双曲线知识点总结及练习题.docx

1、双曲线知识点总结及练习题、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点Fi与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|FiF2|）的点的轨迹要注意两点：（1）距离之2a F1F2 （ a为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。差的绝对值。（2） 2av|FiF2|。当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点 F2所对应的一支;当|MF1| |MF2|= 2a时，曲线仅表示焦点 F1所对应的一支;当2a=|F1F21时，轨迹是一直线上以 F1、F2为端点向外的两条射线； 用第二定义证明比较简单 或两b。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条

2、轴上2 2 2 2(2)与双曲线 冷 占 1共焦点的双曲线系方程是 二 2y 1a2 b2 八2 k b2 k2 2(3 )双曲线方程也可设为： 乂 l(mn 0)m n三、双曲线的性质双曲线第一定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于 F1F2 )的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M MF1 MF2 2a 2a |证|yyF2FiFi第二定义：平面内与一个定点 F和一条定直线I的距离的比是常数 e,当e 1时, 动点的轨迹是双曲线。定点 F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e ( e 1 )叫做双曲线的离心率。yyFiF

3、i对称中心 原点0(0,0)焦点坐标焦点在实轴上，c Va2 b2 ；焦距：IfI 2c顶点坐标(a ,0)(a,0)(0, a,)(0, a)离心率eC(e a1), c2a2 b2 , e越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程x2 ac2 a y c准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a2c顶点A( a2)到准线I1 ( I2 )的距离为2 a a 顶点到准线的距离 /顶点A( A2)到准线12 ( I1 )的距离为c2 aac焦点到准线的距离焦占八 、八、焦占八 、八、Fi (Fi (F2)到准线F2)到准线h ( I2 )的距离为I2 ( h)的距离为2 . 2a b c

4、c c2 acc渐近线方程yb x a 2 1 2/虚、 b b(), c, c,头 a 和 abx - y a(头 将右边的常数设为 0,即可用解二兀二次的方法求出渐近线的解 、共渐近线的双曲线系方程2 x2 a2 y b2k ( k 0)2 2 y x2 , 2a bk ( k 0)2x 双曲线笃a2爲 1与直线y kx b的位置关系：b2利用2 x2V- 1.2 1十七2 斗_.二 、治七壬口 中助口卡為宀a2b2 转化为兀二次力程用判力别式确疋。直线和双曲线的位置ykx b二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长 |ab| Ji k(x1 x2)2 4x1x2通径:AB

5、 y2 yi2b2与椭圆一样a过双曲线上一点的切线XX2 a罟1或利用导数YoY xxa2/ b21或利用导数四、双曲线的参数方程:x a sec x a cos椭圆为y b tan y b sin五、弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A (xi,yi) B (X2,y2)两点，则2 21+k x1 x2AB =1 2-1+k2 、: y1 y2 4y2提醒解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的 思想方法。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用

6、第二定义求解六、焦半径公式2双曲线务a21 (a0，b0) 上有一动点 M (x0, y0) b2左焦半径:右焦半径:r= | ex+a |r= | ex-a |当 M(x,y)在左支上时 |MF!| ex0 a ,| MF2 |当 M(x0,y0)在右支上时 |MFj ex a ,| MF21 ex左支上绝对值加-号，右支上不用变化2bA、B两点，则弦长| AB |a双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则:（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号）MF1MF 2exo a构成满足MF 1 MF 2ex0 a2a注：焦半径公式是关于 X。的一次函数，具有单调性，当 M（x

7、,y）在左支端点时IMF1I c a，IMF2I c a，当 M(Xo,y)在左支端点时 | MR | c a , | MF2 | c a2占 1 （a0，b0）当a b时称双曲线为等轴双曲线b2离心率e 2；两渐近线互相垂直，分别为 y= x ；等轴双曲线的方程八、共轭双曲线以已知的虚轴为,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线。2与02/ a2y_2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:20b2九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1点与双曲线占八、P( Xo, yo)在双曲线占八、占八、2.2ab22xy2 ab222xy2 ab2P(xo, y)

8、在双曲线P(x, y)在双曲线2 x21(a1(a1(a直线与双曲线代数法:设直线l : y kxm，双曲线2x2a0,b0,b0,b0)的内部0)的外部0)上2Xg2a1(a 0,b(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2-2(1)0时,(2) mB, ka0时,k a -或 a-，直线与双曲线交于两点ak存在时，若-2若 b2 a2k22x0a2x0ay0b22ycb20)联立解得k不存在时，直线与双曲线没有交点;a2k2代值验证，如x2 y2 1，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点;2 22a mk)4(b22 2a k )(0 时，m2b2a2k20 时，m2b2a2k

