数学人教A选修23讲义第二章 随机变量及其分布231.docx
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数学人教A选修23讲义第二章随机变量及其分布231
§2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
学习目标
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一 离散型随机变量的均值
设有12个西瓜，其中4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg.
思考1 任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？
答案 X＝5,6,7.
思考2 X取上述值时，对应的概率分别是多少？
答案 P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝.
思考3 如何求每个西瓜的平均重量？
答案 ＝5×＋6×＋7×＝.
梳理
（1）离散型随机变量的均值
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，
①Y也是随机变量；
②E（aX＋b）＝aE（X）＋b.
知识点二 两点分布、二项分布的均值
1．两点分布：
若X服从两点分布，则E（X）＝p.
2．二项分布：
若X～B（n，p），则E（X）＝np.
1．随机变量X的均值E（X）是个变量，其随X的变化而变化．（ × ）
2．随机变量的均值与样本的平均值相同．（ × ）
3．若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4.（ √ ）
类型一 离散型随机变量的均值
例1 袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
解 X的所有可能取值为5,6,7,8.X＝5时，表示取出1个红球3个白球，此时P（X＝5）＝＝；
X＝6时，表示取出2个红球2个白球，
此时P（X＝6）＝＝；
X＝7时，表示取出3个红球1个白球，
此时P（X＝7）＝＝；
X＝8时，表示取出4个红球，此时P（X＝8）＝＝.
所以X的分布列为
X
5
6
7
8
P
所以E（X）＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
反思与感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤
（1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
（2）求出X取每个值的概率P（X＝k）．
（3）写出X的分布列．
（4）利用均值的定义求E（X）．
跟踪训练1 现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为（ ）
A．1.18B．3.55
C．1.23D．2.38
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，
P（X＝1.2）＝，P（X＝1.18）＝，P（X＝1.17）＝，
所以X的分布列为
X
1.2
1.18
1.17
P
所以E（X）＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
例2
（1）设X～B（40，p），且E（X）＝16，则p等于（ ）
A．0.1B．0.2
C．0.3D．0.4
（2）一次单元测试由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测试中成绩的均值为________．
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案
（1）D
（2）90
解析
（1）∵E（X）＝16，
∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.
（2）设该学生在这次测试中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则X～B（20,0.9），Y＝5X.
由二项分布的均值公式得E（X）＝20×0.9＝18.
由随机变量均值的性质得E（Y）＝E（5X）＝5×18＝90.
反思与感悟
（1）常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
①两点分布E（X）＝p；
②二项分布E（X）＝np.
熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．
（2）两点分布与二项分布辨析
①相同点：
一次试验中要么发生要么不发生．
②不同点：
a．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X＝0,1,2，…，n.
b．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
跟踪训练2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（2）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×（1－0.5）＝0.3，解得p＝0.6.
（1）设所求概率为P1，则P1＝1－（1－0.5）×（1－0.6）＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
（2）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
（1－0.5）×（1－0.6）＝0.2.
∴X～B（100,0.2），∴E（X）＝100×0.2＝20.
∴X的均值是20.
类型二 离散型随机变量均值的性质
例3 已知随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
若Y＝－2X，则E（Y）＝________.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案
解析 由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
∴E（X）＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X），
即E（Y）＝－2×＝.
引申探究
本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－，求a的值．
解 E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－a＋3＝－，
所以a＝15.
反思与感悟 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b求E（ξ）．也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（ξ）．
跟踪训练3 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为（ ）
ξ
1
2
3
4
P
m
n
A.B.C.D.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 A
解析 因为η＝12ξ＋7，
则E（η）＝12E（ξ）＋7，
即E（η）＝12＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，
所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的均值E（X）等于（ ）
A.B．2
C.D．3
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 E（X）＝1×＋2×＋3×＝.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（ ）
A．0B.C．1D．－1
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 A
解析 因为P（X＝1）＝，P（X＝－1）＝，
所以由均值的定义得E（X）＝1×＋（－1）×＝0.
3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
－p
p
则E（ξ）的最大值为（ ）
A．1B.C.D．2
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 B
解析 由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E（ξ）＝p＋1≤.故选B.
4．若随机变量ξ～B（n,0.6），且E（ξ）＝3，则P（ξ＝1）的值是（ ）
A．2×0.44B．2×0.45
C．3×0.44D．3×0.64
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案 C
解析 因为ξ～B（n,0.6），所以E（ξ）＝n×0.6，
故有0.6n＝3，解得n＝5.
则P（ξ＝1）＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n（n＝1,2,3,4）个．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
（1）求ξ的分布列、均值；
（2）若η＝aξ＋4，E（η）＝1，求a的值．
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量均值与其他知识点的综合
解
（1）ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
ξ的均值E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
（2）E（η）＝aE（ξ）＋4＝1，又E（ξ）＝，
则a×＋4＝1，∴a＝－2.
1．求离散型随机变量均值的步骤：
（1）确定离散型随机变量X的取值；
（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否；
（3）根据公式写出均值．
2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E（Y）＝aE（X）＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．
一、选择题
1．设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，则查得废品数X的均值为（ ）
A．20B．10C．5D．15
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 B
解析 废品率为，所以E（X）＝150×＝10.
2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值是（ ）
A．0.6B．1C．3.5D．2
考点
题点
答案 C
解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
∴E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.
3．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P（X＝k）＝ak＋b（k＝1,2,3,4），E（X）＝3，则a＋b等于（ ）
A．10B．5
C.D.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 D
解析 易知E（X）＝1×（a＋b）＋2×（2a＋b）＋3×（3a＋b）＋4×（4a＋b）＝3，即30a＋10b＝3.①
又（a＋b）＋（2a＋b）＋（3a＋b）＋（4a＋b）＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
4．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E（η）等于（ ）
A.B.C.D.
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 离散型随机变量的均值性质的应用
答案 D
解析 E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×
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