小升初数学专项训练+典型例题分析工程篇教师版.docx
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小升初数学专项训练+典型例题分析工程篇教师版
小升初专项训练工程篇
一、小升初考试热点及命题方向
罗巴切夫斯基是俄国数学家。
曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：
某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用4天完成；若甲先做2天后，再和乙一起做，则共用7天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？
答案：
设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用2天。
另外，已知甲先做2天，然后与乙合作，7天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做一半），相差刚好2天，那么很明显，甲在7天中正好完成了工程的一半，而乙在5天中也完成了工程的一半。
这样，甲单独完成要14天，乙单独完成要10天。
工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1”综合。
还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。
二、2013年考点预测
13年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。
三、知识要点
在工程问题中，一般要出现三个量：
工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。
深刻理解公式的用法！
【基本公式】：
这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量；
工作总量÷工作时间＝工作效率；
工作总量÷工作效率＝工作时间。
为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。
【规律总结】：
不要求记忆，但要求能够理解和运用。
（1）工效提高了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的100/（100+a）。
时间缩短了a/（100+a）。
（2）工效降低了a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的100/（100-a）。
时间延长了a/（100-a）。
（3）工效提高了a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的a/（a+b）。
时间缩短了b/（a+b）。
（4）工效降低了a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的b/（b-a）。
时间延长了a/（b-a）。
（5）当出现甲工作了一段时间a，乙工作了一段时间b，则通常是把条件处理为甲乙和干了a（或b时间）后甲单干（a-b）（或乙单干（b-a）段时间）
四、典型例题解析
1涉及二者的工程问题
【例1】（★★）一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。
现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了4.5天才完成任务。
乙因病休息了几天？
【解】：
方法一：
4.5天甲完成了4.5÷6=3/4，乙完成了1/4，需要（1/4）÷（1/12）=3天，所以乙休息了4.5-3=1.5天。
方法二：
假设乙没休息，这样两人4.5天总共完成4.5×（
）=
，而总工作量只有1，所以多出来的
就是乙休息时间里做的，所以乙休息了
÷
=1.5天。
【答】：
乙休息了1.5天。
【例2】（★★）有240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。
乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40分钟才完成任务。
已知乙车间的效率是甲车间的3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？
【解】：
40分钟＝
小时，乙车间一共比甲车间少用了
小时，乙车间的效率是甲车间的3倍，乙比甲少工作4－
＝3
小时，但都完成了120个零件。
如果乙和甲的时间是一样的话，那么乙就会多完成240个零件，也就是说乙在3
小时内可做240个零件，所以乙每小时完成的零件个数为240÷3
＝72个，甲每小时完成72÷3＝24个零件。
【答】：
甲每小时能加工24个零件。
2涉及三者的工程问题
【例3】（★★★）一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。
现在甲、乙两队先合做8天，剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。
如果从开始就由丙队单独做，需要几天？
【解】：
方法一：
设工作总量为[24，30]＝120单位，则甲队每天完成240÷24=5单位，乙队每天完成240÷30=4单位。
前8天，甲、乙两队共完成（5＋4）×8＝72单位，则丙6天完成120－72＝48单位，丙每天完成48÷6＝8单位。
那么，如果从开始就让丙队单独做，需要120÷8＝15天。
方法二：
甲工作效率为1/24，乙的工作效率为1/30，这样甲乙合作8天完成的工作量为（1/24+1/30）×8=9/15，所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天，所以丙的工作效率为6/15÷6=1/15，所以丙要做15天。
【答】：
如果从开始让丙队独做，需要15天。
【例4】（★★★）某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成。
