衡水金卷理科数学试题含答案.docx
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衡水金卷理科数学试题含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数
（一）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，，则（）
A.B.C.D.
2.设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）
A.B.C.D.
3.已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）
A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数
4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）
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A.B.C.D.
5.已知点为双曲线：
（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
6.已知函数则（）
A.B.C.D.
7.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）
A.B.C.D.
8.已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）
A.可由函数的图象向左平移个单位而得
B.可由函数的图象向右平移个单位而得
C.可由函数的图象向右平移个单位而得
D.可由函数的图象向右平移个单位而得
9.的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）
A.B.C.D.
10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）
A.B.C.D.
11.已知抛物线：
的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）
A.16B.20C.24D.32
12.若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，且，则__________．
14.已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．
15.在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．
16.如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．
（1）求及角的大小；
（2）求的值．
18.在四棱柱中，底面是正方形，且，．
（1）求证：
；
（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．
19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．
附：
①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；
②若，则，．
20.已知椭圆：
的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：
与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
21.已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；
（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；
（2）分别记直线：
，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若正数，满足，求证：
．
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.
2.设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.
3.已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）
A.是常数B.是常数C.是常数D.是常数
【答案】D
【解析】，为常数，故选D.
4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为，故选A.
5.已知点为双曲线：
（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由，解得点，又，则的中点坐标为，于是，，则，解得或（舍去），故选D.
【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的中点坐标为在双曲线上找出之间的关系，从而求出离心率．
6.已知函数则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D.
7.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算
，故选C.
8.已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）
A.可由函数的图象向左平移个单位而得
B.可由函数的图象向右平移个单位而得
C.可由函数的图象向右平移个单位而得
D.可由函数的图象向右平移个单位而得
【答案】B
【解析】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.
9.的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选A.
10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，故选C.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及外接球的表面积，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
11.已知抛物线：
的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）
A.16B.20C.24D.32
【答案】C
【解析】易知直线，的斜率存在，且不为零，设，直线的方程为，联立方程，得，，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，又（当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.
12.若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】是定义在区间内的级类周期函数，且，，当时，，故时，时，，而当时，，，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，故，依题意得，即实数的取值范围是，故选B.
【方法点睛】本题主要考查分段函数函数的最值、全称量词与存在量词的应用以及新定义问题.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：
（1）只需；
（2），只需；（3），只需；（4），，.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，且，则__________．
【答案】
【解析】,,故答案为.
14.已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】
，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15.在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为__________．
【答案】
【解析】设的公比为，则由等比数列的性质，知，则，由与的等差中项为，知，得，即，则，，故答案为.
16.如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为__________．
【答案】
【解析】，平面，设，则五棱锥的体积，，得或（舍去），当时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．
（1）求及角的大小；
（2）求的值．
【答案】
（1）
（2）
【解析】试题分析：
（1）由及正弦定理化简可得即，从而得．又，所以，由余弦定理得；
（2）由，得，所以．
试题解析：
（1）由及正弦定理得，
即，
在中，，所以．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
（2）由，得，
所以．
18.在四棱柱中，底面是正方形，且，．
（1）求证：
；
（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．
【答案】
（1）见解析
（2）
【解析】试题分析：
（1）连接，，，与的交点为，连接，则，由正方形的性质可得，从而得平面，，
又，所以；
（2）由勾股定理可得，由
（1）得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设（），求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.
试题解析：
（1）连接，，，
因为，，
所以和均为正三角形，
于是．
设与的交点为，连接，则，
又四边形是正方形，所以，
而，所以平面．
又平面，所以，
又，所以．
（2）由，及，知，
于是，从而，
结合，，得底面，
所以、、两两垂直．
如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
由，易求得．
设（），
则，即，
所以．
设平面的一个法向量为，
由得令，得，
设直线与平面所成角为，则
，
解得或（舍去），
所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．
【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：
（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；
（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．
附：
①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；
②若，则，．
【答案】
（1）
（2）（3）的分布列为
0
1
2
3
4
∴．
【解析】试题分析：
（1）直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；
（2）①∵服从正态分布，且，，由可得落在内的概率是，②的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.
试题解析：
（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为
．
（2）①∵服从正态分布，且，，
∴，
∴落在内的概率是．
②根据题意得，
；；；；．
∴的分布列为
0
1
2
3
4
∴．
20.已知椭圆：
的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：
与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在点，使得为定值，且定值为0．
【解析】试题分析：
（1）由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；
（2）由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果.
试题解析：
（1）由已知可得解得，，
所求椭圆方程为．
（2）由得，
则，解得或．
设，，
则，，
设存在点，则，，
所以．
要使为定值，只需与参数无关，
故，解得，
当时，．
综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．
21.已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；
（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【解析】试题分析：
（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；
（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．
试题解析：
（1），
当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立，
∴（其中），解得；
当函数在区间单调递减时，在区间上恒成立，
∴（其中），解得．
综上所述，实数的取值范围是．
（2）．
由，知在区间内恰有一个零点，
设该零点为，则在区间内不单调，
所以在区间内存在零点，
同理，在区间内存在零点，
所以在区间内恰有两个零点．
由
（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．
当时，在区间上单调递减，
故在内至多有一个零点，不合题意；
所以．
令，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
记的两个零点为，（），
因此，，必有，．
由，得，
所以，
又，，
所以．
综上所述，实数的取值范围为．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；
（2）分别记直线：
，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．
【答案】
（1），
（2），
【解析】试题分析：
（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式即可得圆的直角坐标方程；
（2）由
（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长.
试题解析：
（1）圆：
（是参数）消去参数，
得其普通方程为，
将，代入上式并化简，
得圆的极坐标方程，
由圆的极坐标方程，得．
将，，代入上式，
得圆的直角坐标方程为．
（2）由
（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，
，
∵圆与圆外切，
∴，解得，
即圆的极坐标方程为．
将代入，得，得；
将代入，得，得；
故．
【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：
①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只需利用转化即可.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若正数，满足，求证：
．
【答案】
（1）
（2）见解析
【解析】试题分析：
（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；
（2）先利用基本不等式成立的条件可得，所以.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...
试题解析：
（1）此不等式等价于或或
解得或或．
即不等式的解集为．
（2）∵，，，
，即，
当且仅当即时取等号．
∴，
当且仅当，即时，取等号．
∴．
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