小波分析的理解与进展.docx

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小波分析的理解与进展

小波分析的理解与进展

精仪学院1013202017祁瑾

摘要：

小波分析是傅立叶分析的继承和发展，它具有广泛的应用价值，通过对小波分析及应用这门课程的学习，本文叙述了对小波分析的理解，包括其产生的背景，发展历程及在应用领域的现状，并从几个方面概述了在不同领域的应用，最后展望了小波分析理论进一步的发展趋势。

关键词：

小波变换；图像小波；重力学；盲小波；高维正交双向小波

一、对小波分析理论的理解

小波（Wavelet）这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与Fourier变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。

小波分析是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，最近十几年得到了飞速的发展，作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域[1]。

从纯粹数学的角度看，它是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学等领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法，与Fourier变换、视窗Fourier变换相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展[2]。

通过这门课程的学习，本文主要叙述了对小波分析理论的理解，包括其产生背景及其在应用领域的现状，并从几个方面概述了在不同领域的应用，最后展望了小波分析研究的发展趋势。

二、小波分析产生及其发展历程

1910年AlfredHaar利用伸缩平移思想构造了第一个规范正交小波基，即Haar系。

在1938年，Littlewood-Paley提出了按二进制频率成分分组的理论，这便成为多尺度分析的思想雏形[3]。

70年代时Calderon表示定理和Hardy空间的原子分解及无条件基的大量研究为小波分析的诞生提供了理论上的准备。

在这个时期，法国地球物理学家J.Morlet和A.Grossman第一次把“小波”用来分析地震数据，并提出了小波分析的概念。

真正的小波热潮开始于1986年，Y.Meyer构造了第一个真正的小波基[4]。

在此之后，P.Lemarie和G.Battle也分别独立地构造具有指数衰减的光滑小波，其伸缩平移产生的函数系构成的标准正交基。

后来，S.Mallat和Y.Meyer提出了多分辨分析理论，统一了在此之前提出的各种具体的小波构造方法。

同时，S.Mallat还在多分辨分析的基础上，给出了离散小波的数值算法。

从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。

1993年，一份专门刊载小波理论和应用发展的国际刊物“AppliedandComputationalHarmonicAnalysis”在美国正式创刊，标志着小波分析理论研究进入到新的阶段。

在前一阶段的基础上，尤其是S.Mallat塔式算法的简便可行，使小波分析迅速波及科学研究和工程技术应用的几乎所有领域．近些年来，由于算子代数理论和空间理论的许多有用工具被应用于小波理论，尤其是小波分析中的框架，从而获得许多重要结论[5]，也使得小波理论研究得到了更快速的发展。

三、小波分析理论的理解

小波分析或小波变换（wavelettransform）是指用有限长或快速衰减的、称为母小波（motherwavelet）的振荡波形来表示信号。

该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。

小波变换分成两个大类：

离散小波变换（DWT）和连续小波转换（CWT）。

两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。

小波是函数空间

中满足下述条件的一个函数或者信号

这里

表示非零实数全体。

有时，

也称为小波母函数，前述条件成为“容许性条件”。

对于任意的实数对（a,b），其中参数a必须为非零实数，称如下形式的函数

为由小波母函数

生成的依赖于参数（a,b）的连续小波函数，简称为小波。

所有小波变换可以视为时域频域表示的形式，所以和调和分析相关。

所有实际有用的离散小波变换使用包含有限脉冲响应滤波器的滤波器段（filterbank）。

构成CWT的小波受海森堡的测不准原理制约[6]。

四、小波分析不同领域应用现状

小波分析的应用领域相当广泛：

数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；下面简要介绍几种小波分析的应用。

1、图像小波变换系统[7]

小波变换的基本思想是通过一个小波函数在时间上的平移和在尺度上的伸缩得到一个小波基，然后利用小波基去表示或逼近信号或函数，获得一种能自动适应各种频变成分的有效信号分析手段。

小波变换弥补了傅立叶变换不能描述随时间变化的频率特性的不足，特别适合于那些在不同时间窗内，具有不同频率特性，而且其应用目的是为了得到信号或图像的局部频谱信息而非整体信息的信号或图像处理问题。

由于小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特性，利用小波的多分辨率分解特性既可高效地描述图像的平坦区域，又可有效地表示图像信息的局部突变（图像边缘部分）。

因此小波变换在图像处理领域具有十分广阔的应用前景。

如果f（x）是一个离散序列，则对f（x）展开得到的系数称为f（x）的一维离散小波变换。

其中

称

为为缩放系数（也称近似系数），u为缩放函数，

，称

为小波系数（也称细节系数），v为小波函数。

尺寸为M×N图像f（x，y）的二维离散小波变换定义是：

其中

为缩放基函数

其中（i）={H，V，D}为平移基函数，u（x,y）=u（x）u（y）为缩放函数；

为水平方向细节函数；

为垂直方向细节函数；

为对角方向细节函数。

离散小波反变换是：

图像S的熵值，

其中x为图像的灰度值，P（x）是

灰度值x的概率密度。

小波分解原理说明：

小波分解过程如图1所示，图中S表示原始图像，A表示近似图像（低频图像），B表示细节图像（高频图像），下标表示分解的层数，分解的数学表示为

。

由于分解过程是迭代的，从理论上讲可以无限制地连续分解下去，但在实际中，分解可以进行到细节只包含单个样本为止。

因此在实际应用中，可根据图像的特征或者合适的标准来选择适当的分解层数。

2、小波分析在重力学中的应用[8]

