即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．
1.1认识三角形
（二）
A组
1．如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高线，下列作法正确的是（A）
2．能将三角形的面积分成相等两部分的是（A）
A．中线B．角平分线
C．高线D．以上都不能
3．一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2＝50°，则∠1＝（C）
A．50° B．60° C．70° D．80°
（第3题））
（第4题））
4．如图，AD是△ABC的中线，BC＝10，则BD的长为__5__．
5．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝__40°__．
（第5题））
（第6题））
6．如图，AD是△ABC的中线，AB－AC＝5cm，△ABD的周长为49cm，则△ADC的周长为__44__cm．
（第7题）
7．如图，在△ABC中，AD是高线，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【解】 ∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°．
∵AD是高线，∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝30°．
∵AE，BF是角平分线，
∴∠ABF＝
∠ABC＝35°，∠EAF＝
∠CAB＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°，
∠AFB＝180°－∠ABF－∠CAB＝95°，
∴∠AOF＝180°－∠AFB－∠EAF＝60°，
∴∠BOA＝180°－∠AOF＝120°．
B组
8．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BDG＝8，S△AGE＝3，则S△ABC＝（B）
A．25B．30
C．35D．40
【解】 在△BDG和△GDC中，
∵BD＝2DC,这两个三角形在BC边上的高线相等，∴S△BDG＝2S△GDC，∴S△GDC＝4．
同理，S△GEC＝S△AGE＝3．
∴S△BEC＝S△BDG＋S△GDC＋S△GEC＝8＋4＋3＝15，
∴S△ABC＝2S△BEC＝30．
（第8题）
（第9题）
9．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝__
__．
【解】 设S△ABC＝S．
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∴S△ACD＝S△ABD＝
S△ABC＝
S．
∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴S△EDC＝S△EDA＝
S△ACD＝
S．
∴S△EDC∶S△ABC＝
＝
．
（第10题）
10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°，求∠BCD和∠ECD的度数．
【解】 ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°－∠CDB－∠B＝30°．
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝100°．
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE＝
∠ACB＝50°，
∴∠ECD＝∠BCE－∠BCD＝20°．
（第11题）
11．如图，在△ABC中（AB>BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40的两部分，求AC和AB的长．
导学号：
91354001
【解】 ∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，AC＝4BD．
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x．
分两种情况讨论：
①AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，
则4x＋x＝60，x＋y＝40，解得x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48，AB＝28，BC＝2x＝24，此时符合三角形三边关系定理．
②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，
则4x＋x＝40，x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，
即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，
此时不符合三角形三边关系定理．
综上所述，AC＝48，AB＝28．
数学乐园
12．如图，已知△ABC的面积为1．第一次操作：
分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连结点A1，B1，C1，A1，得到△A1B1C1．第二次操作：
分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连结点A2，B2，C2，A2，得到△A2B2C2……按此规律，要使得到的三角形的面积超过2018，则最少经过__4__次操作．
（第12题））
【解】 由题意可得规律：
第n次操作后得到的三角形的面积变为7n，则7n>2018，可得n最小为4．故最少经过4次操作．
1.2定义与命题
（一）
A组
1．下列语句中，属于定义的是（D）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．等角的余角相等
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
2．下列语句中，属于命题的是（C）
A．直线AB与CD垂直吗
B．过线段AB的中点作AB的垂线
C．同位角不相等，两直线不平行
D．连结A，B两点
3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是（D）
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
4．下列语句中，不属于命题的是（C）
A．若两角之和为90°，则这两个角互补
B．同角的余角相等
C．作线段的垂直平分线
D．相等的角是对顶角
5．把“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角，那么它们相等．
6．指出下列命题的条件和结论．
（1）同旁内角互补，两直线平行．
（2）如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3．
（3）邻补角的平分线互相垂直．
【解】
（1）条件：
两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：