9、20,直线与双曲线相交于两点;0,直线与双曲线相离，没有交点;2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a m a b ) 4a b (m b a k )0时 m2 b2 a2k2 0 ,k22 ,2m b2a直线与双曲线有一个交点;相切k不存在， a m a时，直线与双曲线没有交点;m a或m a直线与双曲线相交于两点;0，焦点在y轴上)十一、双曲线与切线方程2 21、双曲线 笃 每 1(a 0,b 0)上一点P(X0,y。)处的切线方程是 辱 1。a b a bx2 y2 x0x y0y2、 过双曲线 2 1(a 0,b 0)外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是 -02 罗 1a b

10、a b2、 23、 双曲线x2每 1(a 0,b 0)与直线Ax By C 0相切的条件是A2a2 B2b2 c2。a b椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K时得到不同的曲线。椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P551、A、B两点在X轴上时(1)当斤0时轨迹是双曲线，除去氛B两点，与双曲线 的标准方程4-4=1*比较知賦、所以匚a2 b2 a(2)当kl时轨迹是圆，除去A, B两点；(3)当-lfr0)的渐近线方程为3xi2y= 0,贝V a的值为( )a 9A 4 B 3 C 2 D 17从羊琴=1(其中m, n 1,2,3)所表示的圆锥曲

11、线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在 x轴上的双曲线方程的概率为 ( )2 2的渐近线与圆(x 3)2 + y2=r2(r0)相切，则r =()&双曲线yx = 16 3B 3 C 4 D n9 如图 K51 1,在等腰梯形 ABCD 中，AB / CD 且 AB= 2AD，设/ DAB = 0,张 0, ?，以 A、B为焦点且过点 D的双曲线的离心率为 e1，以C、D为焦点且过点 A的椭圆的离心率为 e2,贝U e1 e =10 已知双曲线 孑話=1(a0 , b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

12、/11 已知双曲线|2 b2 = 1(a0 , b0)的一条渐近线方程为 y = . 3x,它的一个焦点为 F(6,0)，则双曲线的方程为 /12 (13分)双曲线C与椭圆2x7 + 36= 1有相同焦点，且经过点(.15 , 4) (1)求双曲线C的方程；(2)若F1, F2是双曲线C的两个焦点，点 P在双曲线C上，且/ F1PF2= 120 ,求厶F1PF2的面积.难点突破x2 y2 x2 y213 (1)(6分)已知双曲线 二一2= 1和椭圆r+ 2= 1(a0 , mb0)的离心率互为倒数，那么以 a,a b m bb, m为边长的三角形是( )A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角

13、形D 锐角三角形或钝角三角形(2)(6分)已知Fi、F2为双曲线C： x2 y2= 1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且/ FiPF2= 60 则 |PFi| |PF2|=( )A 2 B 4 C 6 D 8双曲线综合训练、选择题（本大题共 7小题，每小题5分，满分35分） 1.动点P到点M（1,0）及点N（3,0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）A 双曲线 B 双曲线的一支 C.两条射线 D 一条射线2设双曲线的半焦距为 c，两条准线间的距离为 d，且c d，那么双曲线的离心率 e等于（ ）A . 2 B. 3 C. . 2 D. . 33过双曲线的一个焦点 F2作垂直于实轴的弦 PQ

14、, R是另一焦点，若/ PRQ -，则双曲线的离心2率e等于（ ）A. 、2 1B . 2 C . 、2 1 D . 、24.双曲线mx215.双曲线面积为1,1的虚轴长是实轴长的2倍，则m)1D .-41(a,b且 tan PF1 F212xA .53y20）的左、右焦点分别为Fi, F2,点P为该双曲线在第一象限的点,，tan2PF2F12,则该双曲线的方程为（5x2123y2 1 PF1F2C . 3x212y25x26.若F1、F2为双曲线21的左、b2右焦点,O为坐标原点，点 P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足FQ PM,OP(OF1 OM )OF1 OMA. .22

15、7 .如果方程p1表示曲线，则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是D . 3（ 0），则该双曲线的离心率为（2x A .2q p2y_q2x B .q p2C . y-2p q q2D . x2p/q2y_q、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15 分）8 .双曲线的渐近线方程为x 2y 0,焦距为10，这双曲线的方程为2x9 .若曲线 -41表示双曲线，则k的取值范围是10 若双曲线1的渐近线方程为y丄3x,则双曲线的焦点坐标是2三、解答题:(本大题共2小题，满分30分)11.(本小题满分10分)双曲线与椭圆有共同的焦点Fi(0, 5)冋0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个

16、交点，求渐近线与 椭圆的方程。12.(本小题满分 20 分)已知三点 P (5, 2)、F1 (- 6, 0)、F? (6, 0)。(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；(2) 设点P、F1、F2关于直线y = x的对称点分别为P、F；、F?，求以F；、F?为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程【基础热身】X 1，所以a2 = 4，得a= 2，所以2a = 4.故实轴长为4.21.C 解析双曲线方程可化为4 8/ x2、2. B 解析由于直线x 2y+ 1 = 0与双曲线7 y2= 1的渐近线有一个交点，所以集合 A中只有一个元素.故选 B.x2 v2 / 3.B 解析双曲线話打=

