'）=ab+ac
例.计算：
（1）（心+1）（整-1）=；
（2）（右+75）（占-很）=；
（3）（2+妁（2-搭）=;
（4）（右+2）（右-2）=
通过以上计算，观察规律，写出用n（n为正整数）表示上面规律的等式解.（盘）2-1=1；（右F-（很）2=1；4-（Vi）'”（名）二4=1规律：
（扁1+佝（向一仞=1
第三章图形的平移与旌转
一、平移
1、定义：
在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、要素（或条件）：
方向，即前后对应点的射线方向；距离，即对应点之间的距离
3、性质：
平移前后两个图形的形状和大小不变（即全等图形），对应点龄平行（或在同
一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。
4、平移作图：
线段的平移作法：
作法1：
将线段两端点分别平移，然后将两个平移后的点连成线段，即为原线段平移
后的线段；
作法2：
将线段一端点平移，然后过平移后的点作原线段的平行线，在该平行线适当
方向截取长度为指定线段长度，则所得线段为所求
二旋转
1、定义：
在平面内，将f图形绕某一定点沿某个方向转动f角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、要素（或条件）：
旋转中心（定点）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（3368）
3、性质：
旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角o
4、旋转作图：
⑴作图步骤：
观察基本图案（确定关键点）一确定旋转的三要素找到对应点一连接对应点~脩
（2）旋转作图的方法：
1、把各关键点依次与旋转中心连接
2、按要求向顺时针/逆时针旋转相应角度
3、截取对应題
4、连接对应点
5、作答
三、简氓的图案设计：
第四章四边形性顚索
一、四边形的相关概念
1、四边形：
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性
3、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：
四边形的内角和等于360°o
四边形的外角和定理：
四边形的夕卜角和等于360°o
推论：
多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于（n-2）X180°?
多边形的外角和定理：
任意多边形的夕卜角和等于360°。
6、设多边形的边数为n,从n边形的f顶点出发能引3-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。
多边形的对角线共有匹尸条。
二、平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的.四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的慟
（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：
（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：
夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
（1）定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线之间的距离（平行线间的距离处处相等）
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
5、平行四边形的面积：
S边长乂高二北
三、菱形
1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，对边平行
（2）菱形的相邻的角互补，对角相等
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
（1）定义：
有-＜邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：
四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S剛=底边长X高=两条对角线乘积的一半
四、矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等
（2）矩形的四个角相等，都是直角
（3）矩形的对角线相等且互相平分
（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
（1）定义：
有f角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积：
S^=K：
X®=ab
五、正方形（3~10分）
1、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行
（2）正方形的四个角都是直角
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条,是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证它是菱形。
先证它是菱形，再证它是矩形。
4、正方形的面积
设正方形边长为a,对角线长为b
Si2=守
例1.菱形的周长为20cm,相邻两内角的比为1：
2,求菱形的面积？
解:
如图所示，菱形ABCD.由于周长为20cm,..・AB=5cm
又•.•£：
4=2：
1,
.•.匕4=120°,ZB=60°
.过点A作BC的垂线，垂足为E.贝iJZBAE=30°
ae=Jab2-be
S瑟=—V3x5=-用cm《
另-•种解法：
如图所示，连结AC、BD,相交于点O。
AD
BC
vZBAD:
ZABC=2:
1
.\ZABC=60c,又•；AB=8C
.•.△ABC是等边三角形，.・・AC=5
又"*.
5LAO1BD,OB=^AB2-OA2
点拨：
菱形的两种求面积的方法都比较常用，注意根据题中所给的条件灵活选择。
有时要与一些特殊角，比如30°、60。
角的特殊性质联系起来。
六、梯形
（_）1、梯形的相关概念
组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
2、梯形的判定
（1）定义法：
对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
（二）直角梯形的定义：
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分类如下：
r一般梯形
梯2r直角梯形
特殊食形
等腰梯形
（三）等腰梯形
1、等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
⑵等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补，不同底的两个角互补。
（3）等腰梯形的对角线相等。
⑷等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：
两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角缴目等的梯形是等腰梯形。
（选择题硒空题可直接用）
（四）梯形的面积
⑴如图'5_=舟+狈•班
（2）梯形中有关图形的面积：
①公必-、阻虻；
2S^OD~S昭OC；
3S&4DC=SMCD
七、有关中点瞰形问题的知识点：
（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是'I行四边形;
（2）顺次连接坦虚的四边中点所得的四边形是空；
⑶顺次连接菱虚的四边中点所得的四边形是_2；
（4）顺次连接箸腰梯形的四边中点所得的四边形是菱巳;
⑸顺次连接对甘线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形;
（6）顺次连接对角线里延直的四边形四边中点所得的四边形是―；
（7）顺次连接对角线心II材［IL相等的四边形四边中点所得的四边形是"3
八、中心对称图形
1、定义
在平面内，一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
2、慟
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点龄都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
例作图，作岀AABC绕。
点旋转180。
后的图形。
解：
作法：
（1）连结AO并延长在延长线上截取AO=AO
（2）连结BO并延长在延长线上截取B'O=BO
（3）连结CO并延长在延长线上截取CO=CO
（4）顺次堡吉A'B',B'C',CAo
△ABC即为所求。
九、四逝眩、桐眩、爲眩、正方形、梯形、舞辭形、直角梯形fi眺系:
例如图所示，梯形ABCD.AC=BD,这个梯形是等腰梯形吗？
说明理由。
解：
是等腰梯形，理由如下:
把AC平移到DE的位置，则四边形ACED是平行四边形
•「DE=BD,Z1=Z2
AZ2=Z3,AZ1=Z3
在Z\DBC和/XACB中，DB=AC.Z1=Z3,BC=CB
.•.△DBC竺/XACB（SAS）
.*.DC=AB
.•・梯形ABCD是等腰梯形。
例1.如豳i示，適?
ABCD中，AB=4,BC=8,将矩畛SAC折叠，点D落在点。
处，则重疊部分AAEC的硒核少？
解：
VCD,=CD=AB.ZCED^ZAEB.ZD'=ZB=90°
ACED'=^AEB
:
.CE=AE,D'E=BE
=x,贝iJCE=8-x,贝【U£=8—x在mMBE中，有42+x2=（8-x）2
x=3
则S淄=!
><4x3=6
=?
x4x8=16
,SMEC=1°
点拨：
设未知数列方程有时是解决几何问题的重要方法。
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