广东省高考理科数学模拟试题及答案.docx
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广东省高考理科数学模拟试题及答案
广东省 2020 年高考理科数学模拟试题及答案
（二）
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
）
1. 已知集合 M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则 M∪N＝（）
A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）
2. 若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数 a＝（）
A. 3
3．若，则“
B.
”是“
C.
”的（ ）
D. ﹣3
A.充分而不必要条件
C.充要条件
B.必要而不充分条件
D.既不充分又不必要条件
4．已知 f （ x） = g （ x） - 4, 函数 g （ x） 是定义在 R 上的奇函数,若 f （2017） = 2017, 则 f （-2017） =
（）。
A． -2017B． -2021C． -2025D． 2025
5. 已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且 AC＝BC＝6，AB＝4，则球
面面积为（）
A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π
⎧a x, x > 1
⎪
x + 2, x ≤ 1
⎩⎝
是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． （1,8）B． （1,+∞ ）C． （4,8 ）D． [ 4,8 ）
7. 已知 α 为第二象限角, sin α + cosα =3
3
则 cos2 α = （ ）
3B． -
5
9
C．
5
3
8. 如图，给 7 条线段的 5 个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4 种不同的颜色
可供选择，则不同的涂色方法种数有（）
1
A. 24
B. 48 C. 96 D. 120
9. 定义运算：
a
1
a
3
a
2
a
4
= a a - a a ，将函数 f （ x） = 3 sin ωx
1 4 2 3
（ ω > 0 ）的图像向左平移
2π
3
个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω 的最小值是（）
173
B.C.D.
4444
⎧x + y ≥ 1
⎪
⎩
的取值范围（）
A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]
11.已知过点 A（a，0）作曲线 C：
y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数 a 的取值范围是（）
A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
12.在平面直角坐标系中，已知双曲线
B. （0，+∞）
D. （﹣∞，﹣1）
的左焦点为 F，点 B 的坐标为（0，
b），若直线 BF 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，且
，则双曲线 C 的离心率
为（）
A.B.C.D. 2
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
）
13. 已知 ∆ABC 的顶点为 A（1,2），B（3,1），C（3，4），则 AB 边的中线所在直线的斜率为．
14. 如果方程
x 2 y 2
+
2
a a + 6
= 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围__________.
15．某几何体的三视图如下图所示，则其表面积为.
2
16. 在 （ax - 3）9（ a ∈ R ）的展开式中， x 的偶数次的项系数之和比 x 的奇数次的项系数之和大 1，
则 a 的值为．
三、解答题（共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第 17～21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。
）
（一）必考题（共 60 分）
17.（本题满分 12 分）
已知等差数列 {a
n
}的前 n 项和为 S
n
，等比数列 {b
n
}的前 n 项和为 T
n
， a = -1 ， b = 1 ，
1 1
a + b = 2 .
22
（1）若 a + b = 5 ，求 {b }的通项公式；
33n
（2）若 T3 = 21，求 S3 .
18.（本小题满分 12 分）
为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准
是：
滑雪时间不超过 1 小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为 40 元（不足小时的部分按 1 小
时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为
1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过 3 小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望
19. （本小题满分 12 分）
．
四边形
中点
是菱形, 是矩形, , 是 的
3
（1）证明:
（2）求二面角
20. （本小题满分 12 分）
已知椭圆，
与椭圆的交点分别为
设直线的斜率为
的余弦值.
为椭圆的左、右焦点，点 在直线
和 ， 为坐标原点.
，证明：
上且不在 轴上，直线
问直线 上是否存在点 ，使得直线满足
？
若存在，求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，说明理由.
21.已知函数
（Ⅰ）求证：
曲线
，
与
在
.
处的切线重合；
（Ⅱ）若
对任意
恒成立.
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证：
（其中 ）.
