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宣武区数学中考试题及答案
北京市宣武区2002年初中升学统一考试
数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 44分)
一、选择题:
下列各题均有四个选项,其中只有一个是正确的(本题共44分,1—4小题每小题3分,5—12小题每小题4分)
1.在5,2.1,
,π四个实数中,无理数的个数是( )
(A)1(B)2(C)3(D)4
2.计算
的结果为( )
(A)1(B)-1(C)2x+y(D)x+y
3.下列计算正确的是( )
(A)10-4·104=1(B)(104)2=1016
(C)(3×10)3=9×103(D)103·102=106
4.计算
的结果是( )
(A)
(B)
+1(C)3
-1(D)3
+1
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,则下列等式成立的是( )
(A)b=c·cosA(B)b=a·sinb
(C)a=b·tanB(D)b=c·cotA
6.计算2sin30° -2cos60°+tan45°的结果是( )
(A)2(B)
(C)
(D)1
7.在圆中,一条弧的长为l,半径为R,那么这条弧所对的圆心角为( )
(A)
度(B)
度(C)
度(D)
度
8.已知a的平方根是±8,则a的立方根是( )
(A)±2(B)±4(C)2(D)4
9.两条对角线互相垂直平分的四边形是( )
(A)梯形(B)矩形(C)菱形(D)正方形
10.若函数y=k1x(k1≠0)和函数y=
(k2≠0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2( )
(A)互为倒数(B)符号相同(C)绝对值相等(D)符号相反
11.如图1,从下列四个条件:
①BC=B′C,②AC=A′C,③∠A′CB=∠B′CB,④AB=A′B′中,任取三个为题设,余下的一个为结论,则最多可以构成正确的命题的个数是( )
图1
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
12.若x=1时,代数式ax3+bx+1的值为5,则x=-1时,代数式ax3+bx+1的值等于( )
(A)0(B)-3(C)-4(D)-5
第Ⅱ卷(填空题、解答题共76分)
二、填空题:
将答案写在横线上(本题共32分,每小题4分)
13.分解因式x5-x3=__________.
14.方程
的根为__________.
15.已知等腰梯形的周长为80cm,中位线长与腰长相等,则它的中位线长等于_____cm.
16.函数y=
的自变量x的取值范围是__________.
17.等腰直线三角形斜边长为
,则它的面积为__________.
18.如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是__________.
图2
19.如图3,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m,在图中直角坐标系内,涵洞截面所在抛物线的解析式是__________.
图3
20.“在一次考试中,考生有2万多名,如果为了得到这些考生的数学平均成绩,而将他们的成绩全部相加再除以考生总数,那将是十分麻烦的,那么怎样才能了解这些考生的数学平均成绩呢”?
通常,在考生很多的情况下,我们是从中抽取部分考生(比如说500名)的成绩,用他们的平均成绩去估计所有考生的平均成绩.
上述文字表述了统计中用样本平均数估计总体平均数的统计思想,其中,总体指的是____________________,个体指的是____________________.
请你用简洁的语言,举一个在实际生活中,运用同样思想解决问题的例子,写在下面:
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本题共44分)
21.(本题4分)
解不等式:
1+
x>
,并把它的解集在数轴上表示出来.
22.(本题4分)
已知:
如图4,AD·AB=AE·AC.
图4
求证:
△FDB∽△FEC.
23.(本题6分)
已知:
如图5,在Rt△ABC中,∠C=90°,沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形,使C点与AB边上的一点D重合,当∠A满足什么条件时,点D恰为AB中点?
写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证明D为AB中点.
图5
24.(本题6分)
列方程解应用题:
某市为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:
每月每户用水不超过10吨部分,按0.45∕元吨收费;超过10吨而不超过20吨部分,按0.80元∕吨收费;超市20吨部分,按1.5元∕吨收费,现已知李老师家六月份缴水费14元,问老师家六月份用水多少吨?
25.(本题7分)
已知:
CF是⊙O直径,CB为⊙O的弦,CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P.