甲工程队工作3天后离开，同时乙、丙两个工程队加入，又工作了3天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？
【解】：
可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了3天，干完了工程的一半。
因为甲乙合作需要12天完成，所以甲乙两队合作3天共完成了全部工程的
。
可以算出丙队3天完成的工作量是
。
则剩下的一半工程，丙队需要独做6天才能完成。
【答】：
还需要6天。
【例5】（★★★）马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加工8个零件，共用了15天完成。
张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就来帮忙，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件，这样用了12天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？
【解】：
由题意知徒弟每天加工零件8＋4＝12个。
设工作总量为[12，15]＝60份，这样原来张、马二人的工效之和为60÷15=4份，现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为60÷12=5份，相差1份，表明1份为12个零件。
原来两位师傅每天一共加工零件12×4＝48个，马师傅又比张师傅每天多8个，则他每天加工（48＋8）÷2＝28个。
【答】：
马师傅每天加工28个零件。
【例6】（★★★）有甲、乙、丙三组工人，甲组4人的工作，乙组需要5人来完成；乙组的3人工作，丙组需要8人来完成。
一项工作，需要甲组13人来完成，乙组15人3天来完成。
如果让丙组10人去做，需要多少天来完成？
【解】：
设甲组每人每天的工作量为1，则乙组每人每天的工作量为4/5，丙组每人每天的工作量为：
4/5×3/8=3/10。
这项工作的总工作量为：
（1×13+4/5×15）×3=75
丙组10人需要干：
75÷3/10÷10=25（天）。
3涉及多者的工程问题
【例7】（★★）一项工程，45人可以若干天完成。
现在45人工作6天后，调走9人干其他工作。
这样，完成这项工程就比原来计划多用了4天。
原计划完成这项工程用多少天？
【解】：
前6天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要
天完成。
剩余的工作按照45人进行和实际的
人进行相差4天，表明36人最后4天的量相当于调走的那9个人
天的工作量。
则
为36×4÷9＝16天。
原计划用16＋4＝20天。
【答】：
原计划用20天完成。
【例8】（★★★）A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若四人干，需要8天完工；若A、E两人一起干，需要12天完工。
那么，若E一人单独干需要几天完工？
【解】：
可设工作总量为[6，8，12]＝24单位，则A、B、C、D四人每天完成4单位，B、C、D、E四人完成3单位，表明A每天比E多做1单位；由题意又可知A、E两人一天完成2单位，则A每天完成（2＋1）÷2＝1.5单位，E每天完成（2－1）÷2＝0.5单位。
那么，如果由E一人单独做需要24÷0.5＝48天。
【答】：
如果由E一人单独做需要48天。
【例9】（★★★★）某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。
那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？
【思路】：
我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和．因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的3倍．
【解】：
通过条件，我们有以下公式：
（一＋二＋三＋四＋五）×3=（一＋二＋三）+（一＋三＋五）+（二＋四＋五）×2+（一＋三＋四）．
所以，5支小队效率和为：
4水箱注水的工程问题
【例10】（★★★）水池安装A、B、C、D、E五根水管，有的专门放水，有的专门进水。
如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示：
A，B
C，D
E，A
D，E
B，C
2
6
10
3
15
如果选用一根水管注水，要尽快把空池注满，问应选用哪根水管？
答：
D。
提示：
由题中的表可以看出注水的速度的大小。
比较第一列与第三列得B＞E，比较第一列与第五列得A＞C，比较第二列与第五列得D＞B，比较第二列与第四列得E＞C，比较第三列与第四列得D＞A。
【例11】（★★★）有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和B注水，在相同时间内甲、乙两管注水量之比7：
5。
经过
时，A、B两池中已注入水之和恰好是一池水。
此后，甲管的注水速度提高25％，乙管的注水速度降低30％。
当甲管注满A池时，乙管还需多长时间注满B池？
【解】：
因为相同时间内甲、乙两管注水量之比7：
5不变，所以经过
恰好是一池水时，甲乙水管分别注入一池水的
、
。
如果注水速度不变，那么注满一池水甲、乙管分别还需
注水速度变化后，注满一池水甲、乙水管分别还需
所以，当甲水管注满A池时，乙水管注满B池还需
5较复杂的工程问题
【例12】（★★★★）一项工程，乙单独做需要17天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。
甲单独做这项工作要多少天完成？
来源：
人大附测试题
【解】：
如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同。
现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数。
于是可表示为：
竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，乙做17天相当于甲做8.5天。