小波分析是从信号处理中发展起来的，它能从信噪比低的信号中分离出本质的信号，并进行局部放大以便突出信号的特征，因而特别适合信号处理。

重力学中许多物理量都是随时间或空间变化的信号，如重力仪的测试数据、重力与重力场、固体潮、海洋地形、测高卫星轨道及雷达信号等等，故小波分析在重力学中有着广阔的应用天地。

2.1重力仪测试

重力仪测试的主要任务是：

测试重力仪的各项性能指标并提出合理的改正或补偿公式，必要时可为仪器进一步校正提供正确的数据依据。

仪器测试是一项具有试验性质的测量，其主要手段是在某一给定的设计环境下获取试验数据，通过加工分析数据以达到仪器测试的目的。

仪器读数的稳定性是重力仪性能的重要指标。

小波分析能用来检测仪器读数系统的不正常行为，小波分析的奇异点定位及奇异度大小的测定功能可分析仪器在读数系统上的时间或空间的不稳定时刻或位置，测定其不稳定程度如何。

用小波分析方法分析测试数据时，测试数据的长度不宜太短。

2.2卫星轨道分析

卫星信号都是随时间或卫星轨道空间变化的信号。

将卫星轨道摄动按小波级数展开可以得到卫星轨道的精细结构，可能会进一步改善轨道信号的滤波、轨道信号的空频结构分析、揭示各种保守的和非保守的摄动源的存在与影响规律、轨道改进及星历预报等效果或能力。

将引力场用小波级数展开，有可能进一步改善用卫星大地测量方法研究地球内部密度分布不均匀性、确定重力异常源在地球内部位置的能力，且有可能提高卫星轨道对地球引力场的敏感性，这无疑是令人舞的。

2.3其他

分析地球动力学参数（如岁差、极移和自转速度变化等）的小波结构有可能得到一些地球内部物质的物理性质，有可能进一步分析这些参数与地震、板块运动和其它地球物理现象之间可能存在的联系。

用小波分析高程时变与重力时变（非潮汐）有可能得到一些关于地下密度场与地壳构造运动的信息，从而有可能为用绝对重力方法建立区域精密高程基准提供可靠的数值依据。

3、盲小波算法在遥感图像去噪中的应用[9]

根据小波变换的相关理论，二进离散小波变换能将信号分解成不同尺度上的信号，并且频率和尺度之间可以找到准确的对应关系。

也就是说，一道信号可以看成是不同频率带上信号的叠加，在此提出了一种新的消除遥感信号噪声的算法，即首先将一组多通道的信号分解到不同的频率带上，并利用软阈值法对得到信息进行处理，然后将同频带的信号进行盲分离，提取出不同频率带上的有用信息，最后根据小波分析的方法将信号重构。

去噪方法的基本思想下（图2所示）：

先将遥感图像进行同深度的小波分解得到不同频率带上的多个信号，再利用小波阈值去噪法先去掉高频噪声，然后将相同频带上的所有信号进行盲信号分离并提出与源信号相关的信息，最后将所有与源信号相关的频带信息都提取出来之后利用mallat算法的重构算法将信号重构，最终得到的信号就是去噪之后的遥感信号。

这种去噪算法是将原始信号的每个频率上的信息的噪声进行压制或者是去掉的，这样更能有效的去掉噪声的干扰。

盲小波算法的设计如下所述。

对于一组观测的遥感信号：

做如下处理：

（1）根据采样定理将信号：

做

尺度空间上的近似得到

，选取适当的小波并对这组信号做N次小波分解：

其中,

（h=1,2,L,N）表示jkf在2j-m尺度空间下高频信号，

表示信号

jkf在2j-m尺度空间下的低频信号。

（2）对所有的小波系数进行软阈值法处理：

里面的所有系数进行软阈值法处理，得到新信号的估计

（3）利用盲信号分离技术对不同信号的同尺度上的信号进行盲分离

即对：

（i=1,2,L,N）进行盲分离，提取出与源信号相关的信号：

（i=1,2,L,N）（m

对

（i=1,2,L,N）进行盲分离，提取出与源信号相关的信号：

于是有：

（4）利用信号：

进行重构

，其中（i=1,2,L,m）

4、高维正交双向小波[10]

尺度加细方程在小波的构造和应用中起着非常重要的作用，具有非负面具的尺度函数在工程技术方面应用非常广泛。

近年来，由于小波理论的发展需要，人们将两尺度纯量小波推广到多变量紧支撑正交小波和正交多小波，并且在构造信号的分解与重构算法方面做了大量的工作。

在此介绍了将正交双向小波推广到了高维情形，给出了具有矩阵伸缩的高维正交双向小波的概念，研究了高维正交双向尺度函数的完全重构条件和频域表示，以及它的分解算法和重构算法。

