知识点127直接开平方法填空题.docx
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知识点127直接开平方法填空题
1.(2011•淄博)方程x2﹣2=0的根是 ±
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
这个式子先移项,变成x2=2,从而把问题转化为求2的平方根,直接得出答案即可.
解答:
解:
移项得x2=2,
∴x=±
.
故答案为:
±
.
点评:
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.
2.(2011•淮安)一元二次方程x2﹣4=0的解是 x=±2 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
方程思想。
分析:
式子x2﹣4=0先移项,变成x2=4,从而把问题转化为求4的平方根.
解答:
解:
移项得x2=4,
∴x=±2.
故答案是:
x=±2.
点评:
本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法.解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
3.(2010•眉山)一元二次方程2x2﹣6=0的解为 ±
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
先把式子移项,变成x2=3,从而把问题转化为求3的平方根.
解答:
解:
2x2﹣6=0,
2x2=6,
x2=3,
x=±
.
点评:
主要考查直接开平方法解方程.
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).
法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
4.(2010•贵阳)方程x2+1=2的解是 ±1 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
先把等号左边的1移到等号的右边,再用直接开方法求解.
解答:
解:
移项,得x2=2﹣1,
合并,得x2=1,
开方,得x=±1.
点评:
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
5.(2009•温州)方程(x﹣1)2=4的解为 3或﹣1 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
观察方程的特点,可选用直接开平方法.
解答:
解:
(x﹣1)2=4,即x﹣1=±2,所以x1=3,x2=﹣1.
点评:
用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
6.(2009•綦江县)一元二次方程x2=16的解是 ±4 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
由于本题符合直接开平方法必须具备两个条件:
①方程的左边是一个完全平方式;②右边是非负数,所以利用数的开方解答.
解答:
解:
开方得x=±
,即x1=4,x2=﹣4.
点评:
解决本题的关键是理解平方根的定义,注意一个正数的平方根有两个,这两个数互为相反数.
7.(2008•孝感)在实数范围内定义运算“☆”,其规则为:
a☆b=a2﹣b2,则方程(4☆3)☆x=13的解为x= ±6 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
新定义。
分析:
按照题中给出的规则运算.其规则为:
a☆b=a2﹣b2.
解答:
解:
其规则为:
a☆b=a2﹣b2,
则方程(4☆3)☆x=13解的步骤为:
(42﹣32)☆x=13,
7☆x=13,
49﹣x2=13,
x2=36,
∴x=±6.
点评:
此题是典型的新定义题型,解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置,进行计算.该题中用到了直接开平方法解方程,所以要熟悉直接开平方法.
8.(2008•桂林)一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根是 1±
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
先将方程两边加2,再根据完全平方公式,将方程左边转化为完全平方的形式,再利用数的开方直接求解.
解答:
解:
两边同时加1,得,x2﹣2x+1=2,
整理得,(x﹣1)2=2,
开方得x﹣1=±
,
即x1=1﹣
,x2=1+
.
点评:
本题先将方程转化为完全平方的形式,再开方.要注意
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”;
(2)运用整体思想,会把被开方数看成整体;
(3)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
9.(2007•南通)一元二次方程(2x﹣1)2=(3﹣x)2的解是x1=
,x2= ﹣2 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
一元二次方程(2x﹣1)2=(3﹣x)2表示两个式子的平方相等,因而这两个数相等或互为相反数,据此即可把方程转化为两个一元一次方程,即可求解.
解答:
解:
开方得2x﹣1=±(3﹣x)即:
当2x﹣1=3﹣x时,x1=
;
当2x﹣1=﹣(3﹣x)时,x2=﹣2.
点评:
本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数,根据法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解.
10.(2007•梅州)将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成
,定义
=ad﹣bc,上述记号就叫做2阶行列式.若
=6,则x=
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
新定义。
分析:
利用上述规律列出式子(x+1)2+(x﹣1)2=6,再化简,直接开平方解方程.
解答:
解:
定义
=ad﹣bc,
若
=6,
∴(x+1)2+(x﹣1)2=6,
化简得x2=2,
即x=±
.
