双曲线知识点总结及练习题.docx
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双曲线知识点总结及练习题
、双曲线的定义
1、第一定义:
到两个定点Fi与F2的距离之差的绝对值等于定长(V|FiF2|)的点的轨迹
要注意两点:
(1)距离之
2aF1F2(a为常数))。
这两个定点叫双曲线的焦点。
差的绝对值。
(2)2av|FiF2|。
当|MF1|—|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;
当|MF1|—|MF2|=—2a时,曲线仅表示焦点F1所对应的一支;
当2a=|F1F21时,轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线;用第二定义证明比较简单或两
b。
判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的
符号,焦点在系数正的那条轴上
2222
(2)与双曲线冷占1共焦点的双曲线系方程是二2y1
a2b2八2kb2k
22
(3)双曲线方程也可设为:
—乂l(mn0)
mn
三、双曲线的性质
双曲线
第一定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2)的
点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。
MMF1MF22a2a|证|
yy
F2
Fi
Fi
第二定义:
平面内与一个定点F和一条定直线I的距离的比是常数e,当e1时,动点的轨迹是双曲线。
定点F叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e(e1)叫做双曲线的离心率。
yy
Fi
Fi
对称中心原点0(0,0)
焦点坐标
焦点在实轴上,cVa2b2;焦距:
If^I2c
顶点坐标
(a,0)
(a,0)
(0,a,)
(0,a)
离心率
e
C(ea
1),c2
a2b2,\e越大则双曲线开口的开阔度越大
准线方程
x
2a
c
2ay—c
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离:
2a2
c
顶点A(a2)到准线
I1(I2)的距离为
2\aa—
顶点到准线的距离/
顶点A(A2)到准线
12(I1)的距离为
c
2a
—a
c
焦点到准线的距离
焦占
八'、八\、
焦占
八'、八\、
Fi(
Fi(
F2)到准线
F2)到准线
h(I2)的距离为
I2(h)的距离为
2.2
abc——
cc
2a
—c
c
渐近线方程
y
b—xa
■212
/虚、bb
(—),c,—c,—
头a和a
b
x-ya
(头>\
将右边的常数设为0,
即可用解二兀二次的方法求出渐近线的解'、
共渐近线的双曲线系
方程
2x
2a
2yb2
k(k0)
22yx
2,2
ab
k(k0)
2
x双曲线笃
a
2
爲1与直线ykxb的位置关系:
b2
利用
2x
2
V-1
.21十七2斗_.二—、治七壬口中助[口[[卡為宀
a2
b2转化为兀二次力程用判力别式确疋。
直线和双曲线的位置
y
kxb
二次方程二
次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB
的弦长|ab|Jik^(x1x2>)24x1x2
通径
:
ABy2yi
2b2
与椭圆一样
a
过双曲线上一点的切
线
X°X
2a
罟1或利用导数
YoYx°x
a2/b2
1或利用导数
四、双曲线的参数方程:
xasecxacos
椭圆为
ybtanybsin
五、弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式,设直线与椭圆交于
A(xi,yi)B(X2,y2)两点,则
22
1+kx1x2
AB=
12-
1+k2、:
y1y24y°2
[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。
2、通径的定义:
过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于
3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解
六、焦半径公式
2
双曲线务
a
2
1(a>0,b>0)上有一动点M(x0,y0)b2
左焦半径:
右焦半径:
r=|ex+a|
r=|ex-a|
当M(x°,y°)在左支上时|MF!
