双曲线知识点总结及练习题.docx

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双曲线知识点总结及练习题

、双曲线的定义

1、第一定义：

到两个定点Fi与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|FiF2|）的点的轨迹

要注意两点：

（1）距离之

2aF1F2（a为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

差的绝对值。

（2）2av|FiF2|。

当|MF1|—|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支;

当|MF1|—|MF2|=—2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支;

当2a=|F1F21时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两

b。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的

符号，焦点在系数正的那条轴上

2222

（2）与双曲线冷占1共焦点的双曲线系方程是二2y1

a2b2八2kb2k

（3）双曲线方程也可设为：

—乂l（mn0）

三、双曲线的性质

双曲线

第一定义：

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的

点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

MMF1MF22a2a|证|

第二定义：

平面内与一个定点F和一条定直线I的距离的比是常数e,当e1时,动点的轨迹是双曲线。

定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（e1）叫做双曲线的离心率。

对称中心原点0（0,0）

焦点坐标

焦点在实轴上，cVa2b2；焦距：

If^I2c

顶点坐标

（a,0）

（0,a,）

（0,a）

离心率

C（ea

1）,c2

a2b2,\e越大则双曲线开口的开阔度越大

准线方程

2ay—c

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：

2a2

顶点A（a2）到准线

I1（I2）的距离为

2\aa—

顶点到准线的距离/

顶点A（A2）到准线

12（I1）的距离为

—a

焦点到准线的距离

焦占

八'、八\、

焦占

八'、八\、

Fi（

F2）到准线

h（I2）的距离为

I2（h）的距离为

2.2

abc——

—c

渐近线方程

b—xa

■212

/虚、bb

（—）,c,—c,—

头a和a

x-ya

（头>\

将右边的常数设为0,

即可用解二兀二次的方法求出渐近线的解'、

共渐近线的双曲线系

方程

2yb2

k（k0）

22yx

2,2

k（k0）

x双曲线笃

爲1与直线ykxb的位置关系：

利用

V-1

.21十七2斗_.二—、治七壬口中助［口［［卡為宀

b2转化为兀二次力程用判力别式确疋。

直线和双曲线的位置

kxb

二次方程二

次项系数为零直线与渐近线平行。

相交弦AB

的弦长|ab|Jik^（x1x2>）24x1x2

通径

ABy2yi

2b2

与椭圆一样

过双曲线上一点的切

线

X°X

罟1或利用导数

YoYx°x

a2/b2

1或利用导数

四、双曲线的参数方程:

xasecxacos

椭圆为

ybtanybsin

五、弦长公式

1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于

A（xi,yi）B（X2,y2）两点，则

1+kx1x2

AB=

12-

1+k2、:

y1y24y°2

［提醒］解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。

2、通径的定义：

过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于

3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解

六、焦半径公式

双曲线务

1（a>0，b>0）上有一动点M（x0,y0）b2

左焦半径:

右焦半径:

r=|ex+a|

r=|ex-a|

当M（x°,y°）在左支上时|MF!

|ex0a,|MF2|

当M（x0,y0）在右支上时|MFjex^a,|MF21ex^

左支上绝对值加-号，右支上不用变化

A、B两点，则弦长|AB|

双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则:

（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算,

而双曲线不带符号）

MF1

MF2

exoa

构成满足MF1MF2

ex0a

注：

焦半径公式是关于X。

的一次函数，具有单调性，当M（x°,y°）在左支端点时IMF1Ica，

IMF2Ica，当M（Xo,y°）在左支端点时|MR|ca,|MF2|ca

占1（a>0，b>0）当ab时称双曲线为等轴双曲线

离心率e2；

两渐近线互相垂直，分别为y=x；

等轴双曲线的方程

八、共轭双曲线

以已知的虚轴为,

实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,

通常称它们互为共轭双

曲线。

与0

—2

互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:

九、点与双曲线的位置关系,

直线与双曲线的位置关系

1点与双曲线

占

八、、

P（Xo,yo）在双曲线

占

八、、

占

八、、

P（xo,y°）在双曲线

P（x°,y°）在双曲线

1（a

直线与双曲线

代数法:

