大学计算物理学绪论.docx

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大学计算物理学绪论

计算物理学研究如何使用数值方法解决已经存在定量理论的物理问题。

在物理学中，大量的问题是无法严格求解的。

有的问题是因为计算过于复杂，有的问题则根本就没有解析解。

比如，经典力学中，三体以上问题，一般都无法求解。

量子力学中，哪怕是单粒子问题，也只有在少数几种简单势场中的运动可以严格求解。

因此，在现代物理中，数值计算方法已变得越来越重要。

计算物理与理论物理和实验物理相互依存相互补充，是物理学不可缺少的三大板块之一。

计算物理常用软件有Matlab,Mathematica和Maple。

常见研究问题

积分的计算，常微分方程的解算，蒙特卡罗法，有限元分析，本征值问题。

凝聚态物理学中常见的数值计算方法：

密度矩阵重整化群、量子蒙特卡罗法、精确对角化法

物理学分支

基础物理

经典力学、连续介质力学、热力学、统计力学、经典电磁学、相对论、量子力学

研究领域

力学、声学、热学、电磁学、光学、凝聚态物理学、固体物理学、等离子体物理学、分子物理学、原子物理学、原子核物理学、粒子物理学

交叉和应用学科

计算物理学天体物理学、物理宇宙学、生物物理学、化学物理学、材料科学、电子学、非线性物理学、

理论物理是分析的科学，它从一系列的基本原理和基本假设出发，列出相应的数学方程，运用传统的或现在的数学方法求出问题的显式解析解，用这些解析解的结论去解释物理现象，预见新的现象，指导实验。

实验物理是从实验观测出发，发现新的物理现象，为理论物理提供总结新的物理规律的素材，检验理论物理的假设或理论物理预言的正确程度和适用范围等。

计算物理是伴随着电子计算机的出现和发展而逐步形成的一门新兴的边缘学科。

是以电子计算机为工具、采用数学方法解决物理问题的应用科学。

是物理、数学和计算机三者相结合的产物。

现在流行的数学工具软件，如Maple，Matlab，Mathematica，已将绝大多数数值计算方法设计成简单的函数，经简单的调用就可得出结果。

但由于实际问题具体特性的复杂性以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择和设计适合于自己所要解决的特定问题的算法，因而掌握数值计算方法的思想和内容是必须的。

计算物理的起源、形成与发展

传统的物理学：

理论物理，实验物理，都离不开数值计算，如海王星的发现及其轨道计算就是一个典型例子。

但早期的计算仅使用人力或简单的计算工具，其功能和效率都极其有限。

这种计算不能成为一个学科分支。

牛顿力学方程只有二体问题是可解得，三体以上的问题折磨了全世界许多优秀的数学家和理论物理学家，仍然没有解析解。

量子力学的薛定谔方程，除了氢原子和简谐振子外没有一个真实的物理问题可以找到解析解。

20世纪40年代初，在由于战争的需要开始了核武器研制。

涉及的问题：

流体动力学过程、核反应过程、中子输运过程、光辐射输运过程、物态变化过程等；都是十分复杂的非线性方程组，不可能用传统的解析方法求解。

由于需要在短时间内进行大量复杂的数值计算，从而促使了计算机的延生和新物理学科的形成。

1944年，世界上第一台“自动序列受控计算机MarkI制成，主要部件是继电器，速度仅每秒3次加法。

在美国原子弹研制中起了重要作用。

1946年初，世界上第一台电子管计算机ENLAC投入运行，速度为每秒5000次加法。

电子计算机的出现，为计算物理奠定了物质基础。

费米（Fermi1901－1954）：

美籍意大利物理学家，对统计物理、原子物理、原子核物理、粒子物理、中子物理都有重要贡献。

由于中子核反应的发现，1938年获得诺贝尔物理学奖。

费米是20世纪上半叶国际上最有才华的科学家之一，在第二次世界大战期间，他领导建设了第一个实现原子核链锁裂变的反应堆。

战后费米对计算机发生兴趣，经常去访问LosAlamos，这个地方一直拥有世界上最强大的计算能力。

他和乌勒姆（S.Ulerm），巴斯塔（J.Pasta）等人讨论计算机的未来应用。

他首先想到的是研究非线性系统长时间行为和大尺度性质（这是用解析方法无法处理的问题），并于1952年夏天设计了一个计算机实验，一年后，在当时用来进行氢弹设计的MANIAC计算机上实现。

