初中数学乘法公式doc.docx

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初中数学乘法公式doc

乘法公式

概念总汇

1、平方差公式

平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即

（a+b）（a-b）=a

2-b2

a

说明：

a

（1）几何解释平方差公式

b

如右图所示：

边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。

b

第一种：

用正方形的面积公式计算：

a

2－b2；

第二种：

将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a＋b），宽为（a－b），

它的面积是：

（a＋b）（a－b）

结论：

第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。

所以：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）。

（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只

有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公

式。

平方差公式的a和b，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。

应用平方

差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算

2、完全平方公式

完全平方公式：

两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两

倍，即

（a+b）

2

222

，（a-b）

=a+2ab+b=a

2-2ab+b2

这两个公式叫做完全平方公式。

平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式

说明：

b

（1）几何解释完全平方（和）公式

如图用多种形式计算右图的面积

第一种：

把图形当做一个正方形来看，所以

a2

它的面积就是：

（a＋b）

第二种：

把图形分割成由2个正方形和2个相同的

ab

第1页共16页

长方形来看，其中大正方形的的边长是a，小正方形

的边长是b，长方形的长是a，宽是b，所以

2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2

它的面积就是：

a

结论：

第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：

（a＋b）

2＝a2＋2ab＋b2

（2）几何解释完全平方（差）公式

如图用多种形式计算阴影部分的面积

第一种：

把阴影部分当做一个正方形来看，所以

2

它的面积就是：

（a-b）

第二种：

把图形分割成由2个正方形和2个相同的

长方形来看，

S阴影S-S-2S

大正方形小正方形长方形

其中大正方形的的边长是a，小正方形的边长是b，长方形的长是（a-b），宽是b，所以

它的面积就是：

2b22abba22abb2

a

结论：

第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积

所以：

ab

2a2abb

22

22222-b2。

要注意符号

（3）在进行运算时，防止出现以下错误：

（a+b），（a-b）

=a+b=a

的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。

完全平方公式

的a和b，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可

以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方

公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用

方法引导

1、乘法公式的基本计算

例1利用平方差公式计算：

（1）（3x＋5y）（3x－5y）；

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）

（3）（-m＋n）（-m－n）

难度等级：

A

第2页共16页

2222

解：

（1）（3x＋5y）（3x－5y）＝（3x）－（5y）＝9x－25y

↓↓↓↓

2－b2（a＋b）（a－b）＝a

2－0.25b2

（2）（0.5b＋a）（-0.5b＋a）＝（a＋0.5b）（a－0.5b）＝a

↓↓↓↓

2－b2（a＋b）（a－b）＝a

（3）（－m＋n）（－m－n）＝（－m）

2－n2＝m2－n2

↓↓↓↓

2－b2（a＋b）（a－b）＝a

【知识体验】仔细观察例题，看出两个多项式之间的相同点和不同点，找到两个多项式

的第一项相同，而第二项互为相反数，符合运用平方差公式的条件，利用公式解题，得出结

果

【解题技巧】平方差公式的基本在于找到两个多项式的相同项和不同项，相同项就是a，

不同项就是b和-b，所以多项式中项的位置颠倒时，可以先调换位置，再运用平方差公式

【搭配练习】

用平方差公式计算

（1）（－0.25x－y）（－0.25x＋y）

（2）（－2x＋3y）（－2x－3y）

（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）

例2利用完全平方公式计算

22

（1）（2a＋3）

（2）（0.5m－0.2n）

2

（3）（-2x－3y）

（4）（1－3x）（3x-1）

难度等级：

A

2aaa2a

22

解：

（1）2a3222334129

（a＋b）

2＝a2＋2ab＋b2

（2）

20.520.50.20.20.250.20.04

22

22

0.5m0.2nmmnnmmnn

第3页共16页

ab

2

2

a2ab

2

b

（3）第一种解法：

2222334129

2222

2x3yxxyyxxyy

ab

2

2

a2ab

2

b

第二种解法：

223223222223324212922x3yxyxyxxyyxxyy

