小学数学简便运算和巧算.docx
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小学数学简便运算和巧算
小学数学简便运算和巧算
一、数的加减乘除有时可以运用运算定律、性质、或数量间的特殊关系进性较快的运算这就是简便运算。
（一）其方法有：
一：
利用运算定律、性质或法则。
（1）加法：
交换律，a+b=b+a,结合律，（a+b）+c=a+（b+c）.
（2）减法运算性质：
a-（b+c）=a-b-c,a-（b-c）=a-b+c,a-b-c=a-c-b,
（a+b）-c=a-c+b=b-c+a.
（3）:
乘法：
利用运算定律、性质或法则。
交换律，a×b=b×a,结合律，（a×b）×c=a×（b×c）,
分配率，（a+b）×c=a×c+b×c,（a-b）×c=a×c-b×c.
（4）除法运算性质：
a÷（b×c）=a÷b÷c,a÷（b÷c）=a÷b×c,a÷b÷c=a÷c÷b,
（a+b）÷c=a÷c+b÷c,（a-b）÷c=a÷c-b÷c.
前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。
其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。
后面数值的运算符号不变。
例1:
283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600（运用加法交换律和结合律）。
减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。
例2：
657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。
）
例3：
195-（95+24）=195-95-24=100-24=76（运用减法性质）
例4;150-（100-42）=150-100+42=50+42=92.（同上）
例5：
（0.75+125）×8=0.75×8+125×8=6+1000=1006.（运用乘法分配律））
例6：
（125-0.25）×8=125×8-0.25×8=1000-2=998.（同上）
例7：
（1.125-0.75）÷0.25=1.125÷0.25-0.75÷0.25=4.5-3=1.5。
（运用除法性质）
例8:
（450+81）÷9=450÷9+81÷9=50+9=59.（同上，相当乘法分配律）
例9：
375÷（125÷0.5）=375÷125*0.5=3*0.5=1.5.（运用除法性质）
例10：
4.2÷（0。
6×0.35）=4.2÷0.6÷0.35=7÷0.35=20.（同上）
例11：
12×125×0.25×8=（125×8）×（12×0.25）=1000×3=3000（运用乘法交换律和结合律）
例12:
（175+45+55+27）-75=175-75+（45+55）+27=100+100+27=227（运用加法性质和结合律）
例13：
（48×25×3）÷8=48÷8×25×3=6×25×3=450.（运用除法性质,相当加法性质）
（5）和、差、积、商不变的规律。
1：
和不变：
如果a+b=c,那么，（a+d）+（b-d）=c,
2:
差不变：
如果a-b=c,那么，（a+d）-（b+d）=c,（a-d）-（b-d）=c
3:
积不变：
如果a*b=c,那么,（a*d）*（b÷d）=c,
4:
商不变：
如果a÷b=c,那么，（a*d）÷（b*d）=c,（a÷d）÷（b÷d）=c.
例14：
3.48+0.98=（3.48-0.02）+（0.98+0.02）=3.46+1=4.46（和不变）
例15：
3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579（差不变）
例16：
74.6×6.4+7.46×36=7.46×64+7.46×36=7.46×（64+36）=7.46×100=746.（积不变和分配律）
例17:
12.25÷0.25=（12.25*4）÷（0.25*4）=49÷1=49.（商不变）。
二：
拆数法：
（1）凑整法，19999+1999+198+6=（19999+1）+（1999+1）+（198+2）+2=22202
（2）利用规律，7.5×2.3+1.9×2.5-2.5×0.4=7.5×（0.4+1.9）+1.9×2.5-2.5×0.4
=7.5×0.4+7.5×1.9+1.9×2.5-2.5×0.4=0.4×（7.5-2.5）+1.9×（7.5+2.5）=2+19=21.
2.1992×20052005-2005×19921992=1992×2005×（10000+1）-2005×1992×（10000+1）=0
三：
利用基准数：
2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21=10311
四：
改变顺序，重新组合。
（1）：
（215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+357+429+581-205-347-419-571
=（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40
（2）：
（378×5×25）×（4×0.8÷3.78）=378×5×25×4×0.8÷3.78=（378÷3.78）×（25×4）x（5×0.8）
=100x100x4=40000，
五：
1：
求等差连续自然数的和。
当加数个数为奇数时，有：
和=中间数x个数。
当加数个数为偶数时，有：
和=（首+尾）x个数的一半。
（1）:
3+6+9+12+15=9*5=45,
（2）:
1+2+3+4+……+10=（1+10）*10÷2=55.
