数学人教A选修23讲义第二章 随机变量及其分布231.docx
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数学人教A选修23讲义第二章随机变量及其分布231
§2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
学习目标
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量取值水平,解决一些相关的实际问题.
知识点一 离散型随机变量的均值
设有12个西瓜,其中4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg.
思考1 任取1个西瓜,用X表示这个西瓜的重量,试问X可以取哪些值?
答案 X=5,6,7.
思考2 X取上述值时,对应的概率分别是多少?
答案 P(X=5)==,P(X=6)==,P(X=7)=.
思考3 如何求每个西瓜的平均重量?
答案 =5×+6×+7×=.
梳理
(1)离散型随机变量的均值
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)均值的性质
若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,
①Y也是随机变量;
②E(aX+b)=aE(X)+b.
知识点二 两点分布、二项分布的均值
1.两点分布:
若X服从两点分布,则E(X)=p.
2.二项分布:
若X~B(n,p),则E(X)=np.
1.随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化.( × )
2.随机变量的均值与样本的平均值相同.( × )
3.若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4.( √ )
类型一 离散型随机变量的均值
例1 袋中有4个红球,3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值.
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
解 X的所有可能取值为5,6,7,8.X=5时,表示取出1个红球3个白球,此时P(X=5)==;
X=6时,表示取出2个红球2个白球,
此时P(X=6)==;
X=7时,表示取出3个红球1个白球,
此时P(X=7)==;
X=8时,表示取出4个红球,此时P(X=8)==.
所以X的分布列为
X
5
6
7
8
P
所以E(X)=5×+6×+7×+8×=.
反思与感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义,写出X所有可能的取值.
(2)求出X取每个值的概率P(X=k).
(3)写出X的分布列.
(4)利用均值的定义求E(X).
跟踪训练1 现有一个项目,对该项目每投资10万元,一年后利润是1.2万元,1.18万元,1.17万元的概率分别为,,,随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润,则X的均值为( )
A.1.18B.3.55
C.1.23D.2.38
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17,
P(X=1.2)=,P(X=1.18)=,P(X=1.17)=,
所以X的分布列为
X
1.2
1.18
1.17
P
所以E(X)=1.2×+1.18×+1.17×=1.18.
例2
(1)设X~B(40,p),且E(X)=16,则p等于( )
A.0.1B.0.2
C.0.3D.0.4
(2)一次单元测试由20个选择题组成,每个选择题有4个选项,其中仅有1个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分.一学生选对任意一题的概率为0.9,则该学生在这次测试中成绩的均值为________.
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案
(1)D
(2)90
解析
(1)∵E(X)=16,
∴40p=16,∴p=0.4.故选D.
(2)设该学生在这次测试中选对的题数为X,该学生在这次测试中成绩为Y,则X~B(20,0.9),Y=5X.
由二项分布的均值公式得E(X)=20×0.9=18.
由随机变量均值的性质得E(Y)=E(5X)=5×18=90.
反思与感悟
(1)常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率,则
①两点分布E(X)=p;
②二项分布E(X)=np.
熟练应用上述两公式可大大减少运算量,提高解题速度.
(2)两点分布与二项分布辨析
①相同点:
一次试验中要么发生要么不发生.
②不同点:
a.随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布中随机变量的取值X=0,1,2,…,n.
b.试验次数不同,两点分布一般只有一次试验;二项分布则进行n次试验.
跟踪训练2 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X的均值.
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
解 设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知p×(1-0.5)=0.3,解得p=0.6.
(1)设所求概率为P1,则P1=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
(1-0.5)×(1-0.6)=0.2.
∴X~B(100,0.2),∴E(X)=100×0.2=20.
∴X的均值是20.
类型二 离散型随机变量均值的性质
例3 已知随机变量X的分布列为:
X
-2
-1
0
1
2
P
m
若Y=-2X,则E(Y)=________.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案
解析 由随机变量分布列的性质,得
+++m+=1,解得m=,
∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X),
即E(Y)=-2×=.
引申探究
本例条件不变,若ξ=aX+3,且E(ξ)=-,求a的值.
解 E(ξ)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-,
所以a=15.
反思与感悟 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,关键由X的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(ξ).
跟踪训练3 已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,则m的值为( )
ξ
1
2
3
4
P
m
n
A.B.C.D.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 A
解析 因为η=12ξ+7,
则E(η)=12E(ξ)+7,
即E(η)=12+7=34.
所以2m+3n=,①
又+m+n+=1,
所以m+n=,②
由①②可解得m=.
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的均值E(X)等于( )
A.B.2
C.D.3
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 E(X)=1×+2×+3×=.
2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值为( )
A.0B.C.1D.-1
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 因为P(X=1)=,P(X=-1)=,
所以由均值的定义得E(X)=1×+(-1)×=0.
3.若p为非负实数,随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
-p
p
则E(ξ)的最大值为( )
A.1B.C.D.2
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 B
解析 由p≥0,-p≥0,得0≤p≤,则E(ξ)=p+1≤.故选B.
4.若随机变量ξ~B(n,0.6),且E(ξ)=3,则P(ξ=1)的值是( )
A.2×0.44B.2×0.45
C.3×0.44D.3×0.64
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案 C
解析 因为ξ~B(n,0.6),所以E(ξ)=n×0.6,
故有0.6n=3,解得n=5.
则P(ξ=1)=C×0.6×0.44=3×0.44.
5.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n(n=1,2,3,4)个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、均值;
(2)若η=aξ+4,E(η)=1,求a的值.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量均值与其他知识点的综合
解
(1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
ξ的均值E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=.
(2)E(η)=aE(ξ)+4=1,又E(ξ)=,
则a×+4=1,∴a=-2.
1.求离散型随机变量均值的步骤:
(1)确定离散型随机变量X的取值;
(2)写出分布列,并检查分布列的正确与否;
(3)根据公式写出均值.
2.若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则E(Y)=aE(X)+b;如果一个随机变量服从两点分布或二项分布,可直接利用公式计算均值.
一、选择题
1.设15000件产品中有1000件废品,从中抽取150件进行检查,则查得废品数X的均值为( )
A.20B.10C.5D.15
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 B
解析 废品率为,所以E(X)=150×=10.
2.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数ξ的均值是( )
A.0.6B.1C.3.5D.2
考点
题点
答案 C
解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
∴E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5.
3.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,则a+b等于( )
A.10B.5
C.D.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 D
解析 易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.①
又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,②
由①②,得a=,b=0.
4.设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η=2ξ+5,则E(η)等于( )
A.B.C.D.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 D
解析 E(ξ)=1×+2×+3×+4×