1954年11月，费米逝世，他的合作者继续工作，于1955年5月写出LosAlamos研究报告LA-1940。

这篇秘密报告历经多年、解密后被正式收入《费米全集》。

这篇具有重大意义的报告，被许多人认为是计算物理的正式起点，因为它提出了许多问题，带来了当时谁也未曾想到的重大发展。

从此，物理问题的计算与计算机相互促进，开始蓬勃发展。

1950年，全世界还只有15台计算机，到1962年9月，仅美国就有了16817台。

科学家们从原子弹设计中使用计算机求解复杂物理问题取得成功而得到启示，迅速将这种方法推广应用到物理学的其他领域：

天体物理、大气物理、等离子体物理、核物理、原子分子物理、固体物理、统计物理和基本粒子物理等，而且还应用到气象预报、水利、海洋、地震、石油、化工甚至人体科学等各个科学技术领域。

1965年，Harlow和Fromm在《ScientificAmerican》杂志发表“流体力学的计算机实验”一文。

几乎同时，Macagno在法国《LaHaulilleBlanche》杂志上发表“水力学模拟的某些新方面”的论文。

第一次提出了计算机实验和数值模拟的概念。

与此同时，为计算物理服务的许多程序库和数据库也相继建立。

这些工作迅速地推进了计算物理的普及和发展。

这些新概念的提出、新物理现象的发现，说明计算物理的目的不仅是计算出结果，还在于理解、预言和发现新的物理现象，寻求物理规律。

在这一点上，它与传统的实验物理和理论物理没有什么不同，差别只在于工具和方法。

计算物理这一新的学科起源于20世纪40年代，形成于60年代。

计算物理的进一步发展

1983年，在美国国防部、能源部、国家科学基金会和国家航天局主持下，以美国著名数学家拉克斯为首的不同学科的专家委员会向美国政府提出报告，强调“科学计算是关系到国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家命脉的大事”。

计算物理的特征

计算物理的研究内容（计算机实验）

凡是局部瞬时的物理规律已知或被假设，要想求得大范围长时间的物理现象的发展过程，便属于计算物理学的范围。

从局部关系到大范围依赖于计算机的大容量。

由瞬时规律发展为长时间的过程依赖于计算机的高速度。

计算物理相对于理论物理的优越性

理论物理中利用数学方程组求解物理问题时，通常将问题大加简化，这些简化包括：

复杂问题只考虑少数主要因素：

质点，黑体近似等；动态过程只考虑最后达到的静态状况：

热平衡等；将非线性因素硬作线性化处理；将变系数硬作常系数处理；将复杂的边界简化为规则的边界等等。

将问题简化到能够求出显式解析解，需要对事物的本质有很深的理解和相当高超的推导技巧。

简化过程中也可能抛弃一些本质特征。

计算物理利用计算机能恢复对客观事物本质的描述和模拟：

如可以多考虑一些因素，可以模拟动态过程，可以保持非线性特性，可以保留变系数特点，可以考虑较复杂的边界条件等。

这些优点使计算物理即可对物理过程进行仿真，发现物理现象，提供新的信息，又可对物理问题进行数值分析，为理论物理提供反映物理规律的数据。

计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理，同时又是用计算机武装起来的理论物理。

计算物理相对于实验物理的优越性

第一，计算机实验比物理实验省钱省时

例如大型风洞，设备投资巨大，建设周期长，使用时耗电多，所以目前在飞机、导弹等设计方面大都先采用计算选型，然后再选几个模型进行吹风试验，最后定型，这比早先单纯靠风洞吹风的办法要经济、有效得多。