全文约定以下记:

d为正整数，A为d×d伸缩矩阵，即它的元素是整数，且它的所有特征值的模大于1，约定|detA|=a，a＞1为正整数。

考虑d维平方。

可积函数空间：

对f（t），g（t）∈2（）dLR，f（t），g（t）的

内积为

，f（t）的Fourier变换是

其中

表示向量的数性积。

δ（l，k）为Kronecker函数:

当l=k时，δ（l,k）=1，否则为0;Z为整数集，f（x）表示f（x）的复共轭。

高维正交双向小波的分解与重构如下所述

则

，从而

可以分解为

的正交直和

4.1分解算法

设f（t）在分辨率

下的近似函数为

则它可以进一步分解为f（t）在分辨率

下的主要部分

和细节部分

，因此存在的问题是如何通过已知系数

和滤波器系数

如果

且已知正交双向小波的滤波器系数

，则有如下的分解公式:

λ=1，2，„，a－1）。

4.2重构算法：

上面所述分解算法是从系数

和滤波器系数

出发求

λ=1，2，„，a－1）

反过来，如果知道函数f（t）在分辨率

下的主要部分

和细节部分,

λ=1，2，„，a－1），也可以重构出函数f（t）在分辨率

下的主要部分，即重构过程是分解过程的逆过程。

如果已知函数f（t）在分辨率

下的主要部分

和细节部分,分别为

且已知滤波器系数

，则有重构公式:

：

将一元正交双向小波推广到高维情形，引入了具有矩阵伸缩的高维正交双向小波，给出了完全重构条件和双向尺度函数的频域表示，同时还得到了能量有限信号在不同分辨率下的分解公式和重构公式，将一元正交双向小波的结论进行了推广

5、生物医学信号处理中的应用

小波变换在生物医学信号处理中的应用生物医学应用领域的小波性质小波可分解为以下二部分：

重复信息（可进行连续小波变换[CWT]或小波帧变换）和非重复信息（正交、半正交或双正交基波信号）。

重复信号通常作为信号分析特征提取和处理的首选信息，因为其提供了真实的位移标量；对于非重复信号，在做一些类型的数据压缩或该正交分量为一种重要成分时，应用该种信号更符合要求，不过若仅仅从计算方面作考虑，这两种信号成分并没有必要划得很清楚。

用Malat快捷算法来分解小波基波在数量级点比重复分析要快得多，甚至比可用的最快算法还要快。

对于第一种成分研究，由于存在投入和收益的折衷问题，许多研究人员对非重复小波信息进行分解研究并取得了满意的成果。

五、小波分析研究以后的发展趋势

小波分析从诞生到现在虽然时间很短，但其发展是迅速的，尽管目前已得到了许多重要的结论和方法，但仍有许多问题有待进一步的研究[11]。

在小波的数学理论基础研究方面：

函数空间的刻画，基数插值小波，高维小波，向量小波，框架的研究还需进一步的深入；在应用研究方面：

针对具体实际问题，如何构造选择最优小波基及框架的系统方法一直是人们关注的问题之一。

仿真和实验对小波分析是重要的，且取得了丰硕的成果。

如何让仿真和实验结果走出实验室，向人们提供具有实用价值的小波分析技术，开发以小波作为工具的高水平分析软件将吸引更多学者来进行研究．小波应用的范围虽广,但真正取得极佳效果的领域并不多，人们也正在挖掘有前景的应用领域；小波分析与其它理论的结合，近来，一些学者将小波变换与神经网络、模糊数学、分形分析、遗传优化等方法相结合，形成的小波神经网络、小波模糊网络、小波分形等方法是分析非平稳，非线性问题的理想手段，并已取得了一些可喜的成果．小波分析本身是一门交叉学科，将小波分析与其他理论的综合运用是今后小波变换技术发展的必然趋势。

参考文献

[1]冉启文，谭立英等.小波分析与分数傅立叶变换及其应用[M].北京：

国防工业出版社，2002.1~5.[2]曹怀信，赵建伟.小波分析发展综述[J].咸阳师范学院学报，2002（17）:

6.[3]成礼智，王红霞等.小波理论与应用[M].北京：

科学出版社，2004.[4]ChuiC.K.,AnIntroductiontoWavelets,AcademicPress，1992.[5]崔锦泰小波分析导论[M].西安交通大学出版社，1995.[6]王建军.小波分析理论及应用[R].武汉大学，1992.

[7]陈金西.图像小波变换系统设计[J].长春师范学院学报（自然科学版），2012（31）:

12.

[8]关云鹏，张海龙.小波分析在重力学中的应用[J].西部资源.

[9]吴海洋,周仲礼等.盲小波算法在遥感图像去噪中的应用[J].软件，2012（33）:

1.

[10]毛一波.高维正交双向小波的分解与重构[J].济南大学学报（自然科学版），2012（26）:

2.

[11]李建华，李万社.小波理论发展及其应用[J].河西学院学报，2006（22）:

2.

小波分析及应用课程作业

学院：

精仪学院

学号：

1013202017

姓名：

祁瑾

日期：

2014年5月18