18 2特殊的平行四边形.docx

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182特殊的平行四边形

18.2特殊的平行四边形

第1课时

教学内容

矩形．

教学目标

1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．

3.渗透运动联系、从量变到质变的观点．

教学重点

矩形的性质．

教学难点

矩形的性质的灵活应用．

教学过程

一、导入新课

我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形，堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．

二、新课教学

1.矩形

教师向学生展示下列图形，引导学生知道矩形也是常见的图形．门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形的形象．

活动：

制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形（特殊之处就在于一个角是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）．

如下图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．

思考：

因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

2.矩形的性质

既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．

继续演示教具，当它变成矩形时，学生容易看到它的四个角都是直角；它的对角线也相等（写出这两个结论），指出观察出来的结论不能做为定理，需要证明．引导学生利用平行四边形角的性质证明得出．

矩形性质定理1：

矩形的四个角都是直角．

矩形性质定理2：

矩形的对角线相等．

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

思考：

如下图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？

根据矩形的性质，我们知道，BO＝

BD＝

AC.由此，我们得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

（这实际上是

△的一个重要性质，即

△斜边中点到三顶点的距离相等，它在求线段长或线段部分关系时经常用到）

例如下图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形对角线的长．

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC与BD相等且互相平分．

∴OA＝OB．

又∠AOB＝60°，

∴△OAB是等边三角形．

∴OA＝AB＝4．

∴AC＝BD＝2OA＝8．

注意：

教师要强调这种计算题的解题格式，防止学生离开几何元素之间的关系，而单纯进行代数计算．

三、课堂练习

教材第53页练习1、2、3．

四、布置作业

习题18.2第1题．

第2课时

教学内容

矩形．

教学目标

1.掌握矩形的判定定理．

2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．

教学重点

矩形的判定．

教学难点

矩形的判定及性质的综合应用．

教学过程

一、导入新课

什么叫做平行四边形？

什么叫做矩形？

矩形有哪些性质？

矩形与平行四边形有什么共同之处？

有什么不同之处？

矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法．

二、新课教学

1.矩形判定定理

思考1：

我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？

思考2：

前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立吗？

即四个角都是直角的四边形是矩形吗？

进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？

教师引导学生分析、猜测，得出矩形的判定定理．

矩形判定定理1：

对角线相等的平行四边形是矩形．

矩形判定定理2：

有三个角是直角的四边形是矩形．

教师可指导学生证明这两个判定定理．完成后，归纳矩形的判定方法：

（1）一个角是直角的平行四边形．

（2）对角线相等的平行四边形．

（3）有三个角是直角的四边形．

2.矩形判定方法的实际应用

工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这就应用了矩形的判定定理．

除教材中所举外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．

3.矩形知识的综合应用

例如下图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°．求∠OAB的度数．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC＝

AC，OB＝OD＝

BD．

又OA＝OD，

∴AC＝BD．

∴四边形ABCD是矩形．

∴∠DAB＝90°．

又∠OAD＝50°，

∴∠OAB＝40°．

三、课堂小结

1.矩形的判定方法l、2都是有两个条件：

①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等．

判定方法3的两个条件是：

①是四边形，②有三个直角．

2.要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理．

四、布置作业

习题18.2第2、3题．

第3课时

教学内容

菱形．

教学目标

1.掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

2.理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．

3.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

4.根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

教学重点

菱形的性质1、2．

教学难点

菱形的性质及菱形知识的综合应用．

教学过程

一、导入新课

我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：

（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

二、新课教学

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

强调：

菱形是平行四边形；一组邻边相等．

让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子：

一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架等都有菱形的形象．

思考：

因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并证明（请你自己完成证明），菱形还有以下性质：

菱形的四条边都相等；

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

如下图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形．

菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．

三、实例探究

例1如下图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．

解：

∵花坛ABCD的形状是菱形，

∴AC⊥BD，∠ABO＝

∠ABC＝

×60°＝30°.

在Rt△OAB中，

　AO＝

AB＝

×20＝10，

∴花坛的两条小路长

AC＝2AO＝20（m），

BD＝2BO＝20

≈34.64（m）．

花坛的面积

S菱形ABCD＝4×S△OAB＝

AC·BD＝200

≈346.4（m2）．

例2 已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：

∠AFD＝∠CBE．

证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴CB＝CD，CA平分∠BCD．

∴∠BCE＝∠DCE．又CE＝CE，

∴△BCE≌△COB（SAS）．

∴∠CBE＝∠CDE．

∵在菱形ABCD中，AB∥CD，

∴∠AFD＝∠FDC，

∴∠AFD＝∠CBE．

四、课堂练习

教材第57页练习1、2．

五、布置作业

习题18.2第5题．

第4课时

教学内容

菱形．

教学目标

1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；

2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

3.经历菱形判定条件的探索过程，发展学生的合情推理意识和表述能力．

教学重点

菱形的两个判定方法．

教学难点

判定方法的证明方法及运用．

教学过程

一、导入新课

复习

（1）菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形；

（2）菱形的性质1：

菱形的四条边都相等；性质2：

菱形的对角线互相平分，并且每一条对角线平分一组对角．

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？

（判定：

2个条件）

过渡：

要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其他的判定方法吗？

二、新课教学

与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立．

思考：

我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

例1如下图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3．求证：

□ABCD是菱形．

证明：

∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，

∴AB2＝AO2＋BO2．

∴△OAB是直角三角形，

AC⊥BD．

∴□ABCD是菱形．

例2已知：

如图□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥FC．

∴∠1＝∠2．

又∠AOE＝∠COF，AO＝CO，

∴△AOE≌△COF．

∴EO＝FO．

∴四边形AFCE是平行四边形．

又EF⊥AC，

∴□AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．

思考：

我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的另一个判定定理：

四条边相等的四边形是菱形．

三、课堂练习

1.教材第58页练习1、2、3．

2.做一做：

设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15cm，宽为4cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．　

