空间中的平行与垂直.docx
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空间中的平行与垂直
空间中的平行与垂直(文/理)
热点一 空间线面位置关系的判定
空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;
(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.
例1
(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2)关于空间两条直线a、b和平面α,下列命题正确的是( )
A.若a∥b,b⊂α,则a∥α
B.若a∥α,b⊂α,则a∥b
C.若a∥α,b∥α,则a∥b
D.若a⊥α,b⊥α,则a∥b
答案
(1)D
(2)D
解析
(1)若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,∴l1∥l2,这与l1和l2异面矛盾,∴l至少与l1,l2中的一条相交.
(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α,故A错;对于线面平行,这条直线与面内的直线的位置关系可以平行,也可以异面,故B错;平行于同一个平面的两条直线的位置关系:
平行、相交、异面都有可能,故C错;垂直于同一个平面的两条直线是平行的,故D正确,故选D.
思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.
跟踪演练1 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若m∥n,m∥β,则n∥β;④若m∥α,m⊥β,则α⊥β.
其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 ①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面”,所以①正确;②当m平行于两个相交平面α,β的交线l时,也有m∥α,m∥β,所以②错误;③若m∥n,m∥β,则n∥β或n⊂β,所以③错误;④平面α,β与直线m的关系如图所示,必有α⊥β,故④正确.
热点二 空间平行、垂直关系的证明
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.
例2 (·广东)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
(1)证明:
BC∥平面PDA;
(2)证明:
BC⊥PD;
(3)求点C到平面PDA的距离.
(1)证明 因为四边形ABCD是长方形,
所以BC∥AD,因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,
所以BC∥平面PDA.
(2)证明 因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD,因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,
所以BC⊥平面PDC,
因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.
(3)解 如图,取CD的中点E,连接AE和PE.
因为PD=PC,所以PE⊥CD,
在Rt△PED中,PE=
=
=
.
因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,
所以PE⊥平面ABCD.
由
(2)知:
BC⊥平面PDC,
由
(1)知:
BC∥AD,
所以AD⊥平面PDC,
因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.
设点C到平面PDA的距离为h,
因为V三棱锥C—PDA=V三棱锥P—ACD,
所以
S△PDA·h=
S△ACD·PE,
即h=
=
=
,
所以点C到平面PDA的距离是
.
思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:
(1)证明线线平行常用的方法:
一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.
(2)证明线线垂直常用的方法:
①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:
即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.
跟踪演练2 如图,在四棱锥P—ABCD中,AD∥BC,且BC=2AD,AD⊥CD,PB⊥CD,点E在棱PD上,且PE=2ED.
(1)求证:
平面PCD⊥平面PBC;
(2)求证:
PB∥平面AEC.
证明
(1)因为AD⊥CD,AD∥BC,
所以CD⊥BC,又PB⊥CD,PB∩BC=B,
PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以CD⊥平面PBC,又CD⊂平面PCD,
所以平面PCD⊥平面PBC.
(2)连接BD交AC于点O,连接OE.
因为AD∥BC,所以△ADO∽△CBO,
所以DO∶OB=AD∶BC=1∶2,又PE=2ED,
所以OE∥PB,又OE⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
热点三 平面图形的折叠问题
平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化,这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法.
例3 如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O,沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到如图的五棱锥P—ABFED,且PB=
.
(1)求证:
BD⊥PA;
(2)求四棱锥P—BFED的体积.
(1)证明 ∵点E,F分别是边CD,CE的中点,
∴BD∥EF.
∵菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC.
∴EF⊥AC.∴EF⊥AO,EF⊥PO,
∵AO⊂平面POA,PO⊂平面POA,AO∩PO=O,
∴EF⊥平面POA,∴BD⊥平面POA,
又PA⊂平面POA,∴BD⊥PA.