设直线l:

ykx

m，双曲线

~~2

0,b

0）的内部

0）的外部

0）上

1（a0,b

（b2

k2）x2

2a2mkx

a2m2

a2-2

（1）

0时,

（2）m

B,k

0时,

—ka-或a

-，直线与双曲线交于两点

k存在时，若

-2

若b2a2k2

0）联立解得

k不存在时，直线与双曲线没有交点;

a2k2

代值验证，如x2y21

—，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点;

2amk）

4（b2

ak）（

0时，m2

a2k2

0时，m2

a2k2

0,直线与双曲线相交于两点;

0,直线与双曲线相离，没有交点;

2222222222

amab）4ab（mbak）

0时m2b2a2k20,

2,2

直线与双曲线有一个交点;

相切

k不存在，ama时，直线与双曲线没有交点;

ma或ma直线与双曲线相交于两点;

0，焦点在y轴上）

十一、双曲线与切线方程

1、双曲线笃每1（a0,b0）上一点P（X0,y。

）处的切线方程是辱1。

abab

x2y2x0xy0y

2、过双曲线—21（a0,b0）外一点P（x°,y°）所引两条切线的切点弦方程是-02罗1

abab

2、2

3、双曲线x2每1（a0,b0）与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2。

椭圆与双曲线共同点归纳

十二、顶点连线斜率

双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K时得到不同的曲线。

椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55

1、A、B两点在X轴上时

（1）当斤〉0时轨迹是双曲线，除去氛B两点，与双曲线的标准方程4-4=1*比较知―賦、所以—匚

a2b2a

（2）当k——l时轨迹是圆，除去A,B两点；

（3）当-l

—b2

B两点*其中女__吾;

L*C'

（4）当Z-1时，轨迹是焦点落在y轴上的椭圆，除去A,B

两点，其中"-孑

2、A、B两点在Y轴上时

结论3设点A，B的坐标分别为（Q-^（0?

（j）7直线AM,

BM相交于点那且它们的斜率之积是―-；二所求点M的

轨谡方程是务十卜IgQ）Q

结论4设点A「B的坐标分别为（QTE）,直线AM,

BM相交于点乩且它们的斜率之枳是所求点M的/

轨迹方程是匚刍=如0）./

十三、面积公式

双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形,

Spf,f2bcot2

面积公式推导：

解：

在PRF2中，设RPF2,|PRA,]PF2『2，由余弦定理得

2印2

2芯

r）r22（c2a2）r1r2

2b2

•吋2cos

Hb2b

即r1r2

2b2//

cos

2b2

2sin

.2,

…s卩证

r（r2sin

——

sin

=bcot

cos

1cos

（r1r2）22r1r24c2

（2a）22花4c2

椭圆上一点与椭圆的两个焦点Fi,F2构成的三角形PF1F2称之为椭圆焦点三角形.Spf/2b2tan2

面积公式推导

r1r2cos2b2r1r2

十四、（双曲线中点弦的斜率公式）:

设M（Xo,y°）为双曲线^2y?

1弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有kAB匕

~~2

证明：

设A（Xi,yi），B（X2,y2），则有kAB

yiy2

X）

yi2

两式相减得:

X-Ix2

yiy2

0整理得:

y/y2

XiX2

（yi

y2）（%y?

）

（XiX2）（X1X2）

2，因为M（xo,yo）是弦ABa

的中点,

所以koM

2yo

2x0

■丄，所以kABkoM

X,X2

椭圆中线弦斜率公式

~~2

双曲线基础题

1•双曲线2x2—y2=8的实轴长是（）

A•2B•22C•4D•42

2.设集合P=x,yX4—y2=1，Q={（x,y）|x—2y+1=0}，记A=PAQ,则集合A中元素的个数是（）

A•3B•1C•2D•4

3•双曲线16—七=1的焦点到渐近线的距离为（）

A•2B•3C•4D•5

4•双曲线7—£=1的共轭双曲线的离心率是•\

能力提升'\

5•中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,—2），则它的离心率为（）

x2y2

6•设双曲线~2—七=1（a>0）的渐近线方程为3xi2y=0,贝Va的值为（）

A•4B•3C•2D•1

7•从羊—琴=1（其中m,n€{—1,2,3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，

则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）

的渐近线与圆（x—3）2+y2=r2（r>0）相切，则r=（）

&双曲线y—x=1

B•3C•4D•

9•\如图K51—1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD且AB=2AD，设/DAB=0,张0,?