22

＝a

（a＋b）

2

＋2ab＋b

（4）13x3x13x13x1

3x1

2xxxxxx

2222

3231196196

1

ab

2

2

a2ab

2

b

【知识体验】仔细观察例题，题目都应该符合完全平方的形式，然后根据公式写出结果。

第一步确定首尾，分别平方；第二步确定中间项的系数和符号，得出结论。

【解题技巧】第三题给出了两种解法，第二解法实质上是利用了乘方的性质，利用互为

相反数的幂可以互相转化，改变了原本的形式，便于后续利用完全平方和的公式写出结果，

第一种虽然也可以得出正确结果，但涉及到符号问题较多，容易出现错误。

第四题表面上看

上去不可以用乘法公式，但仔细观察可以发现，这两个多项式的每一项只有符号不同，其他

都相同，那么也可以利用乘方的性质，把式子进行转化，后续得出的就是一个带有负号的完

全平方式，但有一点还要注意的是

2

3x1中，应该先按照完全平方公式展开，再去掉负

号

【搭配练习】

第4页共16页

利用完全平方公式计算

（1）

2

3a2

（2）

4b3c

2

（2）

2

0.1p0.3q（4）5m7n7n5m

2、简便计算

例3利用平方差公式简便计算

（1）103×97

（2）59.8×60.2

难度等级：

A

解：

（1）103×97＝（100＋3）（100－3）＝100

2－32＝10000－9＝9991

2－0.22＝3600－0.04＝3599.96

（2）59.8×60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）＝60

【知识体验】既然是简便计算，就有巧算的变法，把两个因数分别进行改写，写成相同

的两个数的和与差相乘的形式，利用平方差公式求解。

【解题技巧】如果可以利用公式，那么103和97就分别是相同的两个数的和与差，那

么（103+97）÷2得到的就是第一个数，即公式中的a，（103-97）÷2得到的就是第二个数，

即公式中的b

【搭配练习】

利用平方差公式简便计算

（1）899×901＋1

（2）982

（3）

14

1

8

13

7

8

例4利用乘法公式简便计算

（1）

2

997

（2）

22

1009（3）9410199

难度等级：

A

解：

（1）

222

2

997100031000210003100000060009994009

3

（2）

2

100910009

2

2

1000

2

1000

9

81

1000000

18000

81

1018081

第5页共16页

2

2

（3）9410199100610011001

2

10021006

2

6

2

100

2

1

22

1001200361001

1200361

1163

【知识体验】解题时要注意区分使用哪一种公式，平方差公式一定要是两数和与两数差

乘积的形式，完全平方公式一定是两数和或差的平方形式

【解题技巧】平方差公式是两个不同的数或式子相乘，完全平方公式是一个数或式子平

方的形式，当这两种公式混合在一起的时候要注意区别，分清属于哪一种

【搭配练习】

利用乘法公式简便计算

9972－1001×999

例题讲解

（一）题型分类全析

例1：

下列计算正确的是（）

232

A.4x2x3x18x12x4x

B.

xy

2y2x3y

x

3

C.

2

4a14a1116aD.

x

2

22

2yx2xy4y

难度等级：

A

【思维直现】根据单项式与多项式的乘法法则，（-4x）·（2x

2+3x-1）=-8x3-12x2+4x，所

223223

以A错；利用多项式乘法法则，计算（x+y）（x，所以B也不对；

+y），得x+xy+xy+y

2-（4a）2=1-16a2，所以C是正确的；由完全利用平方差公式，有（-4a-1）（4a-1）=（-1-4a）（-1+4a）=（-1）

2=x2-4y+4y2，所以D错.因此，选C.

平方公式，得（x-2y）

解：

C

【阅读笔记】整式的乘法包括幂的乘法，单项式与单项式的乘法，单项式与多项式的乘

法，多项式与多项式的乘法，乘法公式；在解决问题时，要对号入住，看到题目，就要想到

用什么样的法则。

【题评解说】本题是常规题，都是考察学生的基本概念和基本法则。

在做题时可以每道

都做一遍，验证正确或错误的选项。

第6页共16页

【建议】如果遇到无法确定的时候，就说明知识点没有掌握清楚，此时的做题原则，就

是排除法，先选出与待选答案相反结论的选项，在排查剩余选项。

【搭配练习】

1、下列关系式中，正确的是（）

A.（a－b）

2=a2-b2B.（a+b）（a-b）=a2-b2

2=a2+b2D.（a+b）2=a2-2ab+b2

C.（a+b）

2、下列计算正确的是（）

2-3b2B.（-a+3b）（a-3b）=-a2-9b2

A.（a+3b）（a-3b）=a

C.（-a-3b）（a-3b）=-a2+9b2D.（-a-3b）（a+3b）=a2-9b2

例2：

多项式4x21加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的

多项式可以是（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）

难度等级：

B

2=a2±2ab+b2的特点，若4x21表示了a2+b2的

【思维直现】根据完全平方公式（a±b）

话，则有a=2x，b=1，所以，缺少的一项为±2ab=±2（2x）·1=±4x，此时，4x21±4x=（2x

2；如果认为4x21表示了2ab+b2的话，则有a=2x2，b=1，所以，缺少的一项为a2=（2x）

±1）

24422

，此时，4x

+4x21=（2x

，从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所=4x+1）

2=（2x）2，1=12，所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到4x

以，保留二项式4x21中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可

以是-1或者-4x

2，此时有4x21-1=4x2=（2x）2，或者4x21-4x2=12.综上分析，可知所加

上的单项式可以是.

