中考冲刺数学重点题型及答案含详细解析精华.docx
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中考冲刺数学重点题型及答案含详细解析精华
2021年中考冲刺数学重点题型及答案含详细解析（精华）
一、单选题
1、|﹣6|＝（ ）
A．﹣6B．6C．﹣
D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：
﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．
故选：
B．
【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2、如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于
AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8B．10C．11D．13
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．
【解答】解：
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8．
故选：
A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：
熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
3、已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作
，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交
于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．MN＝3CD
【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【解答】解：
由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝
∠MON＝20°，故B选项正确；
∵∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝20°，
∴∠OCD＝∠OCM＝80°，
∴∠MCD＝160°，
又∠CMN＝
∠AON＝20°，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：
D．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
4、下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：
A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝
＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，
∴∠QBD＝∠BDQ，
∴QB＝QD，
∴QP＝2QB，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴
＝
＝
，即
＝
＝
，
解得，CP＝
，
∴AP＝CA﹣CP＝
，
故选：
B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6、若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1•x2的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣4D．4
【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解．
【解答】解：
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，
∴x1•x2＝
＝﹣5．
故选：
A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于
是解题的关键．
7、《增删算法统宗》记载：
“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？
”其大意是：
有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？
已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+2x+4x＝34685B．x+2x+3x＝34685
C．x+2x+2x＝34685D．x+
x+
x＝34685
【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：
设他第一天读x个字，根据题意可得：
x+2x+4x＝34685，
故选：
A．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8、小明总结了以下结论：
①a（b+c）＝ab+ac；
②a（b﹣c）＝ab﹣ac；
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）
其中一定成立的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：
①a（b+c）＝ab+ac，正确；
②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；
③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；
④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9、下列运算正确的是（ ）
A．a•a2＝a2B．5a•5b＝5abC．a5÷a3＝a2D．2a+3b＝5ab
【分析】直接利用单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．
【解答】解：
A、a•a2＝a3，故此选项错误；
B、5a•5b＝25ab，故此选项错误；
C、a5÷a3＝a2，正确；
D、2a+3b，无法计算，故此选项错误．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10、图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，则S俯＝（ ）
A．x2+3x+2B．x2+2C．x2+2x+1D．2x2+3x
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【解答】解：
∵S主＝x2+2x＝x（x+2），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯＝（x+2）（x+1）＝x2+3x+2，
故选：
A．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
二、填空题
1、因式分解：
x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：
原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：
（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
2、如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 a+8b （结果用含a，b代数式表示）．
【分析】用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长度．
【解答】解：
由图可得，拼出来的图形的总长度＝9a﹣8（a﹣b）＝a+8b．
故答案为：
a+8b．
【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
3、如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °（点A，B，P是网格线交点）．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：
延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：
45．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4、如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9 cm2．（结果保留一位小数）
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【解答】解：
过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，
∴S△ABC＝
AB•CD＝
×2.2×1.7≈1.9（cm2）．
故答案为：
1.9．
【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
5、武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：
℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是 23℃ ．
【分析】根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：
将数据重新排列为18、20、23、25、27，
所以这组数据的中位数为23℃，
故答案为：
23℃．
【点评】此题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
三、解答题（难度：
中等）
1、解方程组：
．
【分析】运用加减消元解答即可．
【解答】解：
，
②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，
把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，
故原方程组的解为
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
2、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F在AC上时，求证：
DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？
若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
【分析】
（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；
（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．
【解答】解：
（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知：
DF＝DC，且点F在AC上
∴∠DFC＝∠C＝60°
∴∠DFC＝∠A
∴DF∥AB；
（2）存在，
过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB＝BC＝6，BD＝4，
∴CD＝2
∴DF＝2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°
∴MD＝2
∴S△ABF的最小值＝
×6×（2
﹣2）＝6
﹣6
∴S最大值＝
×2×3
﹣（6
﹣6）＝﹣3
+6
（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE
∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°
∵GD⊥EF，∠EFD＝60°
∴FG＝1，DG＝
FG＝
∵BD2＝BG2+DG2，
∴16＝3+（BF+1）2，
∴BF＝
﹣1
∴BG＝
∵EH⊥BC，∠C＝60°
∴CH＝
，EH＝
HC＝
EC
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°
∴△BGD∽△BHE
∴
∴
∴EC＝
﹣1
∴AE＝AC﹣EC＝7﹣
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．
3、某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：
该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
注：
周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
②该商品进价是 40 元/件；当售价是 70 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 1800 元．
（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足
（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
【分析】
（1）①依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax2+bx+c：
解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣800﹣200m，由于对称轴是x＝
，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：
（1）①依题意设y＝kx+b，
则有
解得：
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；
②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，
设每周获得利润w＝ax2+bx+c：
则有
，
解得：
，
∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：
40，70，1800；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣8000﹣200m，
∵对称轴x＝
，
∴①当
＜65时（舍），②当
≥65时，x＝65时，w求最大值1400，
解得：
m＝5．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：
数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
4、某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？
【分析】
（1）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；
（2）利用w＝yx﹣p和
（1）中y与x的关系式得到w与x的关系式；
（3）把
（2）中各段中的w分别减去0.3x得到w′与x的关系式，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．
【解答】解：
（1）当0≤x≤30时，y＝2.4；
当30≤x≤70时，设y＝kx+b，
把（30，2.4），（70，2）代入得
，解得
，
∴y＝﹣0.01x+2.7；
当70≤x≤100时，y＝2；
（2）当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）＝1.4x﹣1；
当30≤x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）＝﹣0.01x2+1.7x﹣1；
当70≤x≤100时，w＝2x﹣（x+1）＝x﹣1；
（3）当0≤x＜30时，w′＝1.4x﹣1﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w′的最大值为32，不合题意；
当30≤x≤70时，w′＝﹣0.01x2+1.7x﹣1﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，当x＝70时，w′的最大值为48，不合题意；
当70≤x≤100时，w′＝x﹣1﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w′的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80，
所以产量至少要达到80吨．
【点评】本题考查了一次函数的应用：
学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和利用一次函数的性质是完整解决问题的关键．
5、关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【解答】解：
∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，
解得：
m≤1，
∵m为正整数，
∴m＝1，
∴x2﹣2x+1＝0，
则（x﹣1）2＝0，
解得：
x1＝x2＝1．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
6、先化简，再求值：
（x﹣1）÷（x﹣
），其中x＝
+1．
【分析】先化简分式，然后将x的值代入计算即可．
【解答】解：
原式＝（x﹣1）÷
＝（x﹣1）•
＝
，
当x＝
+1，
原式＝
＝1+
．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
7、有个填写运算符号的游戏：
在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：
1+2﹣6﹣9；
（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；
（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．
【分析】
（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；
（3）先写出结果，然后说明理由即可．
【解答】解：
（1）1+2﹣6﹣9
＝3﹣6﹣9
＝﹣3﹣9
＝﹣12；
（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，
∴1×
×6□9＝﹣6，
∴3□9＝﹣6，
∴□内的符号是“﹣”；
（3）这个最小数是﹣20，
理由：
∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，
∴1□2□6的结果是负数即可，
∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，
∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，
∴这个最小数是﹣20．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法．
8、为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：
设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：
甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．
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