，以A、

B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,贝Ue1e=

10•已知双曲线孑—話=1（a>0,b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的

右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是•/

11•已知双曲线|2—b2=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为y=.3x,它的一个焦点为F（6,0），则双

曲线的方程为•/

12•（13分）双曲线C与椭圆2x7+36=1有相同焦点，且经过点（.15,4）•

（1）求双曲线C的方程；

（2）若F1,F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且/F1PF2=120°,求厶F1PF2的面积.

难点突破

x2y2x2y2

13•

（1）（6分）已知双曲线二一2=1和椭圆r+2=1（a>0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a,

abmb

b,m为边长的三角形是（）

A•锐角三角形

B•直角三角形

C•钝角三角形

D•锐角三角形或钝角三角形

（2）（6分）已知Fi、F2为双曲线C：

x2—y2=1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且/FiPF2=60°则|PFi||PF2|=（）

A•2B•4C•6D•8

双曲线综合训练

、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）1.动点P到点M（1,0）及点N（3,0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）

A•双曲线B•双曲线的一支C.两条射线D•一条射线

2•设双曲线的半焦距为c，两条准线间的距离为d，且cd，那么双曲线的离心率e等于（）

A.2B.3C..2D..3

3•过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,R是另一焦点，若/PRQ-，则双曲线的离心

率e等于（）

A.、21

B.2C.、21D.、2

4.双曲线mx2

5.双曲线

面积为1,

1的虚轴长是实轴长的2倍，则m

）

D.-

1（a,b

且tanPF1F2

12x

3y2

0）的左、右焦点分别为Fi,F2,点P为该双曲线在第一象限的点,

〔，tan

PF2F1

2,则该双曲线的方程为（

5x2

3y21

△PF1F2

C.3x2

12y2

6.若F1、F2为双曲线

1的左、

右焦点,

O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点

M在双

曲线的右准线上，且满足

FQPM,OP

（OF1OM）

OF1OM

A..2

7.如果方程—

1表示曲线，则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是

D.3

（0），则该双曲线的离心率为（

xA.

2qp

xB.

C.y-

2pqq

D.x—

2p/q

、填空题：

（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）

8.双曲线的渐近线方程为

x2y0,焦距为10，这双曲线的方程为

9.若曲线-

1表示双曲线，则k的取值范围是

10•若双曲线

1的渐近线方程为y

丄3x,则双曲线的焦点坐标是

三、解答题:

（本大题共

2小题，满分30分）

11.（本小题满分10分）双曲线与椭圆有共同的焦

点Fi（0,5）冋0,5），点P（3,4）是双曲线的渐近线

与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

12.（本小题满分20分）已知三点P（5,2）、F1（-6,0）、F?

（6,0）。

（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（2）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称「点分别为P、F；、F?

，求以F；、F?

为焦点且过点P的双曲线的标准方程•

【基础热身】

X『―1，所以a2=4，得a=2，所以2a=4.故实轴长为4.

„2

1.C［解析］双曲线方程可化为48

/x2、

2.B［解析］由于直线x—2y+1=0与双曲线7—y2=1的渐近线

有一个交点，所以集合A中只有一个元素.故选B.

x2v2/\

3.B［解析］双曲线話—打=1的一个焦点是（5,0）,一条渐近线是式可得d=|3X5—0|=3.故选B.