(1)如图6,若∠P=45°,PF=10,求⊙O的半径长;
图6
(2)如图7,若E为BC上一点,且满足PE2=PB·PC,连结FE并延长交⊙O于点A,求证点A为BC的中点.
图7
26.(本题7分)
若关于x的一元二次方程3x2+3(a+b)x+4ab=0的两个实数根x1、x2满足关系式:
x1(x1+1)+x2(x2+1)=(x1+1)(x2+1).
判断(a+b)2≤4是否正确,若正确,请加以证明;若不正确,请举一反例.
27.(本题10分)
已知:
抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上.
(1)求a的值;
(2)求a>0时,该抛物线与直线y=x+9交于A、B两点,且A点在B点左侧,求点A和点B的坐标;
(3)P为
(2)中线段AB上的点(A、B两端点除外),过点P作x轴的垂线与抛物线交于Q.线段AB上是否存在点P,使PQ的长等于6,若存在,请求出P点坐标;若不存在,说明理由.
北京市宣武区2002年初中升学统一考试
数学试卷答案及评分标准
第Ⅰ卷 (选择题 44分)
一、选择题(1-4小题每小题3分,5-12小题每小题4分)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
B
A
A
C
A
D
题 号
7
8
9
10
11
12
答 案
B
D
C
D
B
B
二、填空题(本题共32分,每小题4分)
13.x3(x+1)(x-1)14.x=-415.2016.x≠1且x≠2
17.
18.R=2.4或3<R≤419.y=
20.所有考生的数学成绩的全体;每一名考生的数学成绩;第三空考生答案能体现出用样本平均数估计总体平均数的思想即给2分.
三、解答题(21、22题每题4分,23、24题每题6分,27题10分,共44分)
21.解不等式:
1+
x>
,并把它的解集在数轴上表示出来.
解:
去分母,得6+3x>2x-2,
解得 x>-8.……………………………………………………………………………3分
……………………4分
22.已知:
如图2,AD·AB=AE·AC.
求证:
△FDB∽△FEC.
图2
证明:
∵ AD·AB=AE·AC
∴
.
又∵ ∠A=∠A,
∴ △ABE∽△ACD. ………………………………………………………………2分
∴ ∠B=∠C,
又∵ ∠1=∠2,
∴ △FDB~△FEC. ………………………………………………………………4分
23.已知:
如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形,使C点与AB边上的一点D重合.
图3
当∠A满足什么条件时,点D恰为AB中点?
写出一个认为适当的条件,并利用此条件证明D为AB.
条件:
∠A=30°. ………………………………………………………………1分
证明:
∵ 沿直线BE折叠后△BCE与△BDE重合,
∴ △BCE≌△BDE, ………………………………………………………………2分
∴ ∠1=∠2,∠BDE=∠C=30°.
在△ABC中,
∵ ∠C=90°,∠A=30°,
∴ ∠ABC=60°
又∵ ∠1=∠2,
∴ ∠2=30°,
∴ ∠2=∠A,
∴ ∠BE=∠AE. ……………………………………………………………………4分
又∵ ED⊥AB,
∴ BD=AD,
即点D为AB中点. …………………………………………………………………6分
24.列方程解应用题:
某市为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:
每月每户用水不超过10吨部分,按0.45元/吨;超过10吨而不超过20吨部分,按0.80元/吨收费;超过20吨部分,按1.5元/吨收费,现已知李老师家六月缴水费14元,问李老师家六月份用水多少吨?
解:
∵ 0.45×10+0.80×(20-10)=12.5,
12.5<14,
∴ 李老师家六月分用水超过20吨.
设李老师家六月份用水x吨,则
0.45×10÷0.80×(20-10)+1.5(x-20)=14, ………………………………3分
解得x=21. ……………………………………………………………………………5分
答:
李老师家六月份用水21吨. ……………………………………………………6分
25.已知:
CF是⊙O直径,CB为⊙O的弦,CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P.
(1)如图4,若∠P=45°,PF=10,求⊙O的半径长;
图4
解:
∵ CF为⊙O直径,PF切⊙O于点F,
∴ CF⊥PF.