|ex0a,|MF2|
当M(x0,y0)在右支上时|MFjex^a,|MF21ex^
左支上绝对值加-号,右支上不用变化
2b
A、B两点,则弦长|AB|
a
双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则:
(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,
而双曲线不带符号)
MF1
MF2
exoa
构成满足MF1MF2
ex0a
2a
注:
焦半径公式是关于X。
的一次函数,具有单调性,当M(x°,y°)在左支端点时IMF1Ica,
IMF2Ica,当M(Xo,y°)在左支端点时|MR|ca,|MF2|ca
2
占1(a>0,b>0)当ab时称双曲线为等轴双曲线
b2
离心率e2;
两渐近线互相垂直,分别为y=x;
等轴双曲线的方程
八、共轭双曲线
以已知的虚轴为,
实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,
通常称它们互为共轭双
曲线。
2
与0
2
/a
2
y_
—2
互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
2
0
b2
九、点与双曲线的位置关系,
直线与双曲线的位置关系
1点与双曲线
占
八、、
P(Xo,yo)在双曲线
占
八、、
占
八、、
~2
.2
a
b
2
2
x
y
2a
b2
2
2
x
y
2a
b2
P(xo,y°)在双曲线
P(x°,y°)在双曲线
2x
2
1(a
1(a
1(a
直线与双曲线
代数法:
设直线l:
ykx
m,双曲线
2
x
~~2
a
0,b
0,b
0,b
0)的内部
0)的外部
0)上
2
Xg
2
a
1(a0,b
(b2
a2
k2)x2
2a2mkx
a2m2
a2-2
(1)
0时,
(2)m
B,k
a
0时,
—ka-或a
-,直线与双曲线交于两点
a
k存在时,若
-2
若b2a2k2
2
x0
a
2
x0
a
y0
b2
2
yc
b2
0)联立解得
k不存在时,直线与双曲线没有交点;
a2k2
代值验证,如x2y21
—,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
22
2amk)
4(b2
22
ak)(
0时,m2
b2
a2k2
0时,m2
b2
a2k2
0,直线与双曲线相交于两点;
0,直线与双曲线相离,没有交点;
2222222222
amab)4ab(mbak)
0时m2b2a2k20,
k2
2,2
mb
2
a
直线与双曲线有一个交点;
相切
k不存在,ama时,直线与双曲线没有交点;
ma或ma直线与双曲线相交于两点;
0,焦点在y轴上)
十一、双曲线与切线方程
22
1、双曲线笃每1(a0,b0)上一点P(X0,y。
)处的切线方程是辱1。
abab
x2y2x0xy0y
2、过双曲线—21(a0,b0)外一点P(x°,y°)所引两条切线的切点弦方程是-02罗1
abab
2、2
3、双曲线x2每1(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2。
ab
椭圆与双曲线共同点归纳
十二、顶点连线斜率
双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K时得到不同的曲线。
椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55
1、A、B两点在X轴上时
(1)当斤〉0时轨迹是双曲线,除去氛B两点,与双曲线的标准方程4-4=1*比较知―賦、所以—匚
a2b2a
(2)当k——l时轨迹是圆,除去A,B两点;
(3)当-l—b2
B两点*其中女__吾;
L*C'
(4)当Z-1时,轨迹是焦点落在y轴上的椭圆,除去A,B
两点,其中"-孑
2、A、B两点在Y轴上时
结论3设点A,B的坐标分别为(Q-^(0?
(j)7直线AM,
BM相交于点那且它们的斜率之积是―-;二所求点M的
轨谡方程是务十卜IgQ)Q
结论4设点A「B的坐标分别为(QTE),直线AM,
BM相交于点乩且它们的斜率之枳是所求点M的/
轨迹方程是匚刍=如0)./
ad
\/
十三、面积公式
双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形,
2
Spf,f2bcot2
面积公式推导:
解:
在PRF2中,设RPF2,|PRA,]PF2『2,由余弦定理得
2印2
2芯
r)r22(c2a2)r1r2
2b2
I
2
•吋2cos
2
Hb2b
即r1r2
2b2//
1
cos
1.
1
2b2
2sin
.2,
…s卩证
r(r2sin
——
sin
b-
=bcot
2
21
cos
1cos
(r1r2)22r1r24c2
(2a)22花4c2
椭圆上一点与椭圆的两个焦点Fi,F2构成的三角形PF1F2称之为椭圆焦点三角形.Spf/2b2tan2
面积公式推导
r1r2cos2b2r1r2
十四、(双曲线中点弦的斜率公式):
22
设M(Xo,y°)为双曲线^2y?
ab
1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则有kAB匕
b2
~~2
a
证明:
设A(Xi,yi),B(X2,y2),则有kAB
yiy2
X2
Xi
2
X)
a
2
a
yi2
b2
yf
b2
两式相减得:
22
X-Ix2
2
a
22
yiy2
0整理得:
22
y/y2
22
XiX2
(yi
y2)(%y?