点评:
本题需要利用上述规律先列出式子,再进行开平方.用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
11.(2007•大连)方程x2﹣2=0的解为 ±
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
这个式子先移项,变成x2=2,从而把问题转化为求2的平方根.
解答:
解:
移项得:
x2=2,开方得:
x=±
.
点评:
解决本题的关键是理解平方根的定义,注意一个正数的平方根有两个,这两个数互为相反数.
12.(2005•南昌)若方程x2﹣m=0有整数根,则m的值可以是 0 (只填一个).
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
这个式子先移项,变成x2=m,从而把问题转化为求m的平方根.当方程有整数根时,等号右边的数字应该是大于等于0的完全平方数.所以答案不唯一.
解答:
解:
x2﹣m=0,移项后得x2=m,x=±
.
若方程x2﹣m=0有整数根,即m必须是大于等于0的完全平方数,如0,1,4,9,16等.
所以答案不唯一,只要是大于等于0的完全平方数皆可,如0,1,4,9,16等.
点评:
此题是用直接开方法求一元二次方程的解的类型:
x2=a(a≥0);当方程有整数根时,等号右边的数字应该是大于等于0的完全平方数.
13.(2005•江西)若方程x2﹣m=0有整数根,则m的值可以是 4 (只填一个).
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
开放型。
分析:
由于x2=m,所以m是完全平方数且为正数.
解答:
解:
把方程变形得:
x2=m,
∵方程有整数根,
∴m必须是完全平方数且为正数.
故答案不唯一,如4,9,16等.
本题答案可为:
4.
点评:
本题形式简单,不用根的判别式也可,直接利用解一元二次方程的基本方法:
直接开平方,根据根为整数的条件直接可得出答案.
14.(2000•福建)一元二次方程(x﹣1)2=2的根是 x=1±
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
先求得x﹣1的解,进而求得x的解.
解答:
解:
x﹣1=±
,
x=1±
.
点评:
用到的知识点为:
一个数的平方等于a,那么这个数是a的平方根,解一元二次方程的基本思想是降次,把一元二次方程转化为一元一次方程,从而求解.
15.(1999•天津)若代数式(2x+1)2的值为9,则x的值为 1或﹣2 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
由题意可知2x+1=±3,由此求x的值即可.
解答:
解:
由题意可知2x+1=±3
即x=1或﹣2.
点评:
解一元二次方程的基本思想是降次,把一元二次方程转化为一元一次方程,从而求解.
16.(1998•丽水)关于x的方程x2﹣a=0(a≥0)有实数根,则方程的根是 ±
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
这个式子先移项,变成x2=a,从而把问题转化为求a的平方根.
解答:
解:
方程x2﹣a=0(a≥0)有实数根,∴x2=a,∴x=±
.
点评:
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
17.方程(x﹣1)2=4的解为 ﹣1或3 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
方程左边是一个完全平方式,右边是个常数,可用直接开平方法进行求解.
解答:
解:
(x﹣1)2=4,
x﹣1=±2,
即x﹣1=2或x﹣1=﹣2,
解得:
x1=3,x2=﹣1.
点评:
解一元二次方程的基本思想是降次,把一元二次方程转化为一元一次方程,从而求解.
18.方程:
(2x﹣1)2﹣25=0的解为 3或﹣2 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
把原式变形为(x+a)2=b的形式,用直接开平方法求出2x﹣1,然后进一步求x.
解答:
解:
∵(2x﹣1)2﹣25=0
∴(2x﹣1)2=25
∴2x﹣1=±5
∴x1=3,x2=﹣2.
点评:
法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
19.方程x2﹣25=0的解是 5 或 ﹣5 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
先移项,然后利用数的开方解答.
解答:
解:
移项得,x2=25
开方得,x=±5.
点评:
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
20.方程9(x﹣1)2=1的根是 x1=
,x2=
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
先系数化1,再利用a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0)模型开平方.
解答:
解:
系数化1得(x﹣1)2=
,开方得x﹣1=±
,即x1=
,x2=
.
点评:
解一元二次方程的基本思想是降次,把一元二次方程转化为一元一次方程,从而求解.
21.方程2x2=6的解是 x=±
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
先系数化1,变成x2=a的形式,再直接开方即可.
解答:
解:
系数化1得x2=3,
开方得x=±
.