(2)解 设AO∩BD=H.连接BO,∵∠DAB=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴BD=4,BH=2,HA=2
,HO=PO=
,
在Rt△BHO中,BO=
=
,
在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面BFED,BO⊂平面BFED,
∴PO⊥平面BFED,
梯形BFED的面积S=
(EF+BD)·HO=3
,
∴四棱锥P—BFED的体积
V=
S·PO=
×3
×
=3.
思维升华
(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口;
(2)存在探索性问题可先假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论.
跟踪演练3 如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD将△ABC折成60°的二面角B—AD—C,如图2.
(1)证明:
平面ABD⊥平面BCD;
(2)设点E为BC的中点,BD=2,求异面直线AE和BD所成的角的大小.
(1)证明
(1)因为折起前AD是BC边上的高,
则当△ABD折起后,AD⊥CD,AD⊥BD,
又CD∩BD=D,则AD⊥平面BCD.
因为AD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD.
(2)解 如图,取CD的中点F,连接EF,则EF∥BD,
所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角.
连接AF,DE,由BD=2,则EF=1,AD=2
,CD=6,DF=3.
在Rt△ADF中,AF=
=
.
在△BCD中,由题设∠BDC=60°,
则BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC=28,
即BC=2
,从而BE=
BC=
,
cos∠CBD=
=-
,
在△BDE中,
DE2=BD2+BE2-2BD·BE·cos∠CBD=13,
在Rt△ADE中,AE=
=5.
在△AEF中,cos∠AEF=
=
.
因为两条异面直线所成的角为锐角或直角,
所以异面直线AE与BD所成的角的大小为60°.
1.(·课标全国甲)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
答案 ②③④
解析 当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确答案为②③④.
2.(·江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明
(1)由已知,DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AC,又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1,
∴DE∥A1C1,
且DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,
∴AA1⊥A1C1,
又∵A1B1⊥A1C1,且A1B1∩AA1=A1,
∴A1C1⊥平面ABB1A1,∵B1D⊂平面ABB1A1,
∴A1C1⊥B1D,
又∵A1F⊥B1D,且A1F∩A1C1=A1,
∴B1D⊥平面A1C1F,又∵B1D⊂平面B1DE,
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断,属基础题.
2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中等.
1.不重合的两条直线m,n分别在不重合的两个平面α,β内,下列为真命题的是( )
A.m⊥n⇒m⊥βB.m⊥n⇒α⊥β
C.α∥β⇒m∥βD.m∥n⇒α∥β
押题依据 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容,也是高考命题的热点.此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇,意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.
答案 C
解析 构造长方体,如图所示.
因为A1C1⊥AA1,A1C1⊂平面AA1C1C,AA1⊂平面AA1B1B,但A1C1与平面AA1B1B不垂直,平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直.所以选项A,B都是假命题.
CC1∥AA1,但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行,所以选项D为假命题.
“若两平面平行,则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题,故选C.
2.如图1,在正△ABC中,E,F分别是AB,AC边上的点,且BE=AF=2CF.点P为边BC上的点,将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面BEFC,连接A1B,A1P,EP,如图2所示.
(1)求证:
A1E⊥FP;
(2)若BP=BE,点K为棱A1F的中点,则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行,若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
押题依据 以平面图形的翻折为背景,探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强,可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力,预计将成为今年高考的命题形式.
(1)证明 在正△ABC中,取BE的中点D,连接DF,如图1.
图1
因为BE=AF=2CF,所以AF=AD,AE=DE,而∠A=60°,所以△ADF为正三角形.又AE=DE,所以EF⊥AD.
所以在图2中A1E⊥EF,
BE⊥EF.
故∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角.
因为平面A1EF⊥平面BEFC,
所以∠A1EB=90°,即A1E⊥EB.
因为EF∩EB=E,
所以A1E⊥平面BEFC.
因为FP⊂平面BEFC,所以A1E⊥FP.
(2)解 在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行.
理由如下:
如图1,在正△ABC中,因为BP=BE,BE=AF,所以BP=AF,所以FP∥AB,
所以FP∥BE.
