高等数学第六章定积分应用综合测试题.docx
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高等数学第六章定积分应用综合测试题
第六章定积分应用测试题A卷
一、填空题（20分）
a
1定积分2a2x2axdx表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程
0w
是.
2、设一放射性物质的质量为mmt，其衰变速度也qt，则从时刻t.到t2此物
dt
质分解的质量用定积分表示为.
3、抛物线y32xx2与Ox轴所围成图形的面积
4、由极坐标方程所确定的曲线及，所围扇形的面积
为.
二、选择题（20分）
1曲线yInx,yIna,yInb（0ab）及y轴所围图形的面积A，则A[]
Inbeb
（A）Inxdx;（B）exdx；
Inaea
lnbea
（C）eydy;（D）blnxdx.
lna丿eb
2、曲线yex下方与该曲线过原点的切线左方及y轴右方所围成的图形面积A[].
（A）
1
xe0
exdx;
（B）
（C）
exe
1
exdx;
（D）
3、曲线y
ln（1
x2）上0
x1一段弧长s
2
1
0
ylnydy;
ln
ylnydy.
].
（A）
（宀）2dx；
1x
（B）
2
x
2
x
dx;
（C）
（D）：
1ln（1x2）"dx.
F[].
4、矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力
（A）
h
ahdh;
0
a
（B）ahdh;
0
（C）
h1ahdh;
02
h
（D）2ahdh.
0
三、解答题
1、
（10分）
求曲线
（4x）3与纵轴所围成图形的面积
2、
（10分）
求由圆
2
（y5）16绕x轴旋转而成的环体的体积
3、
（10分）
试证曲线
sinx（0x2）的弧长等于椭圆x22y22的周长.
4、
（10分）
设半径为
的球正好有一半浸入水中，球的密度为
作多少功?
1,求将球从水中取出需
2
yx
5、（20分）
设直线y
ax与抛物线yx2所围成图
形的面积为
3，它们与直线X1所围成的图形面积
yax
为S2.并且a1.如图6.25.
（1）
试确定a的值，使sS2达到最小，并
A1
图6.25
求出最小值;
（2）求该最小值所对应的平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积
第六章定积分应用测试题B卷
、填空题（20分）
x222
1求曲线V,x2V28所围图形面积A（上半平面部分），则A.
2
2、曲线r3cos,r1cos所围图形面积A
xtsint
3、求曲线从t0到t一段弧长s
V1cost,
4、曲线xyaa0,与直线xa,x2a,及y0所围成的图形绕Ox轴旋转一周所
得旋转体的体积V
三、解答题
22
1、（13分）由两条抛物线yx,yx所围成的图形
（1）计算所围成图形的面积A；
（2）将此图形绕x轴旋转，计算旋转体的体积
2
2、（15分）由曲线y3x，直线x2及x轴所围图形记作D，
（1）求D绕y轴旋转所得旋转体的体积；
（2）求D绕直线x3旋转所得旋转体的体积；
（3）求以D为底且每个与x轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积
2
3、（12分）曲线r4cos2与x轴在第一象限内所围图形记作D，试在曲线r24cos2上求一点M，使直线OM把D分成面积相等的两部分.
4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为a,b的半椭圆，短轴为其上
沿，上沿与水面平行，且位于水下c处，试求观察窗所受的水压力.
2
5.（10分）求曲线yx2x，y0，x1，x3所围成的平面图形的面积S,并求
该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。
综合测试题A卷答案
1、上半圆y
.a2
2
x，
直线ya
t2
32
12
2、qtdt
；3、
；
4、2
t1
3
2
二、选择题
1、C;2、A;
3、
B；
4、A.
三、解答题
、填空题
1、先求交点，令x0得y264，故y
x和直线xa；
2
d
2
又x4y3，所以S
8
8xdy
8
8（4
y3）dy
253.
5
2、因为y5.16x2,而4
x4，所求环体体积是由半圆
x2,与半
■2
圆y5\16x绕x轴旋转生成的旋转体体积之差，即
V:
[（5、16x2）2（5、16x2）2]dx1602
2
3、因为椭圆方程为x22y22，即—y21,则其参数方程为
2
x、、2cost门丄c
0t2，
ysint
由椭圆关于x,y轴的对称性，所以周长
s1402'2sin2tcos2tdt402/sin2tdt.
而曲线ysinx（0x2）的弧长
S24仁厂产d40气1
cosxdxxt42,1
20
sintdt.
故Sis2.
4、将球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其数值等于球露出水面部分的体积:
其中h为球心向上移动距离（0h
1），故将球从水中取出所作的功为
12
h3
2
1113
（）.
W-
（h
）dh
03
3
3
21212
5、解
（1）当0a
1时
（如图一）
S3S2
a
ax
x2dx
12
x
axdx
a
3
3x
2
2
2a
令Sa2
1
2，又
.2
0,
1
则S是极小值及最小值
V2
.其值为
1
6.2
1
2.2
2.2
当a0时，S
S1S2
0ax
a
x2
dx
x2
ax
dx
2（a
1）
S单调减少，故
0时，S取得最小值，此时
综合上述，当a
11
时，S为所求最小值，最小值为
22
3
.21
30
、填空题
三、解答题
1、
（1）
10
x2dx
4x3x2dy24
（3）
D为底且与x轴垂直呈等边三角形的的立体的平行截面的面积为
Sx-3x23x2sin—?
V3x4
234
因此平行截面的面积为Sx的立体体积
2°3x4dx
04
723
5
S
1
02
10
r2d
4cos2d
sin2
2
0
20
D的面积S1
4
r2d
14
4cos2
d1.
2
0
20
3、设M。
ro,o为曲线上一点，则截下部分的曲边扇形面积
由条件S1
iS，
1，所以
2
即得sin2o
的极坐标为\2.3,—
12
4、
建立如图6.26所示的坐标系
1，则
，故点
12
y
图6.26
a
g°cx2ydx
asint，贝UP2
asintcos2tdt
gab
其中
为水的密度,
g为重力加速度•
5.解:
所求面积S
SS2,（图6.27）
2
Si1（2x
x2）dx
（x2
13、
3x）
32
S22（X
2x）dx
/13
（孑
x2）
81
（48）（13）
84
（99）（34）3。
SS|S22。
平面图形S1绕y轴旋转一周所得旋转体体积
Vi
02
1（1.1y）2dy
0
1（2
y21
y）dy
1242
[2y尹3（1y）2]
[4（
1）]
11
6
图6.27
S2绕y轴旋转一周所得旋转体体积
平面图形
Vi
2
V
2
1
y）2dy
24（1
27
3
o（2
21
y）dy
223
1（2x2x3）dx
V2
x（2x
16162吃匸）（3
11
6
27
43
6
324）
33
43
6
2
x2）dx2x（x
2x）dx
3322x
2（x32x2）dx2[丁
4^3
2[汽
1815416
4）]2G孑U
16
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