八年级数学上册 第15章 分式教案 新版新人教版.docx

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八年级数学上册第15章分式教案新版新人教版

分式

课题：

15.1.1从分数到分式

教学目标：

知识与技能：

1、理解分式的概念，分式有意义或无意义的条件，分式的值为零的条件。

2、能熟练地求出分式有意义、无意义、分式的值为零时字母的取值范围。

3、能用分式表示数量关系，会判别分式何时有意义，分式的值为零的条件。

过程与方法：

经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会数学学习的一些常用方法：

类比转化、合情推理、抽象概括等。

情感、态度与价值观：

在学习过程中，通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会分式的模型思想。

教学重点：

分式的概念，分式有意义或无意义的条件，分式的值为零的条件.

教学难点：

熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

教学过程：

一、情景导入（2分钟）

1、复习提问：

什么是整式？

什么是单项式？

什么是多项式？

2．问题导入：

学生看P126引言的问题：

一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它以最大航速顺流航行90千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.

设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行90千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间为小时，所以，列方程为。

设疑：

你所填的两个代数式是整式吗？

今天我们再认识代数式家族中新的一员——分式。

二、自学指导（8分钟）

1、熟读课本第127——128页，让学生填写[思考]，学生自己依次填出：

，，，.

（完成思考内容:

式子有什么共同点?

，与分数有什么相同点和不同点？

小组合作后归纳小结，一人发言）

2.填空：

形如的形式，A,B表示两个整式，并且B中，那么式子叫做分式。

A叫，B叫做。

3、默读例题后思考：

由分数有意义和无意义的条件类比得出：

当分式有意义时，分母B0，；当分式无意义时，分母B0，；当分式的值为0时，分子A0且分母B0。

4、有理式的分类：

请类比有理数的分类为有理式分类：

设计意图：

1、师生共同总结分式的定义。

2、[看例1后提问]如果题目为：

当字母满足什么条件时，

分式无意义.你知道怎么解题吗？

这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受

到分式的有关知识.

注意事项：

1、分式是不同于整式的另一类有理式，且分母中含有字母是分式的特点。

2、学生提出分

式中的分母B≠0时，可以用分数的分母不为0解释。

即已知分式有意义，就可以知道分

式的分母不为零，再进一步解出字母的取值范围.

三、自学检测（7分钟）

1、判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？

（1）

（2）（3）（4）（5）（6）

2、下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？

（1）

（2）（3）（4）（5）

设计意图：

对整式、分式的正确区别：

分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。

注意事项：

分式有意义，分母不为零；

把题目改为：

当字母满足什么条件时，分式无意义.让学生更全面地感受到分式的有关知识。

四、合作探究（8分钟）

1.当x为何值时，下列分式值为0？

（1）

（2）2.当x为何值时分式的值为正？

3.当x为何值时下列分式无意义？

（1）

（2）

设计意图：

让学生明白分式的值为0，为正数、负数时必须同时满足的条件。

区别“或”与“且”的用法。

注意事项：

（1）分式的值为0时，必须同时满足两个条件：

分母不能为零；

分子为零，这样求出的x的解集中的公共部分，就是这类题目的解.

（2）分式的值为正数或负数时，分式的分子分母同号或异号。

五、课堂小结：

（2分钟）

问题1本节课你学习了什么？

问题2本节课你有哪些收获？

问题3通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？

设计意图：

以上三个问题引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，进一步进行反思。

归纳：

1、分式的概念：

一般地，形如的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含

有字母。

分式的分子和分母都是整式，分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。

2、分式有意义、无意义的条件，分式值为零的条件。

3、分式的值为正数，负数时必须同时满足的条件，“或”与“且”的正确使用。

六、课堂检测A组（基础限时练）（7分钟）

1、当a为任何实数时，下列式子一定有意义的是（）

A、B、C、D、

2、当x为何值时，下列分式值为0？

（1）

（2）

3、当x为何值时，下列分式无意义？

（1）

（2）（3）

B组（能力拓展练）（8分钟）

1、当x时分式的值为负？

当x时分式的值为正？

当X=时分式的值为1。

2、当X为何值时下列分式有意义？

（1）

（2）（3）

3、探究：

分式的值可能为0吗？

为什么？

设计意图：

1、分层检测的目的在于关注学生的个性差异，使每一个学生都不同程度的获得成功感，增强学生的自信心。

2、按照规定时间完成A组（基础限时练）。

学生独立完成作业，师生评价。

教师巡回查看学生答题情况，当堂批阅，统计差错及目标达成率。

B组依时间选做。

七、作业设计

必做题：

课本第133页习题15.1的第1、2、3、8、题。

选做题：

课本第134页13题。

教学反思：

课题：

15.1.2分式的基本性质

（1）---约分

教学目标：

知识与技能：

1.使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，能运用性质进行分式的恒等变形．

2.灵活运用分式基本性质将分式约分变形.

