届辽宁省丹东市高三第一次模拟考试理科数学试题Word版含答案.docx
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届辽宁省丹东市高三第一次模拟考试理科数学试题Word版含答案
2021届辽宁省丹东市高三第一次模拟考试
理科数学试题
本试卷共23题,共150分,共4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0<x<2},则A∪B=
A.(-1,2)
B.(0,1)
C.(-1,0)
D.(1,2)
2.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),c=(1,1),若(a+λb)⊥c,则实数λ=
A.-
B.
C.-3
D.3
3.设a∈R,若(a+i)(1-ai)>0,则a=
A.-1
B.1
C.0
D.±1
4.中国古代数学著作《九章算术》有如下问题:
“今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺”,则该女子第六日所织
A.5尺
B.6尺
C.7尺
D.8尺
5.右图是相关变量x,y的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,分析一:
由图中所有数据,得到线性回归方程y=b1x+a1,相关系数为r1.分析二:
剔除点P,由剩下数据得到线性回归直线方程y=b2x+a2,相关系数为r2.那么
A.0<r1<r2<1
B.0<r2<r1<1
C.-1<r1<r2<0
D.-1<r2<r1<0
6.已知双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-a)2+y2=
相切,则C的离心率为
A.
B.
C.2
D.
7.已知实数a,b,c分别满足2a=-a,log0.5b=b,log2c=
,那么
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<c<a
D.c<b<a
8.已知m,n是两条异面直线,直线l与m,n都垂直,则下列说法正确的是
A.若l⊂平面α,则m⊥α
B.若l⊥平面α,则m∥α,n∥α
C.存在平面α,使得l⊥α,m⊂α,n∥α
D.存在平面α,使得l∥α,m⊥α,n⊥α
9.已知函数f(x)=
,那么
A.f(x)有极小值,也有大极值
B.f(x)有极小值,没有极大值
C.f(x)有极大值,没有极小值
D.f(x)没有极值
10.已知ω>0,在函数f(x)=
sinωx和函数g(x)=
cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2
,下述四个结论:
①ω=
②f(x)在[0,2π]有3个零点
③任意连续三个交点组成的三角形面积为8
④为了得到y=g(x)的图象,只需把y=f(x)的图象向左平移1个单位
其中所有正确结论的编号是
A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
11.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,点M在C上,点N在l上,直线MN经过点P(0,4),若MF⊥NF,则|MF|=
A.8
B.10
C.12
D.16
12.已知函数f(x)=1-x+ln
,则满足f(x-1)+f(x)<2的x的取值范围是
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(-1,
)
D.(
,1)
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(1+x2)(1+x)4展开式中含x5项的系数为________.
14.曲线y=ln(1+x)在x=0处的切线方程为y=f(x),则f(x)=_______.因此当|x|很小时,ln(1+x)≈f(x),由于ln2≈0.6931,于是
≈
=
.某金融业的一种长期理财品种采用复利方式计算利息,年利率为3.3%,按照上面的近似等式,
本息和不小于本金的2倍,至少需经过________年.
(本题第一空2分,第二空3分)
15.已知Sn为数列{an}的前n项和,若S2=3,an+1=Sn+1,则Sn=________.
16.四面体ABCD中,AB⊥AC,AC⊥CD,AB与CD所成角为30º,AB=5,AC=4,
CD=3,则四面体ABCD的体积为________.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱
AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四边形,
AB=1,AC=
,BC=2.
(1)求证:
AC⊥平面AA1B1B;
(2)若BB1=BC,求二面角A-C1D-C的余弦值.
18.(12分)
已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个条件:
①A=
;②cosB=-
;③a=7;④b=3.
其中a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边.
(1)请指出这三个条件,并说明理由;
(2)求cos(C-
)的值.
19.(12分)
某省高考实行新方案,将采用“3+1+2”模式,其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史科目中选择一科;“2”为再选科目,考生可在化学、生物、地理、思想政治4个科目中选择两科.
某学校高一年级的600名学生的首选科目都已确定,该学校为了解这600名学生的再选科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
首选科目
再选科目
选择人数
化学
生物
地理
政治
物理
确定的有10人
7
6
3
4
待确定的有8人
3
2
0
1
历史
确定的有8人
2
4
2
8
待确定的有4人
0
2
0
2
(1)估计该学校高一年级再选科目确定的学生中,选考生物的学生人数;
(2)从首选物理的再选科目确定的10人中随机选出1人,从首选历史的再选科目确定的8人中随机选出1人,求这两人的再选科目都含有生物的概率;
(3)从首选历史的再选科目确定的8人中随机选出2人,设随机变量X满足
X=
求X的分布列和数学期望.
20.(12分)
已知点A(-
,0),B(
,0),△ABC的周长为4+2
,顶点C的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)直线l:
y=kx+m与曲线E交于M,N两点(M,N不在x轴上),若点P在E上,且△PMN的重心是坐标原点O.
(i)求m与k满足的等式关系;
(ii)求证:
△PMN的面积为定值.
21.(12分)
已知a≠0,设函数f(x)=alnx+x-a2.
(1)若a=-2,证明:
f(x)>-4;
(2)若f(x)只有一个零点,求a的取值范围.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C1的直角坐标方程为
+y2=1,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+
)=2
.
(1)写出C1的参数方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知a,b,c为实数.
(1)证明:
a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(2)若a+b+c=1,求(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值.