)
(XiX2)(X1X2)
2,因为M(xo,yo)是弦ABa
的中点,
所以koM
yo
Xo
2yo
2x0
■丄,所以kABkoM
X,X2
b2
a
椭圆中线弦斜率公式
£
~~2
a
双曲线基础题
1•双曲线2x2—y2=8的实轴长是()
A•2B•22C•4D•42
X\
2.设集合P=x,yX4—y2=1,Q={(x,y)|x—2y+1=0},记A=PAQ,则集合A中元素的个数是()
A•3B•1C•2D•4
22
3•双曲线16—七=1的焦点到渐近线的距离为()
A•2B•3C•4D•5
4•双曲线7—£=1的共轭双曲线的离心率是•\
能力提升'\
5•中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,—2),则它的离心率为()
x2y2
6•设双曲线~2—七=1(a>0)的渐近线方程为3xi2y=0,贝Va的值为()
a9
A•4B•3C•2D•1
7•从羊—琴=1(其中m,n€{—1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个,
则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()
22
的渐近线与圆(x—3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=()
&双曲线y—x=1
63
B•3C•4D•
n
9•\如图K51—1,在等腰梯形ABCD中,AB//CD且AB=2AD,设/DAB=0,张0,?
,以A、
B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,贝Ue1e=
10•已知双曲线孑—話=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的
右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是•/
11•已知双曲线|2—b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=.3x,它的一个焦点为F(6,0),则双
曲线的方程为•/
12•(13分)双曲线C与椭圆2x7+36=1有相同焦点,且经过点(.15,4)•
(1)求双曲线C的方程;
(2)若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且/F1PF2=120°,求厶F1PF2的面积.
难点突破
x2y2x2y2
13•
(1)(6分)已知双曲线二一2=1和椭圆r+2=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以a,
abmb
b,m为边长的三角形是()
A•锐角三角形
B•直角三角形
C•钝角三角形
D•锐角三角形或钝角三角形
(2)(6分)已知Fi、F2为双曲线C:
x2—y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且/FiPF2=60°则|PFi||PF2|=()
A•2B•4C•6D•8
双曲线综合训练
、选择题(本大题共7小题,每小题5分,满分35分)1.动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是()
A•双曲线B•双曲线的一支C.两条射线D•一条射线
2•设双曲线的半焦距为c,两条准线间的距离为d,且cd,那么双曲线的离心率e等于()
A.2B.3C..2D..3
3•过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,R是另一焦点,若/PRQ-,则双曲线的离心
2
率e等于()
A.、21
B.2C.、21D.、2
4.双曲线mx2
1
5.双曲线
面积为1,
1的虚轴长是实轴长的2倍,则m
)
1
D.-
4
1(a,b
且tanPF1F2
12x
A.
5
3y2
0)的左、右焦点分别为Fi,F2,点P为该双曲线在第一象限的点,
〔,tan
2
PF2F1
2,则该双曲线的方程为(
5x2
12
3y21
△PF1F2
C.3x2
12y2
5
x2
6.若F1、F2为双曲线
2
1的左、
b2
右焦点,
O为坐标原点,点P在双曲线的左支上,点
M在双
曲线的右准线上,且满足
FQPM,OP
(OF1OM)
OF1OM
A..2
2
7.如果方程—
p
1表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是
D.3
(0),则该双曲线的离心率为(
2
xA.
2qp
2
y_
q
2
xB.
qp
2
C.y-
2pqq
2
D.x—
2p/q
2
y_
q
、填空题:
(本大题共3小题,每小题5分,满分15分)
8.双曲线的渐近线方程为
x2y0,焦距为10,这双曲线的方程为
2
x
9.若曲线-
4
1表示双曲线,则k的取值范围是
10•若双曲线
1的渐近线方程为y
丄3x,则双曲线的焦点坐标是
2
三、解答题:
(本大题共
2小题,满分30分)
11.(本小题满分10分)双曲线与椭圆有共同的焦
点Fi(0,5)冋0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线
与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程。
12.(本小题满分20分)已知三点P(5,2)、F1(-6,0)、F?
(6,0)。
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;
(2)设点P、F1、F2关于直线y=x的对称「点分别为P、F;、F?
,求以F;、F?
为焦点且过点P的双曲线的标准方程•
【基础热身】
X『―1,所以a2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.
„2
1.C[解析]双曲线方程可化为48
/x2、
2.B[解析]由于直线x—2y+1=0与双曲线7—y2=1的渐近线
有一个交点,所以集合A中只有一个元素.故选B.
x2v2/\
3.B[解析]双曲线話—打=1的一个焦点是(5,0),一条渐近线是式可得d=|3X5—0|=3.故选B.