过程与方法：

经历分式基本性质的自我建构过程，学会数学学习的一些常用方法：

类比转化、联想推理、抽象概括等.

情感、态度与价值观：

在学习过程中，通过丰富的合作与交流数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造,培养学生的合作意识和团队精神。

教学重点：

灵活运用分式基本性质将分式变形。

教学难点：

能熟练地求出分子分母为多项式时的分式的约分.

教学过程：

一、情景导入（2分钟）

复习提问：

1.分式的定义？

2．回忆分数的基本性质、分数的约分及最简分数的定义。

问题导入：

1.观察下列等式的右边是怎样从左边得到的？

你能用分数的基本性质解释吗?

（1）等式=的右边是怎样从左边得到的？

（）

（2）等式=的右边是怎样从左边得到的？

（）

2.完成思考内容：

类比分数的基本性质，你能猜想分式的基本性质吗

二、自学指导（4分钟）

1．归纳填空：

分式的基本性质：

分式的分子与分母乘（或除以）的整式，分式的值。

即或（C≠0）其中A,B,C是整式。

[为什么注明C≠0?

]

2、默读例题2后思考：

（2）中的第二个等式为什么注明（b≠0）？

设计意图：

采用类比学习、引导启发的方法灵活应用分式的基本性质将分式变形.注意分式题目中的

隐含条件。

提醒学生应用分式基本性质对分式进行变形时需要注意的问题。

注意事项：

1．分子、分母应同时做乘，除法中的同一种变换；

2．所乘或除以的必须是同一个整式；

3．所乘或除以的整式应该不等于零.

三、自学检测（7分钟）

1、（口答）下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）=（c≠0）

（2）=（3）=（z≠0）

2、判断下列分式变形成立的是（）

（A）（B）；（C）；（D）

3、填空：

（1）⑵

4.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：

（1）；

（2）；（3）-；（4）

把学生分为八人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，

设计意图：

既提高学生对分式基本性质的认识，又通过师生归纳，进一步加深对分式基本性质的理解.

注意事项：

1．两个整式相除，同样遵循“同号得正，异号得负”的原则。

2、分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

四、合作探究（12分钟）

探究前给出思考：

例2

（1）等号右边的分子分母有公因式吗？

怎样由左边得出？

1、阅读课本131页内容和例题3.填空：

利用，将一个分式的分子和分母的

约去，这样的分式变形叫做分式的；经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式，像这样的分式叫做。

问：

分式约分的依据是什么？

2、自学例题3后小组合作归纳得出：

（1）确定最大公因式的方法：

①系数公因式，分子分母系数的。

②字母公因式，分子分母中相同字母的。

③多项式公因式，分子分母中相同多项式的。

（2）约分时，若分子或分母是多项式，先，再约去公因式，约分的最后结果

应是或者整式。

3、分式，，，中是最简分式的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4、约分：

（1）

（2）（3）（4）

设计意图：

由例2很自然的引出探究内容，考查分式的约分，最简分式的概念.

注意事项：

1、讲练结合、归纳指出：

约分要彻底,使分子、分母没有公因式.

2、约分时符号的变化，若分子分母含有符号时，先转化到分式本身的前面。

五、课堂小结：

（2分钟）问题1本节课你学习了什么？

问题2本节课你有哪些收获？

问题3通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？

设计意图：

以上三个问题引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，进一步进行反思。

归纳：

1、

（1）分式的基本性质。

（2）分式的基本性质是分式变形的依据，注意题目中的隐含条件．

2、约分时注意，特别是分子分母含有相反多项式因式，化为相同多项式时注意符号的改变。

六、课堂检测

A组（基础限时练）（7分钟）

1.下列各组中的两个分式是否相等？

为什么？

（1）和

（2）和（3）和

2.约分：

（1）

（2）

3.不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数为正数，

正确的答案是_________________.