这两条直线平行．
（2）条件：
∠1＝∠2，∠2＝∠3；结论：
∠1＝∠3．
（3）条件：
两条射线是邻补角的平分线；结论：
这两条射线互相垂直．
7．把命题改写成“如果……那么……”的形式．
（1）等底等高的两个三角形的面积相等．
（2）两直线平行，内错角相等．
（3）等角的余角相等．
【解】
（1）如果两个三角形等底等高，那么它们的面积相等．
（2）两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等．
（3）如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等．
B组
8．下列命题正确的是（D）
A．若a＞b，b＜c，则a＞c
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若ac2＞bc2，则a＞b
9．对同一平面内的三条直线，给出下列5个论断：
a∥b，b∥c，a⊥b，a∥c，a⊥c．以其中两个论断为条件．一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题．
条件：
a∥b，b∥c，结论：
a∥c．
【解】 本题答案不唯一．
10．定义两种新变换：
①f（a，b）＝（a，－b），如f（1，2）＝（1，－2）；②g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1）．据此得g（f（5，－6））＝（6，5）．
【解】 ∵f（5，－6）＝（5，6），
∴g（f（5，－6））＝g（5，6）＝（6，5）．
数学乐园
（第11题）
11．如图，定义：
直线l1与l2交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，求“距离坐标”是（1，2）的点的个数．导学号：
91354002
（第11题解）
【解】 “距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1，l2的距离分别为1，2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1或a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1或b2上，它们有4个交点，即为如解图所示的点M1，M2，M3，M4．故满足条件的点的个数为4．
1.2定义与命题
（二）
A组
1．下列命题是真命题的是（A）
A．互余的两个角之和是90°
B．同角的余角互余
C．等底的两个三角形面积相等
D．相等的角是直角
2．下列命题是假命题的是（C）
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的内角和等于180°
C．等边三角形旋转180°后能与本身重合
D．三角形的中线能平分三角形的面积
3．能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的一个反例可以是（A）
A．a＝－2B．a＝
C．a＝1D．a＝
4．
（1）定理是真命题（填“真”或“假”，下同）．
“如果ab＝0，那么a＝0”是假命题．
“如果a＝0，那么ab＝0”是真命题．
（2）“如果（a－1）（a－2）＝0，那么a＝2”是假命题，反例是a＝1．
（第5题）
5．如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，这是假命题（填“真”或“假”）．
6．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
（2）两个负数的差一定是负数．
【解】
（1）假命题．反例：
6是偶数，但6不是4的倍数．
（2）假命题．反例：
（－5）－（－8）＝＋3．
7．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD∥BC，则AD平分∠EAC．请用推理的方法说明它是真命题．
（第7题）
【解】 ∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∠CAD＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠EAC．
∴该命题是真命题．
B组
8．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：
“只参加一项的人数大于14人．”乙说：
“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列命题，其中是真命题的是（B）
A．若甲对，则乙对B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错D．若甲错，则乙对
【解】 A项，若甲对，即只参加一项的人数大于14人，则两项都参加的人数小于6人，故乙可能对也可能错．
B项，若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，此时只参加一项的人数至少为16人，故甲对．
C项，若乙错，即两项都参加的人数大于或等于5人，则只参加一项的人数小于或等于15人，故甲可能对也可能错．
D项，若甲错，即只参加一项的人数至多为14人，则两项都参加的人数至少为6人，故乙错．
综上所述，真命题只有“若乙对，则甲对”．
9．有下列命题：
①若a＋b＞0且ab＞0，则a＞0且b＞0；②若a＞b且ab＞0，则a＞b＞0；③一个锐角的补角比它的余角小90°．其中属于真命题的是__①__（填序号）．
【解】 ①由ab＞0，可得a，b同号．
又∵a＋b＞0，∴a＞0且b＞0，故本项正确．
②令a＝－1，b＝－2，则ab＝2＞0，b＜a＜0，故本项错误．
③一个锐角的补角比它的余角大90°，故本项错误．
（第10题）
10．如图，GH，MN分别是∠EGB，∠EMD的平分线，若GH∥MN，则AB∥CD．请用推理的方法说明它是真命题．
【解】 ∵GH∥MN，
∴∠EGH＝∠EMN．
∵GH，MN分别是∠EGB，∠EMD的平分线，
∴∠EGB＝2∠EGH，
∠EMD＝2∠EMN，
∴∠EGB＝∠EMD，∴AB∥CD．
∴该命题是真命题．
数学乐园
11．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC＝25°．
（第11题）
（1）∠1＝25°，∠2＝155°．
（2）请观察∠1，∠2与∠ABC分别有怎样的关系，并由此归纳一个真命题．
【解】
（2）∠1＝∠ABC，∠2＋∠ABC＝180°．真命题：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
1.3证明
（一）
A组
1．如图，下面的推理正确的是（D）
A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD
B．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC
C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC
（第1题））
（第2题））
2．如图，若a∥b，则∠1的度数为（C）
A．90° B．80°
C．70° D．60°
（第3题）
