初中数学人教版八年级上《112与三角形有关的角》同步练习组卷7.docx

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初中数学人教版八年级上《112与三角形有关的角》同步练习组卷7

人教新版八年级上学期《11.2与三角形有关的角》同步练习组卷

一．选择题（共5小题）

1．若△ABC的三个内角的比为2：

5：

3，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形

2．如图，CD、BE是△ABC的角平分线，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（　　）

A．90°B．115°C．125°D．130°

3．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：

∠2：

∠3=15：

3：

2，则∠α的度数为（　　）

A．80°B．60°C．90°D．45°

4．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　）

A．①②③B．①③④C．①④D．①②④

5．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，则△ABC一定是（　　）

A．等边三角形B．直角三角形

C．等腰三角形D．等腰直角三角形

二．填空题（共5小题）

6．已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=25°，则∠BAC的度数是　　

7．在△ABC中，∠C=

∠A=

∠B，则∠A=　　度．

8．在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为　　．

9．如图所示，△ABC中，∠A=66°，外角∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=　　．

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中共有　　个直角三角形．

三．解答题（共3小题）

11．如图，AD⊥BC，∠1=∠B，∠C=65°．求∠BAC的度数．

12．

（1）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=42°，求∠BOC的度数；

（2）把

（1）中∠A=42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．

13．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？

若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？

请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？

（不需证明）

（3）根据

（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

人教新版八年级上学期《11.2与三角形有关的角》2018年同步练习组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．若△ABC的三个内角的比为2：

5：

3，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形

【分析】设三角形的三个内角分别是5k，2k，3k．根据三角形的内角和是180°，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状．

【解答】解：

设三角形的三个内角分别是5k，2k，3k．

根据三角形的内角和定理，得5k+2k+3k=180°，

解得k=18°．

∴最大的内角为90°．

∴该三角形是直角三角形．

故选：

C．

【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形叫直角三角形．

2．如图，CD、BE是△ABC的角平分线，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（　　）

A．90°B．115°C．125°D．130°

【分析】由∠A=50°，可得∠ABC+∠ACB=130°，再根据CD、BE是△ABC的角平分线，即可得到∠PBC+∠PCB的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数．

【解答】解：

∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=130°，

又∵CD、BE是△ABC的角平分线，

∴∠PBC+∠PCB=

（∠ABC+∠ACB）=

×130°=65°，

∴∠BPC=180°﹣65°=115°．

故选：

B．

【点评】本题主要考角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：

三角形内角和是180°．

3．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：

∠2：

∠3=15：

3：

2，则∠α的度数为（　　）

A．80°B．60°C．90°D．45°

【分析】根据题意可得，若∠1：

∠2：

∠3=15：

3：

2，则∠1=135°，∠3=18°，根据折叠的性质，翻折变换的特点即可求解．

【解答】解：

∵∠1：

∠2：

∠3=15：

3：

2，

∴∠1=135°，∠3=18°，

∴∠DCA=18°，∠EAB=135°

∵∠PAC=360°﹣2∠1=90°

∴∠EPD=∠APC=180°﹣∠PAC﹣∠DCA=72°．

由翻折的性质可知∠E=∠3=18°．

∴∠α=180°﹣72°﹣18°=90°．

故选：

C．

【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

4．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　）

A．①②③B．①③④C．①④D．①②④

【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+

∠1，∠BOC=90°+∠2．

【解答】解：

∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，

∴∠DCE=

∠ACD，∠DBE=

∠ABC，

又∵∠DCE是△BCE的外角，

∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，

=

（∠ACD﹣∠ABC）

=

∠1，故①正确；

∵BO，CO分别平分∠ABC，

∴∠OBC=

ABC，∠OCB=

∠ACB，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）

=180°﹣

（∠ABC+∠ACB）

=180°﹣

（180°﹣∠1）

=90°+

∠1，故②、③错误；

∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，

∴∠ACO=

∠ACB，∠ACE=

ACD，

∴∠OCE=

（∠ACB+∠ACD）=

×180°=90°，

∵∠BOC是△COE的外角，

∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；

故选：

C．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．

5．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，则△ABC一定是（　　）

A．等边三角形B．直角三角形

C．等腰三角形D．等腰直角三角形

【分析】求出∠B=∠C即可，利用角平分线得到角相等，由平行线得到角相等，再进行等量代换可得△ABC是等腰三角形．

【解答】证明：

∵AE平分∠DAC，

∴∠1=∠2，

∵AE∥BC，

∴∠1=∠C，∠B=∠2，

∴∠B=∠C，

即AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

故选：

C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及判定定理及平行线的性质、角平分线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．

