高中数学选修22学案514 生活中的优化问题举例.docx

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高中数学选修22学案514生活中的优化问题举例

1.4生活中的优化问题举例

教材新知

知识点生活中的优化问题举例

提出问题

某厂家计划用一种材料生产一种盛500mL溶液的圆柱形易拉罐．

问题1：

生产这种易拉罐，如何计算材料用得多少呢？

问题2：

如何制作使用材料才能最省？

导入新知

1．优化问题

生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．用导数解决优化问题的基本思路

化解疑难

1．在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．

2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．

常考题型

题型一利用导数解决面积、体积最大问题

例1　如图①，∠ACB＝45°，|BC|＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折叠，使∠BDC＝90°（如图②所示）．当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大？

类题通法

利用导数解决优化问题的一般步骤

（1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数[解析]式y＝f（x）．

（2）求函数f（x）的导数f′（x），并解方程f′（x）＝0，即求函数可能的极值点．

（3）比较函数f（x）在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f（x）的最大值或最小值．

（4）根据实际问题的意义给出[答案]．

活学活用

1.如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：

cm），能使矩形广告牌面积最小？

题型二利用导数解决费用最省问题

例2　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：

万元）与隔热层厚度x（单位：

cm）满足关系：

C（x）＝

（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及f（x）的表达式．

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小？

并求出最小值．

类题通法

解决优化问题应关注两点

（1）在列函数[解析]式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．

（2）一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点或函数f（x）在开区间上只有一个点使f′（x）＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．

活学活用

2.甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P（元）关于速度v（千米/时）的函数关系是P＝

v4－

v3＋15v.

（1）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式．

（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？

并求此时运输成本的最小值．

题型三利用导数解决利润最大问题

例3　某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t（单位：

百万元），可增加销售额约为－t2＋5t（单位：

百万元，且0≤t≤5）．

（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？

（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（单位：

百万元），可增加的销售额约为－

x3＋x2＋3x（单位：

百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大（注：

收益＝销售额－投入）．

类题通法

利润最大问题的解决方法

利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说，利润等于总收入减去总成本，而总收入等于产量乘价格．由此可以得到利润与产量的函数关系式，进而用导数求最大利润．

活学活用

3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为p＝24200－

x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x（元）．问：

该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？

最大利润是多少？

随堂即时演练

1．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（　　）

A．6m　B．8m

C．4mD．2m

2．已知某生产厂家的年利润y（单位：

万元）与年产量x（单位：

万件）的函数关系式为y＝－

x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为　　（　　）

A．13万件B．11万件

C．9万件D．7万件

3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．

4．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：

y1＝17x2（x＞0），生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数：

y2＝2x3－x2（x＞0），为使利润最大，应生产________千台．

5．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如下图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC＝θ，木梁的体积为V（单位：

m3），表面积为S（单位：

m2）．

（1）求V关于θ的函数表达式．

（2）求θ的值，使体积V最大．

（3）问：

当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？

请说明理由．

——★参考答案★——

问题1：

[答案]计算出圆柱的表面积即可．

问题2：

[答案]要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋

（x＞0），求S最小时，圆柱的半径、高即可．

导入新知

1．利润最大用料最省效率最高

例1　解：

在如图①所示的△ABC中，设|BD|＝x（0＜x＜3），则|CD|＝3－x.由AD⊥BC，

∠ACB＝45°知，△ADC为等腰直角三角形，所以|AD|＝|CD|＝3－x.

由折叠前AD⊥BC知，折叠后，如图②所示，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，

所以AD⊥平面BCD.又∠BDC＝90°，所以S△BCD＝

|BD|·|CD|＝

x（3－x）．

于是VABCD＝

|AD|·S△BCD＝

（3－x）·

x（3－x）＝

（x3－6x2＋9x）．

令f（x）＝

（x3－6x2＋9x），

由f′（x）＝

（x－1）·（x－3）＝0，且0＜x＜3，解得x＝1.

当x∈（0,1）时，f′（x）＞0；

当x∈（1,3）时，f′（x）＜0.

所以当x＝1时，f（x）取得最大值f

（1）＝

，

即VABCD取得最大值

.

故当|BD|＝1时，三棱锥ABCD的体积最大．

活学活用

1.解：

设广告牌的高和宽分别为xcm、ycm，

则每栏的高和宽分别为x－20，

，其中x>20，y>25.

两栏面积之和为2（x－20）·

＝18000，

由此得y＝

＋25.

广告牌面积为S（x）＝x

＝

＋25x，

∴S′（x）＝

＋25＝

＋25.