3．如图，下列条件中，能证明AD∥BC的是（D）
A．∠A＝∠C
B．∠B＝∠D
C．∠B＝∠C
D．∠C＋∠D＝180°
4．字母a，b，c，d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形
的连接方式为a⊕c．
组合,
连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c
（第5题）
5．如图，∠1与∠D互余，∠C与∠D互余．求证：
AB∥CD．
【解】 ∵∠1与∠D互余，
∠C与∠D互余（已知），
∴∠1＝∠C（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
（第6题）
6．如图，直线a∥b，三角形纸板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B，C两点．若∠1＝42°，求∠2的度数．
【解】 ∵直线a∥b，∠1＝42°（已知），
∴∠ACB＝42°（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠BAC＝90°（已知），
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝48°（三角形的内角和为180°），
∴∠2＝∠ABC＝48°（对顶角相等）．
（第7题）
7．如图，∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B的度数．
【解】 ∵∠1＝∠AGF（对顶角相等），
∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠AGF（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠B＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B＝180°－∠D＝180°－50°＝130°．
B组
（第8题）
8．如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为__35°__．
【解】 过点C作CE∥a．
∵a∥b，∴CE∥a∥b，
∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠α＝∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝35°．
（第9题）
9．如图，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF的度数为__70°__．
【解】 ∵EP⊥EF，∴∠PEF＝90°．
又∵∠BEP＝50°，
∴∠BEF＝∠BEP＋∠PEF＝140°．
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴∠EFD＝40°．
∵FP平分∠EFD，
∴∠EFP＝
∠EFD＝20°．
∵∠PEF＋∠EFP＋∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝70°．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交AC，CD于点E，F．求证：
∠CEF＝∠CFE．
（第10题）
【解】 ∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CEF＋∠CBE＝90°，∠DFB＋∠ABE＝90°，
∴∠CEF＝∠DFB．
又∵∠CFE＝∠DFB，
∴∠CEF＝∠CFE．
11．阅读：
如图①，∵CE∥AB，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B．这是一个有用的事实，请用这个事实，在图②中的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．
（第11题）
（第11题解）
【解】 如解图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠A＋∠ADE＝180°，∠B＋∠BED＝180°．
由题意，得∠BED＝∠C＋∠CDE，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠CDA＝（∠A＋∠ADE）＋（∠CDE＋∠C）＋∠B＝180°＋∠BED＋∠B＝180°＋180°＝360°．
数学乐园
12．如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：
∠ACB的度数是否随点A，B的移动而发生变化？
如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围．
（第12题）
【解】 ∠ACB的度数不随点A，B的移动发生变化．理由如下：
∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，
∴∠DBC＝
∠DBO，
∠BAC＝
∠BAO．
∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，
∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°．
∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，
∴
∠DBO＝
∠BAO＋∠ACB，
∴∠ACB＝
（∠DBO－∠BAO）＝
∠AOB＝45°．
1.3证明
（二）
A组
1．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数为（C）
A．120°B．90°
C．100°D．30°
（第1题））
（第2题））
2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线．若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A的度数为（C）
A．35°B．95°
C．85°D．75°
3．如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点，则a，b相交所成的锐角是（A）
A．60° B．30° C．70° D．8°
（第3题））
（第4题））
4．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（A）
A．30° B．40° C．60° D．70°
5．若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为（C）
A．4∶3∶2 B．3∶2∶4
C．5∶3∶1 D．3∶1∶5
6．如图，l1∥l2，则下列式子成立的是（B）
A．∠α＋∠β＋∠γ＝180°
B．∠α＋∠β－∠γ＝180°
C．∠β＋∠γ－∠α＝180°
D．∠α－∠β＋∠γ＝180°
（第6题））
（第7题））
7．如图，点A，C，F，B在同一条直线上，CD平分
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