二．填空题（共5小题）

6．已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=25°，则∠BAC的度数是　95°或45°　

【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．

【解答】解：

分两种情况：

①如图1，当高AD在△ABC的内部时，

∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+25°=95°；

②如图2，当高AD在△ABC的外部时，

∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=70°﹣25°=45°，

综上所述，∠BAC的度数为95°或45°．

故答案为：

95°或45°．

【点评】本题考查了三角形的高线以及三角形内角和定理，难点在于要分情况讨论．

7．在△ABC中，∠C=

∠A=

∠B，则∠A=　60　度．

【分析】设∠C=α，则∠B=3α，∠A=2α，依据∠A+∠B+∠C=180°，可得2α+3α+α=180°，进而得出α=30°，由此可得∠A=2×30°=60°．

【解答】解：

设∠C=α，则∠B=3α，∠A=2α，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴2α+3α+α=180°，

∴α=30°，

∴∠A=2×30°=60°，

故答案为：

60．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：

三角形内角和是180°．

8．在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为　32°　．

【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可．

【解答】解：

∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=90°，

∴∠B+∠C=90°，

∴∠B=90°﹣∠C，

∵∠B=2∠C﹣6°，

∴90°﹣∠C=2∠C﹣6°，

∴∠C=32°．

故答案为：

32°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键．

9．如图所示，△ABC中，∠A=66°，外角∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC=　57°　．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出∠OBC、∠OCB，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

【解答】解：

∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，

∴∠1=

（∠A+∠ACB），∠2=

（∠A+∠ABC），

∴∠1+∠2=

（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A），

∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，

∴∠1+∠2=90°+

∠A，

在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°+

∠A）=90°﹣

∠A，

∵∠A=66°，

∴∠BOC=90°﹣

×66°=90°﹣33°=57°．

故答案为：

57°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质与定理并利用好整体思想是解题的关键．

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中共有　5　个直角三角形．

【分析】根据直角三角形的判定定理判定进行分析即可．直角三角形有△ADE；△ADC；△ABC；△CDE；△CBD．

【解答】解：

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，

∴△ABC，△ADC，△CDB，△CED，△AED为直角三角形，

∴共有五个直角三角形．

【点评】本题考查了直角三角形的判定定理：

有一个角是直角的三角形是直角三角形．

三．解答题（共3小题）

11．如图，AD⊥BC，∠1=∠B，∠C=65°．求∠BAC的度数．

【分析】先根据AD⊥BC可知∠ADB=∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC=∠1+∠DAC即可得出结论．

【解答】解：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴∠DAC=90°﹣65°=25°，∠1=∠B=45°，

∴∠BAC=∠1+∠DAC=45°+25°=70°．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．

12．

（1）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=42°，求∠BOC的度数；

（2）把

（1）中∠A=42°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系．

【分析】

（1）先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，求出∠1+∠2的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可；

（2）根据角平分线的定义可得∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，然后用∠A表示出∠1+∠2，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得出结论．

【解答】解：

（1）∵∠A=42°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=138°，

∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，

∴∠1+∠2=

（∠ABC+∠ACB）=

×138°=69°，

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣69°=111°；

（2）∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，

∴∠1+∠2=

（∠ABC+∠ACB）=

（180°﹣∠A），

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣

（180°﹣∠A）=90°+

∠A．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．

13．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？

若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？

请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？

（不需证明）

（3）根据

（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【分析】

（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；

（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；

（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．

【解答】解：

（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D

延长BP交CD于点E，

∵AB∥CD

∴∠B=∠BED

又∵∠BPD=∠BED+∠D，

∴∠BPD=∠B+∠D．

（2）结论：

∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．

（3）连接EG并延长，

根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，

又∵∠AGB=∠CGF，

在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

【点评】本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．