5
[解析]双曲线善—彳=1的共轭双曲线是彳—V7=1,所以a=3,
vJvJt
1
y=^x平行,所以直线与双曲线只
3x—4y=0,由点到直线的距离公
4
3.
b=■7,所以c=4,所以离心率e
【能力提升】
5.D[解析]设双曲线的标准方程为肇一£=1(a>0,b>0),所以其渐近线方程为y=*x,因为点(4,—2)在渐近线上,所以b=舟.根据c2=a2+b2,可得c=£解得e2=5所以e=^,故选D.
a2a442
223
6.C[解析]根据双曲线X2—y=1的渐近线方程得:
y=±^x,即ayi3x=0.又已知双曲线的渐近线
a9a
方程为3x±2y=0且a>0,所以有a=2,故选C.
7.B[解析]若方程表示圆锥曲线,贝U数组(m,n)只有7种:
(2,—1),(3,—1),(—1,—1),(2,2),
4
(3,3),(2,3),(3,2),其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以概率为P=7.故选B.
|2x30|
y=±2x,圆心为(3,0),所以半径r=±丽=^6.故选A.
连接BD,设AB=2,贝UDM=sin0,在Rt△BMD中,由勾股定理
&A[解析]双曲线的渐近线为
9.1[解析]作DM丄AB于M,得BD=5—4cos0,所以
\c_|AB|_2
e1=||BD|—|AD|厂—5—4cos0—1
|CDI2—2cos0
e*|AC|+|AD「5—4cosB+1,
所以eie2=1.
K—
10.[2,+s)[解析]依题意,双曲线的渐近线中,倾斜角的范围是[60°90°,所以tan60°=.3,
a
即b2>3a2,c2>4a2,所以e>2.
—£=1[解析]b={3,即卩b=>/3a,而c=6,所以b2=3a2=3(36—b2),得b2=27,a2=9,所以27a
X2y2双曲线的方程为—27=1.
12•[解答]
(1)椭圆的焦点为F1(0,—3),F2(0,3).设双曲线的方程为羊—X2=1,贝Ua2+b2=32=9•①又双曲线经过点C.15,4),所以16—15=1,②解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=—27(舍去),所以所求双曲线C的方程为y—7=1.
45
(2)由双曲线C的方程,知a=2,b=,5,c=3.
设|PF1|=m,|PF2|=n,贝V|m—n|=2a=4,平方得m2—2mn+n2=16.①在厶中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2—2mncos120°=m2+n2+mn=36②
由①②得mn=20,
所以△F1PF2的面积为S=2mnsin120=53^.
【难点突破】
a2+b2=m2,故选B.
13.
(1)B
(2)B[解析]
(1)依题意有aJb寫b=〔,化简整理得
⑵在△F1PF2中,由余弦定理得,
o|PF1|2+|PF2|2—IF1F2I2
cos60=2|PF1||PF2|/,|PF1|—|PF2|2—|F1F2|2+2|PF1||PF2|
2|PFi||PF2|
4a2—4c2—4b2
=+1=+1.
2|PFi||PF2|2|PFi||PF2|
因为b=1,所以|PFi||PF2|=4•故选B.
、选择题
1.D
PM
PN
2,而MN
2,
2
2
2a
2
c
-.C
c,c
2a2,e2
2
c
a
3•C△PF1F2是等腰直角三角形,
P在线段MN的延长线上
2,e2
PF2F1F22c,PF122c
PF1
PF22a,22c2c2a,e
A.
【思路分析】:
设p(x°,y°),
yo
yo
X0c
2,cy°
X0c
1,
.3
c,X0
2
2.3
5.3
L3
【命题分析】
:
考察圆锥曲线的相关运算
【思路分析】:
由F1OPM知四边形F1OMP是平行四边形,又
OP
OF1
◎
知0P平分
F1OM,即F1OMP是菱形,设OR
2ac2又PF2PF1I2aPF22ac,由双曲线的第二定义知:
e丄丄-1.且e1,
ce
e2,故选C.
【命题分析】:
考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的灵活性
7.D•由题意知,pq0若p0,q0,则双曲线的焦点在y轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在x
轴上,而选择支B,D不表示椭圆;
若p0,q0,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方c2pq,双曲线的焦点在x轴上,
选择支D的方程符合题意.
二、填空题
22
xy
8.
205
1设双曲线的方程为
2X