18版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件理.docx
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18版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件理
第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件理
1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件;
(3)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;
(4)如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件;
(5)如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件.
【知识拓展】
从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;
(6)若A
B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( × )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × )
(3)若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题.( √ )
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(5)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(6)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
1.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
答案 A
解析 对于A,其逆命题是若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x>y.
2.(教材改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )
A.若xC.若x>y,则x2>y2D.若x≥y,则x2≥y2
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.
3.(教材改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由(x-1)(x+2)=0可得x=1或x=-2,
∵{1}{1,-2},
∴“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的必要不充分条件.
4.(2016·北京)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
5.在下列三个结论中,正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
①若A是B的必要不充分条件,则綈B也是綈A的必要不充分条件;
②“
”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件;
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件.
答案 ①②
解析 易知①②正确.对于③,若x=-1,则x2=1,充分性不成立,故③错误.
题型一 命题及其关系
例1 (2016·宿州模拟)下列命题:
①“若a2②“全等三角形面积相等”的逆命题;
③“若a>1,则ax2-2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题;
④“若
x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题.
其中正确的命题是( )
A.③④B.①③C.①②D.②④
答案 A
解析 对于①,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题;对于③,当a>1时,Δ=-12a<0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确.故选A.
思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
(1)命题“若x>0,则x2>0”的否命题是( )
A.若x>0,则x2≤0
B.若x2>0,则x>0
C.若x≤0,则x2≤0
D.若x2≤0,则x≤0
(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( )
A.不拥有的人们会幸福
B.幸福的人们不都拥有
C.拥有的人们不幸福
D.不拥有的人们不幸福
答案
(1)C
(2)D
题型二 充分必要条件的判定
例2
(1)(2015·四川)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知条件p:
x>1或x<-3,条件q:
5x-6>x2,则綈p是綈q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
(1)B
(2)A
解析
(1)∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时loga33b>3,例如当a=
,b=
时,loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga3(2)由5x-6>x2,得2即q:
2所以q⇒p,p⇏q,所以綈p⇒綈q,綈q⇏綈p,
所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A.
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:
根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.
(1)(2016·四川)设p:
实数x,y满足x>1且y>1,q:
实数x,y满足x+y>2,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知p:
x+y≠-2,q:
x,y不都是-1,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案
(1)A
(2)A
解析
(1)当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p⇒q,
当x+y>2时,可以x=-1,y=4,即q⇏p,
故p是q的充分不必要条件.
(2)(等价法)因为p:
x+y≠-2,q:
x≠-1或y≠-1,
所以綈p:
x+y=-2,綈q:
x=-1且y=-1,
因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q,
所以綈q是綈p的充分不必要条件,
即p是q的充分不必要条件,故选A.
题型三 充分必要条件的应用
例3 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].
引申探究
1.本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴
方程组无解,
即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
2.本例条件不变,若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解 由例题知P={x|-2≤x≤10},
∵綈P是綈S的必要不充分条件,
∴P⇒S且S⇏P.
∴[-2,10][1-m,1+m].
∴
或
∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).
思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
(1)已知命题p:
a≤x≤a+1,命题q:
x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________________.
(2)已知条件p:
2x2-3x+1≤0,条件q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
答案
(1)(0,3)
(2)[0,
]
解析
(1)令M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<0}={x|0∵p是q的充分不必要条件,∴MN,
∴
解得0(2)命题p为{x|
≤x≤1},
命题q为{x|a≤x≤a+1}.
綈p对应的集合A={x|x>1或x<
},
綈q对应的集合B={x|x>a+1或x∵綈p是綈q的必要不充分条件,
∴
或
∴0≤a≤
.故答案为[0,
].
1.等价转化思想在充要条件中的应用
典例
(1)(2016·湖北七校联考)已知p,q是两个命题,那么“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知条件p:
x2+2x-3>0;条件q:
x>a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,1]
C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]
思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题,在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.
解析
(1)因为“p∧q是真命题”等价于“p,q都为真命题”,且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”,所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件.
(2)由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.
∴{x|x>a}{x|x<-3或x>1},∴a≥1.
答案
(1)A
(2)A
1.命题“若α=
,则tanα=1”的否命题是( )
A.若α≠
,则tanα≠1
B.若α=
,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα≠1,则α=
答案 A
2.命题“如果x≥a2