如图2,取A1P的中点M,连接MK,
图2
因为点K为棱A1F的中点,
所以MK∥FP.
因为FP∥BE,所以MK∥BE.
因为MK⊄平面A1BE,BE⊂平面A1BE,
所以MK∥平面A1BE.
故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行.
A组 专题通关
1.(·湖北)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:
l1,l2是异面直线,q:
l1,l2不相交,则( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
答案 A
解析 由l1,l2是异面直线,可得l1,l2不相交,所以p⇒q;由l1,l2不相交,可得l1,l2是异面直线或l1∥l2,所以q⇏p.所以p是q的充分条件,但不是q的必要条件.故选A.
2.设a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,则“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的( )
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,l⊥a,l⊥b,a∥b,则l可以与平面α斜交,推不出l⊥α.若l⊥α,a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,则l⊥a,l⊥b.∴“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件,故选C.
3.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( )
A.若m⊂α,n∥α,则n∥m
B.若m⊂α,m⊥β,则α⊥β
C.若n⊥α,n⊥β,则α∥β
D.若m⊂α,n⊥α,则m⊥n
答案 A
解析 A中,若m⊂α,n∥α,则n∥m或m,n异面.故不正确;B,C,D均正确.故选A.
4.将正方体的纸盒展开如图,直线AB、CD在原正方体的位置关系是( )
A.平行B.垂直
C.相交成60°角D.异面且成60°角
答案 D
解析 如图,直线AB,CD异面.因为CE∥AB,所以∠ECD即为直线AB,CD所成的角,因为△CDE为等边三角形,故∠ECD=60°.
5.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,
又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,
所以CD⊥平面ABD,则CD⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC,
又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC,故选D.
6.如图,在空间四边形ABCD中,点M∈AB,点N∈AD,若
=
,则直线MN与平面BDC的位置关系是________.
答案 平行
解析 由
=
,得MN∥BD.
而BD⊂平面BDC,MN⊄平面BDC,
所以MN∥平面BDC.
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中正确的是________.(填序号)
①AC⊥BE;
②B1E∥平面ABCD;
③三棱锥E-ABC的体积为定值;
④直线B1E⊥直线BC1.
答案 ①②③
解析 因AC⊥平面BDD1B1,故①正确;因B1D1∥平面ABCD,故②正确;记正方体的体积为V,则VE-ABC=
V,为定值,故③正确;B1E与BC1不垂直,故④错误.
8.下列四个正方体图形中,点A,B为正方体的两个顶点,点M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).
答案 ①③
解析 对于①,注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行,因此直线AB平行于平面MNP;对于②,注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交,因此直线AB与平面MNP相交;对于③,注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行,且直线AB位于平面MNP外,因此直线AB与平面MNP平行;对于④,易知此时AB与平面MNP相交.综上所述,能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.
9.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点M,N,P分别为棱AB,BC,C1D1的中点.
求证:
(1)AP∥平面C1MN;
(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.
证明
(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
因为点M,P分别为棱AB,C1D1的中点,
所以AM=PC1.
又AM∥CD,PC1∥CD,故AM∥PC1,
所以四边形AMC1P为平行四边形.
从而AP∥C1M,
又AP⊄平面C1MN,C1M⊂平面C1MN,
所以AP∥平面C1MN.
(2)连接AC,在正方形ABCD中,AC⊥BD.
又点M,N分别为棱AB,BC的中点,故MN∥AC.
所以MN⊥BD.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,
又MN⊂平面ABCD,
所以DD1⊥MN,
而DD1∩DB=D,
DD1,DB⊂平面B1BDD1,
所以MN⊥平面B1BDD1,
又MN⊂平面C1MN,
所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.
10.(·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论;
(3)证明:
直线DF⊥平面BEG.
(1)解 点F,G,H的位置如图所示.