［解析］双曲线善—彳=1的共轭双曲线是彳—V7=1,所以a=3,

vJvJt

y=^x平行，所以直线与双曲线只

3x—4y=0,由点到直线的距离公

b=■7,所以c=4,所以离心率e

【能力提升】

5.D［解析］设双曲线的标准方程为肇一£=1（a>0,b>0）,所以其渐近线方程为y=*x,因为点（4,—2）在渐近线上，所以b=舟.根据c2=a2+b2,可得c=£解得e2=5所以e=^，故选D.

a2a442

223

6.C［解析］根据双曲线X2—y=1的渐近线方程得：

y=±^x，即ayi3x=0.又已知双曲线的渐近线

a9a

方程为3x±2y=0且a>0,所以有a=2,故选C.

7.B［解析］若方程表示圆锥曲线，贝U数组（m,n）只有7种：

（2,—1）,（3,—1）,（—1,—1）,（2,2）,

（3,3）,（2,3）,（3,2），其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P=7.故选B.

|2x30|

y=±2x,圆心为（3,0），所以半径r=±丽=^6.故选A.

连接BD，设AB=2，贝UDM=sin0,在Rt△BMD中，由勾股定理

&A［解析］双曲线的渐近线为

9.1［解析］作DM丄AB于M，得BD=5—4cos0,所以

\c_|AB|_2

e1=||BD|—|AD|厂—5—4cos0—1

|CDI2—2cos0

e*|AC|+|AD「5—4cosB+1，

所以eie2=1.

K—

10.［2，+s）［解析］依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是［60°90°，所以tan60°=.3,

即b2>3a2,c2>4a2，所以e>2.

—£=1［解析］b={3,即卩b=>/3a，而c=6，所以b2=3a2=3（36—b2），得b2=27,a2=9,所以27a

X2y2双曲线的方程为—27=1.

12•［解答］

（1）椭圆的焦点为F1（0,—3）,F2（0,3）.设双曲线的方程为羊—X2=1,贝Ua2+b2=32=9•①又双曲线经过点C.15,4），所以16—15=1，②解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=—27（舍去）,所以所求双曲线C的方程为y—7=1.

（2）由双曲线C的方程，知a=2,b=,5,c=3.

设|PF1|=m,|PF2|=n,贝V|m—n|=2a=4,平方得m2—2mn+n2=16.①在厶中，由余弦定理得（2c）2=m2+n2—2mncos120°=m2+n2+mn=36②

由①②得mn=20，

所以△F1PF2的面积为S=2mnsin120=53^.

【难点突破】

a2+b2=m2，故选B.

13.

（1）B

（2）B［解析］

（1）依题意有aJb寫b=〔，化简整理得

⑵在△F1PF2中，由余弦定理得，

o|PF1|2+|PF2|2—IF1F2I2

cos60=2|PF1||PF2|/，|PF1|—|PF2|2—|F1F2|2+2|PF1||PF2|

2|PFi||PF2|

4a2—4c2—4b2

=+1=+1.

2|PFi||PF2|2|PFi||PF2|

因为b=1,所以|PFi||PF2|=4•故选B.

、选择题

1.D

2,而MN

-.C

c,c

2a2,e2

3•C△PF1F2是等腰直角三角形,

P在线段MN的延长线上

2,e2

PF2F1F22c,PF122c

PF1

PF22a,22c2c2a,e

【思路分析】：

设p（x°,y°）,

X0c

2,cy°

X0c

c,X0

2.3

5.3

【命题分析】

考察圆锥曲线的相关运算

【思路分析】：

由F1OPM知四边形F1OMP是平行四边形，又

OF1

◎

知0P平分

F1OM，即F1OMP是菱形，设OR

2ac2又PF2PF1I2aPF22ac，由双曲线的第二定义知：

e丄丄-1.且e1,

e2，故选C.

【命题分析】：

考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性

7.D•由题意知,pq0若p0,q0,则双曲线的焦点在y轴上,而在选择支A,C中，椭圆的焦点都在x

轴上，而选择支B,D不表示椭圆；

若p0,q0,选择支A,C不表示椭圆，双曲线的半焦距平方c2pq,双曲线的焦点在x轴上,

选择支D的方程符合题意.

二、填空题

205

1设双曲线的方程为

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