【例13】（★★★★）有甲乙两个工程，现分别由A、B两个施工队完成。
在晴天A队完成工程需要8天，B队完成工程需要12天，在雨天，A施工队的工作效率下降60﹪，B施工队的工作效率下降20﹪。
最后两个施工队同时完成这两项工程，问施工的日子里雨天有多少天？
【解】：
10天。
晴天时，A施工队比B的工作效率高：
1/8－1/12=1/24
雨天时，B施工队比A的工作效率高：
1/12（1－20﹪）－1/8（1－60﹪）=1/60
要想两队同时完成，则由1/24：
1/60=5/2可知，必须是每2个晴天有5个雨天，而此时完成工程的：
1/8×2+1/8×0.4×5=1/2，故整个工程共有4个晴天，10个雨天。
【教师选讲】：
有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管。
进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。
后来有人打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已经注入了一些水）。
如果把8根进水管全部打开，需要3小时把池内的水全部排出；如果仅打开5根出水管，需要6小时把池内的水全部排光。
问要想在4.5小时内把池内的水全部排出，需要同时打开几根出水管？
【解】：
这道题是“牛吃草”问题与工程问题的综合。
设每根出水管1小时的排水量为单位“1”。
8根出水管3小时共排水24单位，5根出水管6小时共排除水30小时，表明进水管6－3＝3小时进水30－24＝6单位，则进水速度为每小时2单位，池中原有水24－2×3＝18或30－2×6＝18单位。
如果要在4.5小时内将水全部排出，池中原有的水加上这段时间内进水管注入的水一共为18＋2×4.5＝27单位，每小时排水27÷4.5＝6单位，则需要同时打开6根出水管。
【拓展】“牛吃草”问题
例题选讲：
有一片牧场，草每天匀速生长，如果牧民在此放24只羊，则6天吃完草；如果放牧21只羊，则8天吃完，每天吃草的量都是相等的．问：
1、如果放牧16只羊，则几天可以吃完牧草？
2、要是牧草永远吃不完，最多放几只羊？
【解】：
1、设草每天吃1份。
24只羊，则6天吃完草,说明6天长的草+原来的草共24×6=144;21只羊，8天吃完,说明8天长的草+原来的草共21×8=168份;所以两天长的草168-144=24份，即每天长12份,
这样原来草为144-6×12=72份，那么草地每天长的草够12头羊吃一天.如果放16头羊，那么12头够吃长出来的草，还剩下4头吃原来的72份，这样可以吃18天。
2、若要牧草永远吃不完,羊只能吃新长的草,所以最多只能放12头羊.
[补充试题]：
一块1500平方米的牧场上长满牧草，每天都匀速生长。
可供18头牛吃16天，或是供27头牛吃8天。
如果这片牧场有6000平方米，6天中最多可供几头牛吃？
【解】：
设每天吃1份，这样18头牛吃16天共18×16=288份，供27头牛吃8天共216份，多出来288-216=72份就是8天多长出来的，所以每天草长9份，这样原来草总共是288-9×16=144份，现在牧场有6000平方米，所以是原来的4倍，所以现在草有144×4=576，每天长36份，这样每天新长的草要36头牛吃，而原来的草要吃6天，要576÷6=96头牛，所以总共要132头牛。
【课外知识】
牛吃草问题
由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。
假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是负／天）。
如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料。
公司聘任了苦干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每大新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作。
问：
公司聘任了多少名打字员？
【分析】
解这类型题的关键需要了解打印材料的有关情况：
积压下的材料数量和每天增加的材料数量。
其解法和解决牛吃草问题类似。
【解】设每个打字员1天打字为1，则5名打字员24天打了5×24＝120，
9名打字员12天打了9×12＝108。
材料每天增加（120－108）÷（24－12）＝l。
原有材料120－24×1＝96。
40天实际材料总量96＋1×8＋（40－8）×1÷2＝120。
打字员人数120÷40＝3（人）。
答：
公司聘任了3名打字员。
【评注】
本例把聘任制问题迁移到牛吃草问题中，这种简便新颖的解法令人拍案叫绝！
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1）涉及二者的工程问题参见例1，2
2）涉及三者的工程问题参见例3，4，5，6
3）涉及多者的工程问题参见例7，8，9
4）水箱注水的工程问题参见例10，11
5）较为复杂的工程问题参见例12，13，
作业题
（注：
作业题--例题类型对照表，供参考）
题1，4，6，7—类型1；题2—类型4；题3，5—类型5，题8—类型2
1、（★★）某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3天才能完成，现在两队合作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成。
那么该工程限期是多少天？
【解】：
6天。
由题可知，甲2天的工作量相当于乙3天的工作量，所以工程期限为：
2×（3÷（3－2））=2×3=6天。
2．（★★）某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升。
现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完。
计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等。
那么水池中原有多少水？
【解】：