四、布置作业

习题18.2第6、10题．

第5课时

教学内容

正方形．

教学目标

1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．

3.通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

教学重点

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

教学难点

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

教学过程

一、导入新课

教师指导学生用一张长方形的纸片折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．

过渡：

什么样的四边形是正方形？

二、新课教学

1.正方形定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

教师指出：

正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意思：

（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）；

（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）．

2．正方形的性质

正方形有什么性质？

教师引导学生思考、讨论．

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

思考：

正方形有哪些性质？

如何判定一个四边形是正方形？

把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其中的一些结论．

三、实例探究

例1求证：

正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：

如下图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.

求证：

△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO．

∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且

△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：

OE＝OF．

分析：

要证明OE＝OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO＝∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又DG⊥AE，

∴∠EAO+∠AEO＝∠EDG+∠AEO＝90°．

∴∠EAO＝∠FDO．

∴△AEO≌△DFO．

∴OE＝OF．

四、课堂练习

教材第59页练习1、2．

五、布置作业

习题18.2第12、13题．

第6课时

教学内容

平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关知识．

教学目标

1.进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及相互联系．

2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定．

3.会把各种平行四边形的相关知识进行结构化整理．

教学重点

知识体系的结构化整理和选择性应用．

教学难点

知识体系的结构化整理和选择性应用．

教学过程

一、问题导入

本章学习了哪些特殊的四边形？

是按照什么次序来学习的？

你能说出四边形之间的关系吗？

二、复习整理

1.教师有条理地引导学生回顾概念，并建立概念之间的联系，绘制图表进行总结、归纳．

2.各种四边形的性质与判定

（1）平行四边形

性质：

对边分别平行且相等，对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形．

判定：

具有两组对边分别平行，两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；其中一种的四边形为平行四边形．

（2）矩形

性质：

对边分别平行且相等；四个角全为直角；对角线互相平分且相等；是中心对称也是轴对称图形．

判定：

有三个直角的四边形；有一个直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形为矩形．

（3）菱形

性质：

对边平行，四边相等；对角相等；对角线互相垂直平分，且对角线平分对角，既是中心对称图形也是轴对称图形．

判定：

四边相等的四边形；一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形．

（4）正方形

性质：

对边平行，四边相等；四个角是直角；对角线互相垂直平分且相等，且对角线平分对角；既是中心对称图形也是轴对称图形．

判定：

有一个直角一组邻边相等的平行四边形，一组邻边相等的矩形；一个角为直角的菱形为正方形．

三、综合应用

例1如下图，已知：

在矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，∠BDF＝15°.

求：

∠DOC和∠COF的度数.

分析：

四边形ABCD是矩形，那么它的两条对角线把它分成了四个直角三角形和四个等腰三角形.

由已知DF平分∠ADC可得∠ADF＝∠CDF＝45°，∴∠ODC＝45°＋15°＝60°．又∵有OC＝OD，∴△ODC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∠DCO＝60°，∴∠ACB＝30°．在△DCF中，∠FDC＝45°，∠DCF＝90°，故CF＝DC＝OC，∴△OCF是以∠OCB为顶角的等腰三角形，因此可求得∠COF的度数．

解答：

∵DF平分直角∠ADC，

∴∠BDF＝15°，

∴∠ODC＝45°＋15°＝60°．

又∵OC＝OD（矩形的对角线相等且互相平分），

∴△ODC是等边三角形.

∴∠DOC＝60°，OC＝OD＝DC，∠DCO＝60°，

又∵在Rt△DFC中，∠DFC＋∠FDC＝90°，

∴∠DFC＝45°，

∴CF＝DC＝OC，

∴

．

∴∠DOC＝60°，∠COF＝75°．

说明：

矩形的对角线总可以将矩形化为直角三角形和等腰三角形，解题时要注意利用这些特殊三角形的性质.

例2如图，正方形ABCD中，AC、BD交于O点，点M是AC上任意一点，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足为E、F．

求证：

△OEF是等腰直角三角形．

分析：

要证明△OEF是等腰直角三角形，只要证OE＝OF，∠EOF＝90°．观察图可知，OE、OF在△OAE和△OBF中，所以只要证明△OAE≌△OBF即可．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∠CAB＝∠CBD＝45°．

∵ME⊥AB，MF⊥BC，

∴∠MEB＝∠EBF＝∠BFM＝90°．

∴四边形MEBF是矩形，

∴ME＝BF．

∵ME⊥AB，

∴∠AEM＝90°．

∵∠BAC＝45°，

∴∠AME＝∠BAC＝45°．

∴AE＝ME，AE＝BF．

在△AEO和△BFO中，AE＝BF，∠BAC＝∠DBC，OA＝OB．

∴△AEO≌△BFO．

∴OE＝OF，∠AOE＝∠BOF．

∵∠EOF＝∠BOE＋∠BOF＝∠BOE＋∠AOE＝∠AOB＝90°，

∴△OEF是等腰直角三角形．

四、布置作业

习题18.2第15、16题．