令S′（x）>0，得x>140；

令S′（x）<0，得20

∴函数S（x）在（140，＋∞）上单调递增，在（20,140）上单调递减，

∴S（x）的最小值为S（140）．

当x＝140时，y＝175，

即当x＝140，y＝175时，S（x）取得最小值24500，

故当广告牌的高为140cm，宽为175cm时，可使广告牌的面积最小.

例2　解：

（1）由题设，每年能源消耗费用为

C（x）＝

（0≤x≤10），

再由C（0）＝8，得k＝40，因此C（x）＝

.

而建造费用为C1（x）＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×

＋6x

＝

＋6x（0≤x≤10）．

（2）f′（x）＝6－

，

令f′（x）＝0，即

＝6，

解得x＝5或x＝－

（舍去）．

当0＜x＜5时，f′（x）＜0；

当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋

＝70.

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．

活学活用

2.解：

（1）Q＝P·

＝

v4－

v3＋15v·

＝

·400

＝

－

v2＋6000（0＜v≤100）．

（2）Q′＝

－5v.

令Q′＝0，则v＝0（舍去）或v＝80.

当0＜v＜80时，Q′＜0；

当80＜v≤100时，Q′＞0，

∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q（80）＝

（元）.

例3　解：

（1）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f（t）百万元，则有

f（t）＝（－t2＋5t）－t＝－t2＋4t＝－（t－2）2＋4（0≤t≤3），

∴当t＝2时，f（t）取得最大值4，

即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．

（2）设用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为（3－x）百万元，又设由此获得的收益是g（x），则

g（x）＝

＋[－（3－x）2＋5（3－x）]－3

＝－

x3＋4x＋3（0≤x≤3），

∴g′（x）＝－x2＋4.

令g′（x）＝0，解得x＝－2（舍去）或x＝2.

当0≤x＜2时，g′（x）＞0；

当2＜x≤3时，g′（x）＜0，

故g（x）在[0,2）上是增函数，在（2,3]上是减函数．

∴当x＝2时，g（x）取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．

活学活用

3.解：

依题意，每月生产x吨时的利润为

f（x）＝

x－（50000＋200x）

＝－

x3＋24000x－50000（x≥0）．

f′（x）＝－

x2＋24000，

令f′（x）＝0，解得x1＝200，x2＝－200（舍去）．

当00，当x>200时f′（x）<0，

∴x＝200时，f（x）取最大值，

最大值为f（200）＝－

×2003＋24000×200－50000＝3150000.

故该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润为315万元．

随堂即时演练

1．[答案]C

[解析]设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝

.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·

＋x2＝

＋x2.S′＝2x－

，令S′＝0得x＝8，因此h＝

＝4（m）．

2．[答案]C

[解析]因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当0＜x＜9时，y′>0，所以函数y＝－

x3＋81x－234在（9，＋∞）上单调递减，在（0,9）上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．

3．[答案]3

[解析]设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r（r>0），则水桶的高为

，

所以S＝πr2＋2πr×

＝πr2＋

（r>0），求导数，得S′＝2πr－

，令S′＝0，解得r＝3.

当03时，S′>0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．

4．[答案]6

[解析]设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－（2x3－x2）＝－2x3＋18x2（x＞0），

∴y′＝－6x2＋36x＝－6x（x－6）．

令y′＝0，解得x＝0或x＝6.经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．

5．解：

（1）等腰梯形ABCD的面积

SABCD＝

·sinθ＝sinθcosθ＋sinθ，θ∈

.

故木梁的体积V（θ）＝10（sinθcosθ＋sinθ），θ∈

.

（2）由

（1）知V′（θ）＝10（2cos2θ＋cosθ－1）

＝10（2cosθ－1）·（cosθ＋1），θ∈

.

令V′（θ）＝0，得cosθ＝

或cosθ＝－1（舍去）．

∵θ∈

，∴θ＝

.

当θ∈

时，

0，V（θ）为增函数；

当θ∈

时，0

，V′（θ）<0，V（θ）为减函数．∴当θ＝

时，体积V最大．

（3）∵木梁的侧面积S侧＝（AB＋2BC＋CD）·10

＝20

，θ∈

，

∴S＝2SABCD＋S侧

＝2

＋20

，

θ∈

.

设g（θ）＝cosθ＋2sin

＋1，θ∈

，

∵g（θ）＝－2sin2

＋2sin

＋2，

∴当sin

＝

，即θ＝

时，g（θ）最大．

又由

（2）知θ＝

时，sinθcosθ＋sinθ取得最大值，

∴θ＝

时，木梁的表面积S最大．

综上可知，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．