数学北师大版八年级上册《三角形内角和定理》.docx
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数学北师大版八年级上册《三角形内角和定理》
课题：
§7.5三角形内角和定理（第1课时）
【北师大版八年级上册】
宁德市古田县学校玉田中学姓名周枝鸿
【教学内容】
《义务教育教科书.数学》（北师大版）八年级上册第七单元第5节。
【教材分析】
1、知识层面：
这节课是在学生学习了三角形的概念及特征之后进行的。
它是一节定理证明教学课，主要学习三角形内角和定理及其证明，以及利用定理解决简单的角度计算问题。
教材中本节课的内容可以称之为核心内容，关键是它的地位举足轻重，在知识的学习中起到了承上启下的作用。
在这之前学生已经学过平行线的性质、平角定义，为这节课中三角形内角和定理的证明起了铺垫的作用，也为下节课学习三角形外角与后面学习的多边形内角和及外角和定理证明以及今后学习圆内圆心角与圆周角关系的证明打下良好基础。
2、能力层面：
通过对三角形内角和定理的证明，初步体会几何定理学习的方法，本节课首先让学生了解了作为证明基础的几条公理和定理内容，然后让学生在已准备的三角形中利用平角定义进行探索，进一步体会证明的必要性，掌握证明的基本步骤和书写格式，将抽象的证明和直观的探索联系起来，担负着训练学生学会分析证明思路任务，在培养学生逻辑推理能力方面有着非常重要的作用，符合《初中数学课程标准》，以便更好地教好基础知识，又能提高学生的探究兴趣.
3、思想层面：
本节课定理的证明过程为学生建立数学思想方法提供了一个发展提高的平台，其论证过程总体体现为化归思想。
本课的基本定位在于，通过三角形内角和定理证明的教学实践，感受几何证明的思想，体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用。
同时，引领学生体会数学中的重要思想——数形结合。
最后，进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想。
【学情分析】
经过以前的学习，学生已认识了平行线、平行线的性质和判定，具有一定的证明能力.由于初中生模仿能力强，思维往往依赖直观具体的形象.因此，根据本节课特点，结合教法与学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，采用实验探究、交流讨论、归纳应用的方法进行学习，让学生自动参与教学活动，引导学生用实验法，观察法得出“三角形三个内角和等于180度这个定理”.通过引导学生探究、讨论、启发作出辅助线，通过推理、证明得出三角形内角和定理.培养学生的参与能力，主动性和创造性.提供动手操作的机会让每个学生参与到学习中来是上好本节课的关键.
学情是教学的基础与依据，学情确定准确，能使教与学有机结合，从而实现教学目标，体现课改理念.
探究式学习方法是现代课堂教学重要的常见模式，依本节内容特点，由学生实际情况确定，学生在教师引导启发下，通过师生共同探究活动，让学生感受知识形成过程，从而实现“三维”教学目标.
【教学目标】
1、通过分析、对比，掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。
＿＿知识技能
2、通过对三角形内角和定理的证明，初步体会几何定理学习的方法。
＿＿数学能力
3、能独立思考，体会化归思想、数形结合思想、最优化思想。
＿＿数学思想
【设计意图】
1、通过探究实验，寻求辅助线的做法及证明方法的多样性，培养创新思维；
2、在与他人的合作与交流过程中，能较好地理解他人的思考方法
经历三角形内角和定理不同方法的推理证明过程，培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。
【教学重点、难点】
教学重点：
理解三角形内角和定理及其简单的应用.