解：

±4x、4x

4、-1或-4x2

【阅读笔记】成为一个整式的完全平方，并不一定指的是多项式形式的完全平方，还有

可能是单项式的完全平方。

因为整式是单项式和多项式的统称。

虽然经常见到的多项式形式

的完全平方，但单项式的完全平方也是成立的

【题评解说】本题是开放性的题目，主要考察学生对于完全平方公式的熟悉程度。

如果

能把所有的情况都想清楚，当然更好。

【建议】题目的要求一定要看清楚，只要填写正确的一个即可，其他情况不做强制要求。

【搭配练习】

第7页共16页

若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=（）

A.9b2B.±3b2C.3bD.±3b

例3计算：

（1）

a

12

a

2

1

4

a

1

2

（2）xyzxyzxyzxyz

2

（3）a3b2c

难度等级：

B

【思维直现】仔细观察式子，都可以利用平方差公式和完全平方公式。

在使用之前，要

运用乘法的交换律和加法的结合律，还需要用到添括号法则，把式子变成符合公式的标准形

式

解：

（1）

a

1211112

aaaaa

24222

1

4

1214

2aa

a

44

1

16

（2）xyzxyzxyzxyz

xyzxyzxyzxyz

2

x

yz

2

2

x

y

z

2

2

x

222

yzxyz

22

yzyz

y

2

2

yz

2

z

y

2

2yz

2

z

2

y2yz

2

z

2

y

2

yz

2

z

4yz

（3）

a

2322322322

3b2cabcababcc

2

2

a

6ab

2

9b

4ac

12bc

2

4c

2

a

2

9b

2

4c

6ab4ac12bc

或者

a

23223232

22

3b2cabcaabcbc

2

第8页共16页

2

a

6ab4ac

2

9b

12bc

2

4c

2

a

2

9b

2

4c

6ab4ac12bc

【阅读笔记】乘法公式主要就是平方差和完全平方，展开式子的时候会分成一个单项式

和一个单项式、一个单项式和一个多项式或一个多项式和一个多项式，而且运用一次公式后，

可能还会需要第二次展开，层层递进。

【题评解说】题1只需要交换第二个式子和第三个式子，其余的都很容易看出做法；题

2在使用平方差公式时，最主要的是多项式的变形；题3的多项式是三项，所以在使用完全

平方公式的时候，要把多项式进行拆分，拆成一个单项式和一个多项式的形式

【建议】按照法则，一步一步，每经过一个步骤，对照公式中a、b的形式和结论来求

出最后结果

【搭配练习】

计算：

（1）（c－2b+3a）（2b+c－3a）

（2）（a－

1

6

b）（2a＋

1

3

2

b）（3a

＋

1

12

2

b

）；

2

（3）（2a－3b＋1）

例4请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助

线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是．

难度等级：

A

【思维直现】图中所表示的整个正方形的面积是x

2，两个小正方形

的面积分别是y

2与（x-y）2，利用这些数据关系，结合图形便可以写出

以下乘法公式：

（x-y）

2=x2-2xy+y2；

解：

（x-y）

2=x2-2xy+y2

【阅读笔记】乘法公式不只有代数式子，根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公

式，是“数形结合思想”的具体体现。

【题评解说】本题是数形结合的典型试题，从不同的角度去理解题目，理解其中的含义。

【建议】在进行知识点讲解的时候，需要从代数和几何两个方面，推出乘法公式

例5．计算：

11111

（1）

（1）

（1）

（1）

24815

22222

.

第9页共16页

难度等级：

C

【思维直现】观察本题容易发现可以利用平方差公式，但缺少因式

1

（1）

2

，如果能通

过恒等变形构造一个因式

1

（1）

2

，则运用平方差公式就会迎刃而解。

解：

1

1

2

1

1111

11

248215

222

21

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

1

4

2

1

1

8

2

1

15

2

21

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

1

4

2

1

1

8

2

1

15

2

21

1

2

2

1

1

2

2

1

1

4

2

1

1

8

2

1

15

2

21

1

4

2

1

1

4

2

1

1

8

2

1

15

2

21

1

8

2

1

1

8

2

1

15

2

21

1

16

2

1

15

2

212

1

16

2

1

15

2

2

2

1

15

2

1

15

2

【阅读笔记】在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成某公

式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。

【题评解说】本题还是考察的平方差公式的运用。

当题目有可能转化成所熟悉的式子时，

要创造条件，但同时也不能改变题意，要求能够灵活地，熟练地运用所学解决问题。

【建议】转换成平方差形式的时候，要说明转化的原因，并且举出例子。

【搭配练习】

计算

2＋1）（34＋1）（38＋1）+1

1、（3＋1）（3

1

2、（1－2

2

）（1－

1

2

3

）（1－

1

2

4

）⋯（1－

1

2

9

）（1－

1

2

10

）

第10页共16页

例6：

已知ab3，

1

ab，求：

2

2＋b2

（2）a2＋ab＋b2（3）a4＋b4

（1）a

难度等级：

A

【思维直现】从已知条件出发很难得知题目的真正意图，再看看结论，和完全平方公式

相似，那么完全平方公式的变形就可以满足了，题

（1）就是在

2

a的基础上减去了2ab；

b

题

（2）可以看做

2

ab的基础上减去了ab，或是在题

（1）的基础上加上了ab；题（3）

就是在题

（1）结论的基础上，把

2b

2

a平方后减去

22

2ab，而

22

2ab即是

2

2ab。

解：

（1）∵ab3，

ab

1

2

∴

ab

2a2abb

22

即

1

222

3a2b

2

2b2

2

∴a318

（2）∵ab3，

ab

1

2

∴

ab

2a22abb

2