又∵ ∠P=45°,
∴ ∠C=45°,
∴ CF=PF=10,
∴ ⊙O的半径的长为5. ……………………………………………………………2分
(2)如图5,若E为BC上一点,且满足PE2=PB·PC,连结FE并延长交⊙O于点A,求证点A为BC的中点.
图5
证法一:
连结OA.
∵ PF为⊙O切线,PBC为⊙O割线,
∴ PF2=PB•PC,
又∵ PE2=PB•PC,
∴ PF=PE. …………………………………………………………………………4分
∴ ∠PFE=∠PEF.
又∵ ∠PFE=∠PEF,
∴ ∠PFE=∠PEF.
∵ OF=OA,
∴ ∠OFA=∠A.
∴ ∠A+∠CEA=∠OFA+∠PFE=90°.
∴ 点A为BC中点. ………………………………………………………………7分
证法二:
连结FB.
同证法一可得,PF=PE, ……………………………………………………………4分
∴ ∠PFE=∠PEF
∵ PF切⊙O于点F,
∴ ∠PFE=∠C,
又∵ ∠PFE=∠PFB+∠2,∠PEF=∠C+∠1,
∴ ∠1=∠2,
∴ AC=AB,
即点A为BC中点. …………………………………………………………………7分
26.若关于x的一元二次方程3x2+3(a+b)x+4ab=0的两个实数根x1、x2满足关系式:
x1(x1+1)+x2(x2+1)=(x1+1)(x2+1).
判断(a+b)2≤4是否正确,若正确,请加以证明;若不正确,请举一反例.
判断:
正确.
证明:
∵ 关于x的一元二次方程3x2+3(a+b)x+4ab=0有两个实数根,
∴ Δ≥0
即[3(a+b)]2-4×3×4ab≥0,
3(a+b)2-16ab≥0. ① ………………………………………………2分
∵ x1、x2为方程的两个实数根.
∴ x1+x2=-(a+b),x1·x2=
.
∵ x1(x1+1)+x2(x2+1)=(x1+1)(x2+1),
∴ x12+x1+x22+x2=x1x2+x1+x2+1,
x12+x22-=1,
(x1+x2)2-3x1x2=1.
∴ [-(a+b)]2-3×
=1
(a+b)2-4ab=1, ……………………………………………………………4分
∴ 4ab=(a+b)2-1. ②
把②代入①,得
3(a+b)2+4[(a+b)2-1]≥0,
∴ (a+b)2≤4. ……………………………………………………………………7分
27.已知:
抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上.
(1)求a的值;
(2)求a>0时,该抛物线与直线y=x+9交于A、B两点,且A点在B点左侧,求点A和点B的坐标;
(3)P为
(2)中线段AB上的点(A、B两端点除外),过点P作x轴的垂线与抛物线交于Q.线段AB上是否存在点P,使PQ的长等于6,若存在,请求出P点坐标;若不存在,说明理由.
解:
(1)y=x2-(a+2)x+9=(x-
)2+9-
,
∴ 此抛物线的顶点坐标为(
,9-
).
∵ 抛物线的顶点在坐标轴上,
∴ 当顶点在x轴上时,9-
=0,
解得a1=4,a2=-8;
当顶点在y的轴上时,
=0,
解得a=-2. …………………………………………………………………………2分
∴ a的值为4,-8,-2.
(2)当a>0时,a=4,
抛物线解析式为y=x2-6x+9,
由
消去y,得
x2-6x+9=x+9,
解得x1=0,x2=7,
∴
∵ A点在B点左侧,
∴ A点坐标为(0,9),B点坐标为(7,16). ………………………………6分
(3)如图所示.
图6
∵ 点P在线段AB上,PQ垂直于x轴,
∴ xp=xQ,yp>yQ,
由题意,得yp-yQ=6,
(x+9)-(x2-6x+9)=6,
x2-7x+6=0,
解得x1=1,x2=6.
∴ P1(1,10),P2(6,15),
∴ 点P1、P2均在线段AB上,且不与A、B两点重合,
∴ 线段AB上存在点P,使PQ的长等于6. …………………………………10分