教学难点：
三角形内角和定理的证明及辅助线的添加
【教学策略分析】
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教学的一切活动都以强调学生的主动性、积极性为出发点。
根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，我采用启发式、讨论式以及小组合作交流的教学方法，倡导学生主动参加教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，给学生以足够的时间和空间去猜想、探究，从而真正理解三角形的内角和结论。
由于这个定理的证明是课本第一次出现的几何证明，学生如何获得证明思路，如何合理添加辅助线解决问题是本节课教学中的难点。
本节课的教学重点是三角形内角和定理的证明，在探索定理证明的过程中重视在思路和方法上对学生的引导，帮助学生分析添加辅助线在三角形内角和定理证明中的实质作用。
在教学中引导学生探索证明的不同方法，提倡证法的多样性，并引导学生比较证法的异同，提高逻辑思维水平，为学生创造一次很好的思维开创机会。
【教学过程】
（一）、学生回忆旧知，引出课题
复习平行线的性质
如图1
（1），已知：
直线上有一点A，过点A作射线AM、AN，
1.若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于多少度，为什么？
2.若在AM上任取一点B，过点B作BC∥DE交AN于点C如图1
（2），则：
（1）∠2等于多少度？
为什么？
（2）∠3等于多少度？
为什么？
（3）∠EAN+∠1+∠2等于多少度？
为什么？
（4）∠1+∠2+∠3等于多少度？
为什么？
【设计意图】通过复习相交线与平行线的相关知识，为本节课学生顺利学习三角形内角和定理及证明做好准备。
（二）、自主探究
1、创设情境激发情趣：
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：
“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！
”“不行啊！
”老大说：
“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了……”“为什么？
”老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
【设计意图】通过卡通设计激发学生学习兴趣，回忆出小学学习的三角形三个内角的和等于
，那么你能验证三角形的内角和为
吗？
2、探究活动验证三角形三个内角的和等于
（1）、把准备好的三角形拿出来，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为
？
有几种拼法？
拼完后与小组成员交流，比一比看哪组的拼法最多。
（2）、用多媒体的实物展台展示学生的拼法：
（1）
（3）、运用多媒体动态展示剪纸拼图过程
【设计意图】探究实验一方面可以激发学生的兴趣，另一方面为证明
从“形”的方面提供思路。
从拼合的图形中学生不但能直观的看出辅助线与边的关系，还能寻找出严密的逻辑证明方法，从而为证明的引出打下伏笔。
同时，学生在合作交流的过程中开阔了思维，锻炼了动手能力、严密的推理能力以及语言表达能力，增强了合作意识。
（三）、合作提升，证明定理
已知：
如图2：
.
求证：
∠A+∠B+∠C=
【设计意图】教师引导学生对拼合的图形进行分析，得出辅助线的做法及证明的思路。
通过拼图知原三角形∠A与∠ABC之间的位置关系是内错角，数量关系是相等.根据“内错角相等，两直线平行”启发学生作辅助线：
过点A作直线EF∥BC,
说明辅助线在今后几何证明中的作用，它用虚线表示. 发挥学生的主体作用，培养学生的观察能力，分析归纳能力和语言表达能力.在这里，突破了这节课的难点，突出重点.教师指导学生从不同角度思考，展示证法的多样性。
通过定理的证明使学生感受几何证明的思想，体会辅助线添加方法的多样性以及在几何问题解决中的桥梁作用，渗透“最优化”思想。
师生活动:
学生自主探索，教师一边巡视，一边指学习有困难的学生，根据学生完成的情况，然后由学生展示自己的探索结果，教师补充。
并由表达完善的同学给予讲解证明过程，一部分较好的同学帮助指导小组的成员，促进学生学习的积极性。
证法一：
（课本证法，利用平角
）:
过点A作直线m∥BC,
∵
∥BC
∴ ∠1=∠B,∠2=∠C（两直线平行,内错角相等）
∵ ∠1,∠3,∠2组成平角
∴ ∠1+∠3+∠2=180?
（平角定义）
∴ ∠B+∠3+∠C=180?
（等量代换）
师：
这里可以看出，证明就是由题设（已知）出发,经过一步步的推理,最后推出结论（求证）正确的过程.
证法二：
（利用平角
）:
如图，延长BC到点D,过点C作CE∥AB
∵ CE∥AB
∴ ∠2=∠A,（两直线平行,内错角相等）
∠1=∠B.（两直线平行,同位角相等）
又根据平角定义,
∴ ∠1+∠2+∠3=180?
∴ ∠A+∠B+∠3=180?
（等量代换）
师：
刚才同学们采用搬动两个角使得三角形的三个内角化为成一个平角的方法来证明，请问还有哪一位同学的方法与刚才的方法不相同？
能否只搬动一个角？
证法三：
（利用两直线平行,同旁内角互补）
过顶点C作CD∥BA，则∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）．
∵CD∥BA
∠BCD+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补
即∠1+∠ACB+∠B＝180°）．
∴∠A+∠ACB+∠B＝180°
在这个过程中教师应重点关注以下几点：
1、学生证明时语言表述、角度的表示、辅助线的表示是否规范，教师应适时点拔并给予纠正
2、证明时因为所以要表达规范，学生易混淆，并在标注上证明的依据，这样会加深性质定理的应用。
（四）引导发展
师：
同学们前三种方法都是通过做平行线，利用平行线的性质，把角转移到三角形的一个顶点处。
只要把它们拼到一起成为平角就可以了，那么能不能转移到其它地方呢？
这部分的证明较难，采用师生合作全班交流的方式予以完成。
证法四：
（利用平角180?