17、1的一个焦点是(5,0), 一条渐近线是 式可得d= |3X 5 0| = 3.故选B.5解析双曲线善彳=1的共轭双曲线是 彳V7 = 1,所以a = 3,vJ vJ t1y=x平行，所以直线与双曲线只3x 4y= 0,由点到直线的距离公43.b = 7,所以c= 4,所以离心率e【能力提升】5. D 解析设双曲线的标准方程为 肇一= 1(a0, b0),所以其渐近线方程为 y=*x,因为点(4, 2)在渐近线上，所以b =舟.根据c2= a2 + b2,可得c= 解得e2= 5所以e=，故选D.a 2 a 4 4 22 2 36. C 解析根据双曲线X2 y = 1的渐近线方程得：y=x，即

18、ayi3x= 0.又已知双曲线的渐近线a 9 a方程为3x2y = 0且a0,所以有a= 2,故选C.7. B 解析若方程表示圆锥曲线，贝U数组(m, n)只有7种：(2, 1), (3, 1), ( 1, 1), (2,2),4(3,3), (2,3), (3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在 x轴上的双曲线，所以概率为 P = 7.故选B.| 2 x 3 0|y = 2x,圆心为(3,0)，所以半径r = 丽 =6.故选A.连接BD，设AB= 2，贝U DM = sin 0,在Rt BMD中，由勾股定理& A 解析双曲线的渐近线为9. 1 解析作DM丄AB于M， 得 BD = 5 4c

19、os 0,所以 c _ |AB| _ 2e1 = |BD|AD|厂5 4cos 0 1|CD I 2 2cos 0e*|AC|+ |AD5 4cosB+ 1，所以 ei e2= 1.K 10 . 2，+s )解析依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是60 90 ，所以tan60 = . 3,a即 b23a2, c24a2，所以 e2. = 1 解析b =3,即卩 b = /3a，而 c = 6，所以 b2= 3a2= 3(36 b2)，得 b2= 27, a2= 9,所以 27 aX2 y2 双曲线的方程为 27= 1.12 解答(1)椭圆的焦点为 F1(0, 3), F2(0,3). 设双

20、曲线的方程为 羊X2 = 1,贝U a2 + b2= 32= 9 又双曲线经过点C.15, 4)，所以16 15 = 1， 解得 a2= 4, b2= 5 或 a2= 36, b2= 27(舍去), 所以所求双曲线 C的方程为y 7 = 1.4 5(2)由双曲线 C的方程，知 a= 2, b = , 5, c= 3.设 |PF1|= m, |PF2|= n,贝V |m n|= 2a = 4, 平方得 m2 2mn+ n2= 16. 在厶 中，由余弦定理得(2c)2 = m2+ n2 2mncos120= m2+ n2+ mn=36由得mn = 20，所以 F1PF2 的面积为 S= 2mnsi

21、n120 = 53.【难点突破】a2+ b2= m2，故选 B.13 . (1)B (2)B 解析(1)依题意有 a J b 寫 b =，化简整理得在 F1PF2中，由余弦定理得，o |PF1|2+ |PF2|2 IF1F2I2cos60 = 2|PF1| |PF2| /， |PF1| |PF2| 2 |F1F2|2+ 2|PF1| |PF2|2|PFi| |PF2|4a2 4 c2 4b2= + 1 = + 1.2|PFi| |PF2| 2|PFi| |PF2|因为 b = 1,所以 |PFi| |PF2|= 4故选 B.、选择题1 . DPMPN2,而 MN2,222a2c-.Cc,c2a

22、2,e22ca3 C PF1F2是等腰直角三角形,P在线段MN的延长线上2,e 2PF2 F1F2 2c, PF1 2 2cPF1PF2 2a, 2 2c 2c 2a,eA.【思路分析】：设p(x,y),yoyoX0 c2, cyX0 c1,.3c , X022.35.3L 3【命题分析】:考察圆锥曲线的相关运算【思路分析】：由F1O PM知四边形F1OMP是平行四边形，又OPOF1知0P平分F1OM，即F1OMP是菱形，设 OR2a c 2 又PF2 PF1I 2a PF2 2a c，由双曲线的第二定义知： e 丄丄 -1 .且 e 1,c ee 2，故选C.【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性7 .D 由题意知,pq 0若p 0,q 0 ,则双曲线的焦点在 y轴上,而在选择支A,C中，椭圆的焦点都在x轴上，而选择支B,D不表示椭圆；若p 0,q 0,选择支A,C不表示椭圆，双曲线的半焦距平方 c2 p q,双曲线的焦点在x轴上,选择支D的方程符合题意.二、填空题2 2x y8.20 51 设双曲线的方程为2 X