B组（能力拓展练）（8分钟）

1、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中的各项系数都化为整数。

（1）

（2）

2、已知==，求的值。

3、先化简再求值：

，其中x=2,y=3.

设计意图：

1、基础训练加深对分式基本性质的理解，巩固分式基本性质的应用条件、

需要注意的问题，拓展训练强调运用分式基本性质对分式进行变形的条件，将分式的分

子、分母化成整系数形式，体现了数化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便

利条件．

七、作业设计

必做题：

课本第133页习题15.1的第4、5、6、题。

选做题：

1.如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值怎么变化？

教学反思：

课题：

15.1.2分式的基本性质--通分

教学目标

知识与技能：

（1）能够理解通分的意义，能找到几个分式的最简公分母；

（2）能够总结出分式最简公分母确定的方法，并能熟练掌握通分运算。

过程与方法：

（1）在分数通分的基础上比较学习分式的通分,并在此过程中渗透类比数学思想方法；

（2）在确定几个分式的最简公分母以及将分式通分的过程中渗透化归的数学思想方法，培养学生观察、类比、推理的能力，培养学生分析问题的能力。

情感、态度与价值观：

鼓励学生积极主动地参与教学的整个过程，激发学生求知欲望，让学生体验成功的喜悦，增加学生的学习兴趣和信心。

教学重点：

根据分式的基本性质，对分式进行变形及分式的通分运算，能正确地找出最简公分母。

教学难点：

能熟练地找出分子分母是多项式的分式的最简公分母，进行通分等运算。

教学过程：

一、情景导入（2分钟）

1、复习导入

（1）因式分解的方法都有哪些？

（2）回忆分式的基本性质和分数的通分，及最小公倍数的定义。

2、问题导入

（1）、同学们学习过分数的计算了，你们能不能快速的计算出下面的题：

+

=

（2）、同学们做的第一步骤名称叫什么？

提问：

什么是分数的通分？

其根据和关键是什么？

类比启发：

分数的通分大家会了，那么分式的通分呢？

（引入新课）尝试概括：

你能通过类比分数的通分归纳出分式通分的定义吗？

二、自学指导（8分钟）

1、

（1）的公分母是如何确定的？

（2）你能确定分数，，的公分母吗？

（3）若把上面分数中的3，5用x,y来代替，分式，，如何确定公分母呢？

（4）提问：

你能概括最简公分母的定义吗？

2、熟读课本第131—132页，完成思考内容：

类比分数的通分，你能想出如何对分式进行通分吗？

3.填空：

、利用分式的，将分子和分母适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的。

4、默读例题4后思考：

通分时怎么确定最简公分母呢？

设计意图：

1、“以学生为本”的思想为指导，采用类比推理、合作学习等方法交替使用，同学们讨论总结最简公分母的确定方法。

注意事项：

确定最简公分母的方法是：

①系数是各分母系数的最小公倍数。

②字母是各分母中所有字母因式的最高次幂。

③若分母有多项式，应先进行因式分解，再确定各分母的最简公分母。

三、自学检测（8分钟）

1、根据你的预习和理解找出：

（1）与的最简公分母是；

（2）与的最简公分母是；

（3）与最简公分母是；（4）与的最简公分母是；（5）和的最简公分母是；（6）的最简公分母是；

2、通分：

（1），

设计意图：

1、通过寻找分式的最简公分母，掌握分式通分的关键，再进一步出现分式的分母是多项式时的通分。

由浅入深的层层深入，兼顾了不同水平的学生。

四、合作探究（10分钟）

1、分式的最简公分母是　　　　；

2、通分：

，．

设计意图：

1、对于分母为多项式的分式通分如何找最简公分母。

2、在分母中出现相反的多项式因式时，如何确定它们的最简公分母；

注意事项：

先由学生尝试做，请两名学生学生上台板演。

其他学生分组讨论，由代表发言讨论结果。

运用基本性质通分时需要注意：

特别是分子分母含有相反多项式因式时，化为相同多项式时注意符号的改变。

五、课堂小结：

（2分钟）

问题1本节课你学习了什么？

问题2本节课你有哪些收获？

问题3通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？

设计意图：

以上三个问题引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，进一步进行反思。

归纳：

1、确定最简公分母的一般步骤：

（1）找系数：

如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。

（2）找字母：

凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式都要选取。

（3）找指数：

取分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式中指数最大的。

这样取出的因式的积，就是最简公分母。

2、通分的步骤是：

（1）将各个分式的分母分解因式；

（2）确定最简公分母；（3）原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母；

六、课堂检测

A组（基础限时练）（7分钟）

1、分式和的最简公分母是　　　；分式和的最简公分

母是　　　；　　　　分式和的最简公分母是　　　　.