2:
求分数串的和。
因为1/n-1/n+1=1/n（n+1）,1/n+1/n+1=n+（n+1）/[n（n+1）].所以：
（1）：
1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11
=1/6-1/11=5/66
（2）：
5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。
。
。
。
。
。
+41/400-43/460
=（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6）+（1/6+1/7）-（1/7+1/8）
。
。
。
。
。
。
+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/11
3：
变形约分法。
求：
（1.2+2.3+3.4+4.5）÷（12+23+34+45）的值。
因为分母各项是分子各项的10倍。
所以有：
原式=0.1
六：
设数法：
求（1+0.23+0.34）*（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）*（0.23+0.34）
的值。
设a=0.23+0.34.b=0.23+0.34+0.65.原式=（1+a）*b-（1+b）*a
=b+ab-a-ab=b-a=（0.23+0.34+0.65）-（0.23+0.34）=0.65.
（二）：
巧算的方法：
除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一般问题转化为特殊问题，以小见大，以少见多，以简驭繁。
从而达到巧算的目的。
一：
利用数的整除特征和某些特殊规律。
特殊问题来求解。
重在一个“巧”。
（1）：
一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13整除。
为什麽？
解;六位数abcabc=abc×1000+abc=abc×1001.1001=7×13×11.
六位数abcabc必能被7、11、13整除。
（2）：
六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数字几？
解：
因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各位数字和应能
被3整除，a只能是2。
所以a,b,c分别是2,0,0。
（3）：
化简：
（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）÷（888888×888888）
=8×8÷（888888×888888）=1÷（111111×111111）=1/12345654321.
（因为：
11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。
。
。
。
。
。
）
二：
估算法：
求：
a=1÷（1/1992+1/1993+1/1994+……+1/2003）的整数部分。
解：
用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。
假定除数部分各加数都是1/1992，则a=1÷（12/1992）=166。
若除数部分各加数都是1/2003，则a=1÷（12/2003）=166+11/12
所以它的整数部分是166。
三：
正难则反法。
直接求解困难时，换个角度从反面求解。
（1）：
除了本身，合数7854321的最大因数是多少？
一般想法是将其分解质因数求之，但
这个数很大，做起来很繁琐。
巧解：
先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。
因为该数各位数字和能被3
整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是：
7854321÷3=261807。
（2）：
某厂人数在90----110之间，做工间操排队时，站3列正好；站5列少2人；站
7列少4人，这厂有多少人？
解：
按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为：
该厂工人站
3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求这厂人数的问题。
即求比3，5,7的
最小公倍数多3的数是多少。
【3,5,7】=105，105+3=108人。
这厂有108人。
四：
慎密的逻辑推理：
（1）：
幼儿园的小朋友分饼干，每人分5块，则差27块。
每人分4块，正好分完。
这个
幼儿园有多少小朋友？
分了多少饼干？
解：
一般用方程法：
设有x个小朋友。
5x-4x=27,x=27.饼干为：
27×4=108块。
巧解：
每人分4块，正好分完，每人多分一块（5块）差27块，说明小朋友
为：
27÷1=27个，饼干为：
27×4=108块
（2）:
某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120盒，各卖出164盒后，乙剩下的是甲
剩下的3倍，求原来两台各有多少盒磁带？
一般用方程法：
设甲剩x台，乙剩3x台.（3x+164）-（x+164）=120,x=60,3x=180.
甲原有：
60+164=224盒，乙原有180+164=344盒。
推理巧解：
因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120盒，乙是甲的3倍，
这就转化为差倍问题了。
120÷（3-1）=60。
60×3=180.
甲原有：
60+164=224盒，乙原有：
180+164=344盒
（3）:
甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8时，乙骑到全案程6/7，这时两人相
距140米。
如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少？
解：
一般方法：
7/8:
6/7=49:
48.140÷（7/8-6/7）=7840，7840:
x=49:
48,x=7680
7840-7680=160米
推理巧解思路：
直接求甲到终点时比乙多走多少米。
甲走7/8时比乙多走140米
甲走1/8时比乙多走140/7=20米。
所以甲走8/8（全程）时，
比乙多走140+20=160米
（4）：
求分母为40以内所有自然数的真分数的和。
1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4）
+（1/5+2/5+3/5+4/5）+。
。
。
。
。
。
+39/40
解：
用通分法求和很繁琐。
通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到1、2
、3、4/。
。
。
。
。
。
39。
所以，（20×39）÷2=390即为所求。
（5）：
一正方形，当竖边减少20%，横边增加2米时，得到的长方形面积与原正方形
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