点评:
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
22.64的算术平方根是 8 ;方程x2﹣25=0的解为 ±5 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法;算术平方根。
分析:
(1)直接开平方即可;
(2)将﹣25移项,利用数的开方直接求解即可.
解答:
解:
64的算术平方根是8;
∵x2﹣25=0
∴x2=25
∴x=±5.
点评:
用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
23.若关于x的方程x2=c有解,则c的取值范围是 c≥0 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
因为在方程x2=c左边为一个数的平方,总是大于等于0,所以要想有解,即c为非负数,所以c≥0.
解答:
解:
因为x2=c中,x2≥0,而方程有解,所以c≥0.
点评:
用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).解此题的关键是知道x2=a中的a是非负数,即a≥0
24.方程x2﹣16=0的根是 ±4 ;方程(x+1)(x﹣2)=0的根是 x1=2,x2=﹣1 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法;解一元二次方程-因式分解法。
专题:
计算题。
分析:
根据方程的不同特点,分别选用直接开平方法和因式分解法解题.
解答:
解:
(1)解方程x2﹣16=0.移项得x2=16,开方得x=±4,即x1=﹣4,x2=4;
(2)解方程(x+1)(x﹣2)=0.原方程可化为,x﹣2=0,x+1=0,x1=2,x2=﹣1.
点评:
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)运用整体思想,会把被开方数看成整体.
(3)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
(4)用因式分解法题时要注意,方程左边两个因式不同时,方程右边必须为0.
25.刘谦的魔术表演风靡全国,小王也学起了刘谦,利用电脑设计了一个程序:
当输入实数对(x,y)时,会得到一个新的实数x2+y﹣1,例如输入(2,5)时,就会得到实数8(22+5﹣1=8).若输入实数对(m,2)时,得到实数3,则m= ±
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
新定义。
分析:
首先根据题意,列出关于m的方程,然后求出m的值.
解答:
解:
由题意,得:
m2+2﹣1=3,
即m2=2,解得:
m=±
.
点评:
此题的方程并不复杂,关键是弄清题目所给出的电脑程序的计算方法.
26.方程(x﹣2)2=(2x+3)2的解是 x1=﹣
,x2=﹣5 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
根据两个式子的平方相等,则这两个式子相等或互为相反数,即可把方程转化为两个一元一次方程,即可求解.
解答:
解:
开平方得,x﹣2=±(2x+3),即x﹣2=﹣2x﹣3或x﹣2=2x+3,解得,x1=﹣
,x2=﹣5.
点评:
解一元二次方程的基本思想是降次,把一元二次方程转化为一元一次方程,从而求解.
27.方程x2﹣16=0的根是 x1=﹣4,x2=4 ;方程(x+1)(x﹣2)=0的根是 x1=2,x2=﹣1.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法;解一元二次方程-因式分解法。
专题:
计算题。
分析:
本题可以运用因式分解法解方程.因式分解法解一元二次方程时,应使方程的左边为两个一次因式相乘,右边为0,再分别使各一次因式等于0即可求解.
解答:
解:
(1)原方程变形得(x﹣4)(x+4)=0,∴x1=﹣4,x2=4;
(2)∵(x+1)(x﹣2)=0,∴x1=2,x2=﹣1.
点评:
根据方程的特点,灵活选择解方程的方法,一般能用因式分解法的要用因式分解法,难以用因式分解法的再用公式法.
28.认真观察下列方程,指出使用何种方法解比较适当:
(1)4x2=5,应选用 直接开平方 法;
(2)2x2﹣3x﹣3=0,用选用 公式 法.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法;解一元二次方程-公式法。
专题:
计算题。
分析:
观察题目的形式,选择合适的解法.
(1)中,方程可化为x2=a,所以用直接开平方法;
(2)中,是一个一元二次方程,系数不特殊,所以用公式法.
解答:
解:
(1)方程4x2=5左边是完全平方的形式,故适宜用直接开平方法来解;
(2)方程2x2﹣3x﹣3=0是一元二次方程的一般形式,故适宜用公式法来解.
点评:
对一元二次方程的解答,应根据不同形式的方程,适当采取直接开平方法,公式法来解答,同学们在学习中应不断积累,达到灵活运用.