2、通分：

B组（能力拓展练）（5分钟）

1、若，则M=________.2、已知-=2，求的值。

七、作业设计

必做题：

课本第132页练习2、第133页习题15.1的第7题。

选做题：

　课本134页９、１０题。

教学反思：

课题：

15.2.1分式的乘除

（1）

教学目标

知识与技能：

1、理解并掌握分式的乘除法则；

2、熟练运用法则进行运算，尤其是分子分母为多项式的运算，能解决与分式有关的实际问题。

过程与方法：

1.类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则；

2.在分式乘除法运算中体会因式分解的作用，发展有条理的思考和语言表达能力；

3.用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识。

情感、态度与价值观：

1.通过师生共同交流探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感；

2.培养学生的创新意识和应用数学的意识。

教学重点：

灵活运用分式的乘除法则进行分式的运算。

教学难点：

分子、分母是多项式的分式乘除法的运算.

教学过程：

一、情景导入（2分钟）

1、创设情境，引入新课

［师］上节课我们学习了分式的基本性质，发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？

下面我们看投影片：

2、复习引入、独立完成下列预习作业：

观察下列算式：

⑴⑵

回忆并请写出分数的乘除法法则：

乘法法则：

。

除法法则：

。

二、自学指导（8分钟）

自主学习：

1、出示135页本节引入的问题1：

求容积的高，问题2：

求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.

（由问题1，问题2引出分式的乘除法实际存在的意义，有时需要分式乘除的运算.）

2、类比得出分式的乘除法法则并填空：

分式的乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为，分母的积作为。

分式的除法法则：

分式除以分式，把除式的后，再与被除式。

3、阅读例1、例2后思考：

分式运算的结果应化为，还应注意在计算时先判断运算

4、符号，再计算结果.当分式的分子、分母是多项式时，应先把多项式，再进行。

设计意图：

1、分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似：

通过回顾旧知，引出新知，利用“数、式通性”“类比转化”的思想方法引发学生猜测，归纳分式乘除法运算法则，从而获得新知。

经历分式的乘除运算规律的发现过程，培养学生自主探索、自主学习、自主归纳知识的能力和运算能力。

注意事项：

强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.2、若分子分母含有多项式，先对多项式进行分解因式，再进行约分，答案是最简分式或整式。

三、自学检测（10分钟）

1、写出问题1问题2的计算结果。

2、计算下列各题。

（1）

（2）（3）－÷（4）-8xy

（5）（6）÷（3-y）

设计意图：

考查分式的乘除运算掌握的情况，检验自学的效果。

注意事项：

1、若是分式相除，先化为相乘，再将分子、分母相乘后约分，直至结果化为最简分式。

2、分子、分母是多项式时，先分解因式，再约分。

3、互为相反的多项式变为相同的多项式时，注意符号。

4、整式可以看作分母是1的分式。

四、合作探究（8分钟）

1、看例题3思考：

探究提示：

第一问：

哪一种小麦的单位面积产量最高？

分别是、，要判断这两个分式的值哪一个更大.根据问题的实际意义可知a>1,

因此2a>2,所以（a-1）=a-2a+1

面积产量高.第二问独立完成。

设计意图：

用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识.