）
过
内任一点p作ED∥AC,MN∥AB,FG∥B
∵DE∥AC，MN∥AB，FG∥BC
∴∠1=∠6=∠C
∠3=∠4=∠B
∠2=∠5=∠A
∵∠2+∠6+∠3=1800
∴∠A+∠B+∠C=1800
证法五：
（利用平角180?
）
在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB交AC于E，再过点D作DF∥AC交AB于F
∵DE∥AB，DF∥AC
∴∠EDC=∠B，
∠A=∠BFD=∠FDE，
∠FDB=∠C。
∵∠BDF+∠FDE+∠EDC=1800，
∴∠A+∠B+∠C=1800。
证法六：
（利用平角180?
）
在
外任取一点p，过点P作DM∥BC,GH∥AC,EF∥AB
∵DM∥BC，GH∥AC，EF∥AB
∴∠B=∠EPM
∠A=∠FPH
∠C=∠GPD=∠MPH
∵∠EPM+∠MPH+∠FPH=1800
∴∠ABC+∠C+∠BAC=1800
教师引导学生对证明方法进行对比、分析，达到优化的目的。
通过以上的问题，力图在更为丰富多样的证明中，让学生感受到这些证明方法的共性：
将角“搬”到一起；同时，也给学生一个学习方法的引导，遇到问题，要抓住问题的本质，尽可能寻找多样的解决问题方法，在多样方法中进一步感受解决问题方法的本质，让学生体会一题多证的思想，培养学生交流能力，对知识进行巩固.归纳总结，得出定理三角形的内角和为
（五）应用新知，典例分析
例1：
（1）在△ABC中，∠B=58°，∠C=60°，则∠A的度数等于多少？
（2）在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=？
一个三角形中，能不能有两个角是直角或钝角？
（3）在△ABC中，∠B=∠C=1/2∠A，则∠A的度数是多少？
（4）在△ABC中，DE//BC，∠A=50°，∠C=70°，求证：
∠ADE=60°
【设计意图】设计四道阶梯式题型，目的面向全体学生，抓住“双基”让每一位学生都有成就感，
（2）题与教学过程引入的卡通故事相呼应，加深学生对定理的理解）（3）（4）题是提高题，让学生在不同层次上发展，以此提高学生分析问题，解决问题的能力，并突破重点. 在教学中，应鼓励学生先自主解决，然后进行对比、交流。
解几何韪，第一步就是在图形中准确的标注信息，教学中应引导学生将题目中的信息清晰的标注到图形中，并进一步思考：
根据这些信息还可以得到哪些结论？
另外，标注的顺序，可能正反映解题的顺序。
教学中，注意引导学生体会这一点。
例2：
已知：
三角形三个内角的度数之比为1:
3:
5，求这三个内角的度数。
解：
设三个内角度数分别为：
x、3x、5x,
由三角形内角和为180°得
x+3x+5x=180°
解得 x=20
所以三个内角度数分别为
20°,60°,100°。
【设计意图】通过例2让学会用方程的思维解决几何，体现了转化的思想并从“数”的角度考察三角形内角和定理，培养学生的推理能力和有条理的表达能力。
同时这题学生可能会用小学的比例来解题，我们应当鼓励一题多解。
（六）巩固练习，深化提高
巩固练习
1、一个三角形最多有个直角，最多有个钝角。
2、在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，则∠C=。
3、若一个三角形的三个内角之比为2：
3：
4，则
这三个内角的度数为。
4:
在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度数。
【设计意图】以上是基础性习题，对三角形的内角和定理加以巩固
在解第4小题时应要求学生要有规范的解题格式。
深化提高
1、.如图，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5的度数。
2如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
【设计意图】：
第一题学会添加辅助线，并学会将角度转化到同一个三角形中，体现了转化的思想，第二题三角形内角和与平行线，方位角的综合应用，要求学生能规范的表达出来有一定的难度，体现了知识的融会贯通。
（七）课后反馈
1、今天我们学习了什么内容？
2、你有什么收获？
你是怎样得到这个知识的？
【设计意图】让学生明白本节课通过思考、探究、总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180°需转化为：
平角或两直线平行同旁内角和等于180°。
三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角。
（八） 作业布置
课本P180第2题，第3题，第4题
【设计意图】有利于学生对本节课的知识有一个系统的认识，加深对知识的理解和记忆.并学会规范的表达，养成良好的学习习惯。
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