（二）选考题（共 10 分。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计
分。
）
22．[选修 4—4：
坐标系与参数方程]（10 分）
⎧ x = a cos t
⎩
4
⎛
⎝
+
π ⎫
4 ⎭
（1）设 P 是曲线 C 上的一个动眯，当 a = 2 3 时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值；
（2）若曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，求实数 a 的取值范围.
23．[选修 4—5：
不等式选讲]（10 分）
设
（1）解不等式
.
；
（2）若存在实数 满足
，试求实数 的取值范围.
参考答案
5
一、选择题
1.A2.D3.A4.C5.C6.D7.A8.C9.A10.B11.A12.B
二、填空题
13. 5
2
14. a>3 或-6三、解答题
17.
（1）设的公差为，的公差为 ，
有已知的解得，所以；
（2）由
（1）及已知的得解得或.
18.
（1）若两人所付费用相同，则相同的费用可能为 0 元，40 元，80 元，
两人都付 0 元的概率为
两人都付 40 元的概率为
，
，
两人都付 80 元的概率为
.
（2）由题意得，ξ 所有可能的取值为 0,40,80,120,160.
，
，
，
，
，
的分布列为：
，则两人所付费用相同的概率为
04080120160
6
19.（I） 证法一:
设
.
的中点为 ，因为 是 的中点，
是平行四边形
证法二：
因为 是的中点，
；
（II）设的中点为 ，
是矩形， ，
四边形
以 为原点，
，
是菱形， ]
所在直线为 x 轴，
所在直线为 Y 轴， 所在直线为 Z 轴 建立空间直角坐标系，
7
平面的法向量为，平面的法向量为
令，
设二面角
则
的大小为
20.因为椭圆方程为
设 P（x0，2﹣x0），则
，所以 F1（﹣1，0）、F2（1，0）
， ，
所以
（2）记 A、B、C、D 坐标分别为（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）．
设直线 PF1：
x＝m1y﹣1，PF2：
x＝m2y+1
联立可得
，
代入，可得
8
同理，联立 PF2 和椭圆方程，可得
由及 m1﹣3m2＝2（由
（1）得）可解得，或，
所以直线方程为或，
所以点 P 的坐标为（0，2）或
21.证明:
（Ⅰ）
在处的切线方程为
在
所以切线重合.
（Ⅱ）
（1）令
则
处的切线方程为
，
① 当
时，
当且仅当
时，取等号，
在
递减，
不成立.
②当
时，
，
（i）当
时， 时， ， 递减，
，
在
（ii）当
递减，
时，
，
在
不恒成立.
递增，
，
，
在
递增，
恒成立.
综上，.
（2）证明：
由
（1）知当
时， 恒成立.
得
令得 个不等式相加得
9
下面只要证明
即
再由不等式
令得
取得 个不等式累加得成立.
故原不等式成立.
22.
（1）由 ρ cos（θ + π
ρ cosθ = x ， ρ sin θ = y
∴ 直线 l 普通方程为：
x - y + 8 = 0
设 P（2 3 cos t , 2sin t ） ，则点 P 到直线 l 的距离：
π
3
当 sin（t -
π
min = 2 2
∴ 点 P 到直线 l 的距离的最小值为 22
（2）设曲线 C 上任意点 P（a cost,2sin t） ，由于曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，
10
∴ a cos t - 2sin t + 8 > 0 对任意 a > 0 恒成立
a2 + 4 sin（t - ϕ ） < 8 ，其中 cos ϕ =
2
a 2 + 4
， sin ϕ = a
a 2 + 4
.
从而 a2 + 4 < 8
由于 a > 0 ，解得：
0 < a < 2 15
即：
a ∈ 0, 2 15
23.（Ⅰ）
，
作函数
不等式
的图象，它与直线
的解集为 ．
交点的横坐标为 和 ，由图象知
（Ⅱ）函数
当且仅当函数
的图象是过点
与直线
的直线．
有公共点时，存在题设的 ．
由图象知， 取值范围为
．
11
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