注意事项：

学生分组讨论，教师参与指导，尤其是

（1）中分式大小的比较，学生理解困难，此时发挥学生的作用，采取“兵教兵”的方式，培养学生善于合作的意识，也让学生掌握了分式做比较的方法。

2、计算：

（1）

（2）

五、课堂小结：

（２分钟）

问题1本节课你学习了什么？

问题2本节课你有哪些收获？

问题3通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？

设计意图：

以上三个问题引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，进一步进行反思。

归纳：

1、分式的乘除法法则。

2、若分式的分子分母是几个因式的积，直接约去分子分母的最大公因式。

3、若分子分母含有多项式，先分解因式，再进行约分。

4、最后结果为最简分式或整式。

六、课堂检测

A组（基础限时练）（7分钟）

1.下列各式正确的是（）

（A）÷（a+b）=1（B）

（C）（D）-2ab÷=

2.若分式与互为倒数，则=______；

3、计算：

（1）-

（2）

B组（能力拓展练）（5分钟）

1、先化简再求值：

（其中x=-3,y=7）

2、给定下面一列分式：

，（其中）

（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？

（2）根据你发现的规律，试写出这列分式中的第7个分式。

3、

注意事项：

1、选择题错误的计算说出错误的原因，培养学生的语言表达能力。

2、学生板演，发现问题及时纠正，注意检查计算的每一步过程，培养认真细心的好习惯。

七、作业设计

必做题：

课本第146页练习2、第146页习题15.2的第1、2题。

选做题：

活动与探究：

已知a2+3a+1=0,求

（1）a+;

（2）a2+;

教学反思：

课题：

15、2、1分式的乘除

（2）

教学目标：

知识与技能：

1、理解并掌握分式的乘除法则，熟练地进行分式乘除法的混合运算；

2、理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算。

过程与方法：

1、在分式乘除法的混合运算过程中，发展有条理的思考和语言表达能力；

2、在学生的自主探究、合作交流中渗透类比转化的思想，使学生感受到探索的乐趣和成

功的体验。

情感、态度与价值观：

通过师生共同交流探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成

就感。

教学重点：

熟练地进行分式乘除法的混合运算和分式乘方的运算.

教学难点：

进行分式乘除法、乘方的混合运算时的运算符号问题、变号法则。

教学过程：

一、情景导入（2分钟）

复习导入：

1、复习回忆有理数的四则混合运算顺序和分式的乘除运算法则。

问题导入：

2、下列计算是否正确，如有错误，请改正：

设计意图：

作为反例引路，估计有学生发现问题纠正的，也有上当的，放开让学生展开辩驳，在否定、肯定中达成共识，认识到分式乘除法的混合运算，一定要注意运算顺序，同级运算要从左

到右进行。

二、自学指导（5分钟）

1、看138页例4.计算

2、试着计算：

（1）

（2）

设计意图：

尝试练习分式乘除法的混合运算，掌握运算顺序。

注意事项：

先统一成为乘法运算，若分子、分母中含有能因式分解的多项式，先分解因式，再进行约分，注意最后的计算结果是最简形式。

三、自学检测（7分钟）

1、计算：

⑴⑵

设计意图：

考查学生熟练掌握分式乘除法的混合运算，掌握运算顺序。

请两名学生进行板演，教师巡视，了解学生解题的情况，对学习有困难的学生给以个别指导；最后，在互动中得

出正确的解题步骤，以及解题中应注意的问题。

注意事项：

待学生尝试完成后，师生共同总结解题时应注意的问题：

（1）分式乘除法的混合运算，先统一成为乘法运算。

（2）分式的乘除运算跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果。

（3）遇到分子、分母为多项式时，先将多项式分解因式，以便约分。

（4）运算结果必须是最简分式或整式。

四、合作探究（12分钟）

1、复习乘方的概念，看138—139页内容，计算下列各题：

（1）==（）

（2）==（）

（3）==（）

[提问]由以上计算的结果你能推出（n为正整数）的结果吗？

填空：

分式乘方的法则：

分式乘方要。

2、自学例题5：

自学提示：

第

（1）题是分式的乘方运算，与整式的乘方一样，应先判断乘方结果的符号，再分别把分子、分母乘方；第

（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，强调运算顺序：

先做乘方，再做乘除.

注意事项：

分式的乘方运算，乘方的结果要注意符号；注意分式的乘除与乘方的混合运算顺序。

3、判断下列各式是否成立，并改正.

（1）=

（2）=（3）=（4）=

4、计算:

（1）

（2）（3）

设计意图：

考查分式的乘除与乘方的混合运算：

先做乘方，再做乘除。

教师尝试让学生自主探索，独立完成。

在互动中总结同学们练习和批改中发现的易出错的

地方。