甲开始2小时放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25升水，所以乙管放水的时间为200÷25＝8小时，放水量为125×8＝1000升。
因此池中原有水3000升。
3．（★★★）张师傅加工540个零件。
他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务。
当他完成任务的45％时，恰好是上午9点。
张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？
【解】：
平均每分加工（8＋12）÷2＝10（件），加工540件共需54分。
由题意知，前27分加工了8×27＝216（件），540件的45％是243件，243－216＝27（件），这27件是以每分12件的速度加工的，所用时间为27÷12=
（分）。
到9点时加工所用的时间为27+
=
（分）=29分15秒。
所以开始时是8时30分45秒。
4.（★★★）甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的1/3时乙加工了50个零件，甲完成3/5时乙完成了一半。
问：
这批零件共多少个？
【解】：
360个。
提示：
甲完成3/5时乙完成了一半，效率比为6：
5。
所以乙加工50个零件的时候甲应该加工了60个。
占1/3。
所以甲的总任务180个。
这批零件为360个。
5.（★★★）李师傅加工一批零件，第一天加工了48个，第二天比第一天多加工25％，第三天比第二天多加工5％，三天共完成这批零件的95％。
这批零件共有多少个？
解：
48×[1＋125％×（1＋105％）]÷95％＝180（个）。
6.（★★★）单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天。
若甲先做若干天以后乙接着做，则共用26天时间，问：
甲独做了几天？
【解】：
如果26天都由乙来做，他能完成的工作量为
可是由于有甲参与其中，所以实际上26天完成了整个工作
甲做一天比乙做一天多做
所以甲做的天数为
天。
7.（★★）修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。
现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。
这段公路长多少米？
8.（★★★）有A，B两堆同样多的煤，如果只装运一堆煤，那么甲车需要20时，乙车需要24时，丙车需要30时。
现在甲车装运A堆煤，乙车装运B堆煤，丙车开始先装运A堆煤，中途转向装运B堆煤，三车同时开始，同时结束装完这两堆煤。
丙车装运A堆煤用了多少时间？
【解】：
以装运一堆煤的工作量为1，则三车共同完成的工作量
9、（★★★）某筑路队按照旧施工方法制定了施工计划，干了4天后改用新施工方法，由于新施工方法比旧施工方法效率高50％，因此比计划提前1天完工。
如果用旧施工方法干了200米后就改用新施工方法，那么可以比计划提前2天完工。
问：
原计划每天筑路多少米？
几天完工？
【解】：
新、旧施工方法的效率之比为150∶100，用旧施工方法干3天等于用新施工方法干2天。
又由于用旧施工方法干4天后改用新施工方法可提前1天，所以用旧施工方法干1天后改用新施工方法可提前2天。
再由题设条件知，用旧施工方法1天筑路200米，需7天完成。
名校真题测试卷7（工程篇）
时间：
15分钟满分5分姓名_________测试成绩_________
1（06年三帆中学考题）
原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.
2（05年首师附中考题）
一项工程，甲做10天乙20天完成，甲15天乙12也能完成。
现乙先做4天，问甲还要多少天完成？
3（05年人大附中考题）
一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。
如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。
那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？
4（06年西城四中考题）
如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池的水需要______小时。
5（01年北大附中考题）
一项工程，预计15个工人每天做4个小时，18天可以完成。
为了赶工期，增加3人并且每天工作时间增加1小时，可以提前_______天完工。
【附答案】
1【解】：
3人被抽走后，剩下15人都多植树1棵，这样每小时都总共多植树15棵树，因为还是按期完成任务，所以这15棵树肯定是3人原来要种的，所以原来每人要植树15÷3=5棵。
2【解】：
甲10天+乙20天=1；甲15天+乙12天=1，所以工作量：
甲10天+乙20天=甲15天+乙12天，等式两端消去相等的工作量得：
乙8天=甲5天，即乙工作8天的工作量让甲去做只要5天就能完成，那么整个工程全让甲做要15+12×
=22.5天。
现在乙了4天就相当于甲做了4×
=2.5天，所以甲还要做20天。
3【解】：
甲的工作效率=
，乙的工作效率=
，合作工效=
，甲乙交替工作相当于甲乙一起合作1小时，这样1÷
=
=8…
，所以合作了8小时，这样还剩下
就是甲做的，所以甲还要做
÷
=3
，所以两人总共作了8+8+
小时。
4【解】：
方法一：
（编者推荐用法）甲、乙、丙60分钟可以灌满，甲、乙两管80分钟可以灌满，乙、丙两根水管75分钟可以灌满；这样我们先找出60、80、75的最小公倍数，即1200，所以我们假设水池总共有1200份，这样甲、乙、丙每分钟灌1200÷60=20份，甲、乙每分钟灌1200÷80=15份，乙、丙每分钟灌1200÷75=16份，所以乙每分钟灌15+16-20=11份，这样乙单独灌水要1200÷11=
分钟。
方法二：
设工作效率求解，省略。
5【解】：
假设每个工人每小时做一份，这样总工程量=15×4×18=1080份，增加3人每天增加1小时，那么需要的时间=1080÷（15+3）÷（4+1）=12天，所以提前6天完成。
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