(2)解 平面BEG∥平面ACH,
证明如下:
因为ABCD—EFGH为正方体,
所以BC∥FG,BC=FG,
又FG∥EH,FG=EH,
所以BC∥EH,BC=EH,
于是BCHE为平行四边形.
所以BE∥CH,
又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,
所以BE∥平面ACH.
同理BG∥平面ACH,
又BE∩BG=B,
所以平面BEG∥平面ACH.
(3)证明 连接FH,BD.
因为ABCD—EFGH为正方体,
所以DH⊥平面EFGH.
因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.
又EG⊥FH,EG∩FH=O,所以EG⊥平面BFHD.
又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG,
同理DF⊥BG.又EG∩BG=G,
所以DF⊥平面BEG.
B组 能力提高
11.设a,b,c是空间中的三条直线,α,β是空间中的两个平面,则下列命题的逆命题不成立的是( )
A.当c⊥α时,若c⊥β,则α∥β
B.当b⊂α时,若b⊥β,则α⊥β
C.当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若b⊥c,则a⊥b
D.当b⊂α,且c⊄α时,若c∥α,则b∥c
答案 B
解析 B中命题的逆命题为:
当b⊂α时,若α⊥β,则b⊥β,是假命题.而A、C、D中命题的逆命题均为真命题,故选B.
12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,点D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
答案 a或2a
解析 由题意易知,B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.
易知Rt△CAF∽Rt△FA1D,
得
=
,即
=
,
整理得x2-3ax+2a2=0,
解得x=a或x=2a.
13.如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=
BC,将△ABE沿边BE折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,对翻折后的几何体有如下描述:
①AB与DE所成角的正切值是
;
②AB∥CE;
③VB—ACE是
a3;
④平面ABC⊥平面ADC.
其中正确的是________.(填写你认为正确的序号)
答案 ①③④
解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示:
∵AB=
a,BE=a,∴AE=
a.
∴AD=
=a,∴AC=
=
a.
在△ABC中,cos∠ABC=
=
=
.
∴sin∠ABC=
=
.
∴tan∠ABC=
=
.
∵BC∥DE,∴∠ABC是异面直线AB,DE所成的角,故①正确.
连接BD,CE,则CE⊥BD,又AD⊥平面BCDE,CE⊂平面BCDE,
∴CE⊥AD,又BD∩AD=D,BD⊂平面ABD,
AD⊂平面ABD,
∴CE⊥平面ABD,又AB⊂平面ABD,
∴CE⊥AB.故②错误.
三棱锥B—ACE的体积
V=
S△BCE·AD=
×
×a2×a=
,故③正确.
∵AD⊥平面BCDE,BC⊂平面BCDE,
∴BC⊥AD,又BC⊥CD,AD∩CD=D,
∴BC⊥平面ACD,∵BC⊂平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ACD.故答案为①③④.
14.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=a,∠ABC=60°,平面ACEF⊥平面ABCD,四边形ACEF是平行四边形,点M在线段EF上.
(1)求证:
BC⊥平面ACEF;
(2)当FM为何值时,AM∥平面BDE?
证明你的结论.
(1)证明 ∵在等腰梯形ABCD中,
AB∥CD,AD=DC=a,∠ABC=60°,
∴△ADC是等腰三角形,且∠BCD=∠ADC=120°,
∴∠DCA=∠DAC=30°,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC.
又∵平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥平面ACEF.
(2)解 当FM=
a时,AM∥平面BDE.
证明如下:
设AC∩BD=N,连接EN,如图.
∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=a,
∴AC=
a,AB=2a,∴CN∶NA=1∶2,
∵四边形ACEF是平行四边形,∴EF=AC=
a.
∵AM∥平面BDE,AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=NE,
∴AM∥NE,∴四边形ANEM为平行四边形,
∴FM∶ME=1∶2,
∴FM=
FE=
AC=
.
∴当FM=
a时,AM∥平面BDE.