再如加速器实验，每小时耗电3万元。

新元素的合成，几个月发生一个事件。

第二，计算机实验比物理实验有更大的自由度和灵活性，也很安全，它不存在物理实验中的测量误差和系统误差，没有测试探头的干扰问题，还可以较自由地选取参数。

如地下核试验问题，由于不确定性因素太多，有些测量的误差是很难进行分析的。

如电子双缝衍射实验，看到电子的运动轨迹，就无衍射条纹。

第三，在物理实验很困难甚至不能进行的场合，仍可进行计算机实验。

如测量中子星的密度，测量星体内部的温度分布、天体演化，理想情况实验等。

计算物理方法区别于计算数学方法的特点：

1）计算物理从物理问题出发，以物理结论为结果，以与实验数据的对比为其结束；而计算数学则是从数学方程出发，以求得方程的近似解告终。

计算物理工作者选用计算方法时要考虑算法和结果的物理意义；而计算数学工作者最感兴趣的是算法的逼近阶，计算精度和稳定性等问题。

例如：

在常微分方程数值解法中，欧拉折线法是原始的低阶方法，龙格库塔法则是高阶（四阶）的精确方法。

从计算数学的角度看，后者好；但从计算物理的角度看，实际问题中的未知函数并不总存在高阶导数，利用高阶方法计算往往得不出正确结果，更不用说精确了。

而欧拉法却有明显的物理意义，便于分析和寻求规律性，因此常常宁可用低阶的欧拉法，或者在低阶方法取得一定的规律性后再用高阶方法作对比计算或大规模计算。

2）计算物理的任务是寻求物理规律，解决物理问题，因而可以不拘泥于数学方法。

物理问题归结为微分方程时，实际上是由原始的差分关系取极限得来的，原始差分关系中的每一项都有物理意义。

从计算物理角度看，未必一定要把它变成微分方程，再人为地离散化为差分方程，它可以直接由原始差分关系编程上机计算。

再比如，有些物理问题用蒙特卡罗方法求解的话，那更是直接对物理问题进行模拟。

3）计算物理特别重视物理问题的边界处理，因为边界条件是由实际物理问题得出的，对求解往往具有决定性的作用，它的处理极大地影响数值解的精确度，甚至影响数值计算的稳定性。