29.若方程(x+1)2+k=0没有实根,则k的范围是 k>0 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
方程移项后得到:
(x+1)2=﹣k,所以容易得到﹣k<0时,方程无实数根.
解答:
解:
方程移项得(x+1)2=﹣k,
∴﹣k<0时方程没有实数根,
∴k>0方程没有实数根.
故填:
k>0.
点评:
本题比较简单,方程移项后,等号左边是完全平方式,右边只要是负数,所以原方程就没有实数根.
30.若4(x+2)2﹣25=0,则x=
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
移项,然后将方程化为(x+m)2=n(n≥0)形式,再运用直接开平方法解答.
解答:
解:
移项得,4(x+2)2=25,
变形得,(x+2)2=
,
即x+2=
,
所以x=
或x=
.
点评:
本题考查了用直接开平方法解一元二次方程,直接开平方法是配方法的基础,能用直接开平方法解答的一元二次方程,变形后都可化为(x+m)2=n(n≥0)形式.
31.若
,则a= ±4 ;若(2x+1)3﹣27=0,则x= 1 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
把
转化为a2=16,再直接开平方求a的值即可;把(2x+1)3﹣27=0移项,得(2x+1)3=27,再开立方求解即可.
解答:
解:
系数化为1,得a2=16,
∴a=±4;
(2x+1)3﹣27=0
移项,得(2x+1)3=27,
∴2x+1=3
解得x=1.
点评:
根据所给方程的特点选择合适的方法是解决此类问题的关键.注意一个正数的平方根有两个且互为相反数.
32.若方程x2﹣m=0有整数根,则m的值可以是 例如m=0,1,4,9,… (只填一个).
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
开放型。
分析:
将方程移项得x2=m,开方得x=±
,因为方程有整数根,再讨论m的值.
解答:
解:
将方程移项得x2=m,
开方得x=±
,
因为方程有整数根,所以m为完全平方数,故m的值可以是0,1,4,9,16,25,36,…
点评:
本题是一道结论开放性题目,对此题的解答,可以加深同学们对直接开平方法的理解.
33.方程(x+5)2=1的解为 ﹣4或﹣6 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
观察发现方程左边是一个完全平方式,即(x+5)2=1,把左边看成一个整体,利用数的开方直接求解即可.
解答:
解:
∵(x+5)2=1
∴x+5=±1
∴x+5=1或x+5=﹣1
解得x1=﹣4,x2=﹣6.
点评:
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)运用整体思想,会把被开方数看成整体.
(3)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
34.用开平方法解方程(y﹣3)2=2,则y﹣3= ±
,y1= 3+
,y2= 3﹣
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
观察发现方程的左边是一个完全平方式,即(y﹣3)2=2,把左边看成一个整体,利用数的开方直接求解.
解答:
解:
开方得y﹣3=±
,
解得y1=3+
,y2=3﹣
.
点评:
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)运用整体思想,会把被开方数看成整体.
(3)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
35.若8x2﹣16=0,则x的值是 ±
.
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
先移项、系数化1,得到x2=2,然后利用数的开方解答.
解答:
解:
移项得,8x2=16,
系数化为1得,x2=2,
开方得,x=±
.
点评:
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
36.
,则x= ±3 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法;二次根式的定义。
分析:
由于
表示x2的算术平方根,根据9的算术平方根是3,得出x2=9,解此方程即可.
解答:
解:
由题意,得x2=9,
解得x=±3.
故答案为±3.
点评:
本题主要考查了算术平方根的定义及一元二次方程的解法.题目比较简单.
37.若方程(x﹣m)2=b有解,那么b的取值范围是 b≥0 .
考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
因为方程为(x+a)2=b形式,左边是一个完全平方式,总是大于等于0,所以在有解的情况下要求b≥0.
解答:
解:
在方程(x﹣m)2=b中,(x﹣m)2≥0,故b≥0.
点评:
本题需要将(x﹣m)看做一个整体,还需熟知在实数范围内任何数的平方均为非负数.
38.将4个数a、b、c、d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成
,这个记号叫做2阶行列式.
定义
,若
,则x=
.
考点:
解一元