在计算数学中，由于边界条件已被抽象成数学表达式，不考虑实际的物理意义，因而常常不重视边界处理，而着重研究内点差分格式。

4）计算物理方法受物理问题本身的启示，常可利用对物理现象的直观概念，创造新的计算方法。

如流体动力学的“人为粘性法”就是一个典型例子。

5）在分析整理大量计算数据的基础上，计算物理工作者还常常关心构造近似解析解，以利于科学家和工程师应用，并且这也是寻求和反映物理规律的一种方法。

计算物理的研究过程

计算物理与工程计算有关的科学一样，遵循一条普遍共同的规律，其求解过程有四个环节

物理机理：

如各种物理量的守恒规律、运动规律等，也包括具体的条件，如参数、几何形状和其它原始资料。

数学提法：

通常表示为连续形式的微分（积分）方程和相应的定解条件。

离散模型：

通常表示为离散形式的代数方程，如差分方程。

算法程序：

即离散方程求解的算术步骤。

这四个环节再加上“上机计算”和“结果分析”就构成了计算物理的整个工作流程，其流程图如下：

1

1.物理问题阶段

由于人们对自然规律认识的局限性，加上外界条件的多变性，物理学家在形成物理模型时，只能抓住其主要矛盾和矛值的主要方面，必然要进行各种近似。

计算物理工作者应对所建立或所采用的物理模型做到心中有数，至少对数量变化范围有粗估结果。

2.数学模型阶段

有时宁可保留守恒型的微分（积分）方程，不必进一步简化，以利于离散化后能保持守恒的性质。

为了便于探索各种物理机理，边界条件应尽可能考虑到各种可能性，不致于发生为计算不同的模型而经常修改程序－大型程序修改非常复杂

3.离散模型阶段

要注意根据不同的实际问题选择不同的计算方法。

总的原则是：

较弱的稳定性限制、较高的精度、便于编写程序、较高的计算效率，不要片面追求逼近阶太高，以致逻辑复杂。

但是，如果逻辑太简单，可能稳定性要求太严，以致机器计算机时间太多。

计算格式的选取应以物理机理为背景，以能否正确反映微分方程所描述的物理现象为依据。

4.算法程序阶段

实际包括逻辑设计和程序编制两大部分，是一件十分细致和繁琐的工作。

应考虑到程序的易读性和通用性，采用“结构化”的方法编制程序，以利于大型程序的编写和未来发展。

科学计算程序大多采用FORTRAN语言编制。

（5）上机计算阶段

实际上应包括程序调试和正式计算两步。

程序调试过程中要和已有的数据进行对比。

（6）结果分析阶段

首先要对计算结果的合理性和可信性作出判断；其次要对结果作出物理解释，需要旁敲侧击，斟酌再三。

综上所述，计算物理研究的全过程，应该包括提出和分析问题、建立物理模型和数学模型、选择计算方法、误差估计、收敛性和稳定性论证、编写和调试程序、上机计算、计算出结果，对结果进行评价等一系列环节。

最后强调，由于实际问题的复杂性，计算物理的全过程是一个循环往复、渐趋正确的过程。

计算物理工作者既要有严谨、清晰的分析方法，又要有耐心细致的工作作风。

计算物理的研究方法

1.物理模型和数学模型的建立。

自然界千变万化，近代科学技术问题十分复杂，任何一种科学研究都不可能、也不必要包罗万象地去考虑一切因素的影响，而总是抓住一些主要因素，忽略多种次要因素，去研究问题的实质。

科学研究总是在这样那样的假设条件下进行的。

对复杂的物理现象进行分析，概括和抽象，提出反映现象本质的一些因素，形成物理模型，这是计算物理的首要任务，只有在物理模型的基础上，才能建立数学方程，进行求解。

建立物理模型是计算物理的首要任务。

物理模型的建立，概括地说有两大类基本模型：

离散模型；连续模型。

大多数物理过程是个复杂的过程，这给求解带来很大困难，实际数值计算时，不得不再作这样或那样的近似处理。

所以计算物理的主要方法之一就是在简化物理模型的基础上，对各式各样的微分方程（或微分积分方程等）进行数值求解。

本书中主要方法

计算物理学具体的方法有：

蒙卡特罗方法（不确定性方法）、分子动力学方法（确定性）有限差分法，有限元素法，计算机代数（mathmatic，matlab），神经元网络方法，元胞自动机方法，高性能并行计算。

一个多粒子体系的实验可以观测的物理量（状态量）的数值可以由其涉及的态的量值的总的统计平均求得。

实际上按照产生位形变化的方法，有两类方法对有限的系列态的物理量做统计平均。

数学模型应有以下特点：

把每个求解的数学问题用计算机所能处理的四则运算和有限形式的公式表示出来；每个数值方法要保证收敛性，还要保持稳定性；数值方法有良好的计算复杂性：

即运算次数要少，所需存储量要小。

对一个问题，如果：

1.对输入数据的每个容许集，这个问题有一个解（解的存在性）;而且至多有一个解（解的唯一性）；2.输入数据一个充分小的扰动，引起解的一个微小改变（对数据的连续依赖性）；

则我们说这个问题是适定的。

对于适定问题，一个合理的算法将产生好的答案。

对于不适定问题，可能对任何一个算法都不会产生好的答案。

物理的重要性

计算在物理学中，大量的问题是无法严格求解的。

有的问题是因为计算过于复杂，有的问题则根本就没有解析解。

比如，经典力学中，三体以上问题，一般都无法求解。

量子力学中，哪怕是单粒子问题，也只有在少数几种简单势场中的运动可以严格求解。

因此，在现代物理中，数值计算方法已变得越来越重要。

计算物理学在八十年代还只被作为沟通理论物理学与实验物理学之间的桥梁。

但是最近几年，随着计算机技术的飞速发展和计算方法的不断完善，计算物理学在物理学进一步发展中扮演着越来越重要的不可替代的角色，计算物理学越来越经常地与理论物理学和实验物理学一起被并称为现代物理学的三大支柱。