河北省唐山市玉田县高一下学期期末考试数学试题.docx

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河北省唐山市玉田县高一下学期期末考试数学试题

唐山市2017～2018学年度高一年级第二学期期末考试

数学参考答案及评分标准

一．选择题：

A卷：

CDDBABABCBDC

B卷：

CDDBACADCBDB

二．填空题：

13．14．1715．16．3

三．解答题：

17．解：

（1）设数列{an}的公差为d，

由a1＝1，S5＝5a1＋10d＝25，解得d＝2，故an＝2n－1，…4分

（2）设数列{bn－an}的公比为q，

由b1－a1＝2，b4－a4＝16，得q3＝＝8，解得q＝2，

bn－an＝2n，故bn＝2n＋2n－1，…8分

所以数列{bn}的前10项和为

T10＝b1＋b2＋…b10＝（2＋1）＋（22＋3）＋（23＋5）＋…＋（210＋19）

＝（2＋22＋…＋210）＋（1＋3＋5＋…＋19）

＝＋＝2146．…10分

0.50

18．解：

（1）频率分布直方图如图所示:

…4分

（2）∵0.04＋0.08＋0.15＋0.22＝0.49＜0.5，

0.04＋0.08＋0.15＋0.22＋0.25＝0.74＞0.5，

∴中位数应在[2，2.5）组内，设中位数为x，

则0.49＋（x－2）×0.50＝0.5，

解得x＝2.02．

故本市居民月均用水量的中位数的估计值

为2.02．…8分

（3）0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.22＋2.25×0.25

＋2.75×0.14＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02…10分

＝2.02．

故本市居民月均用水量的平均数的估计值为2.02．…12分

19．解：

（1）由正弦定理得sinB＝2sinA，

sin（A＋）＝2sinA，

sinAcos＋cosAsin＝2sinA，

整理得sinA＝cosA，

tanA＝，

∵0

（2）由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋9－2×1×3×＝7，

故c＝，

由S＝absinC＝ch

得h＝＝．…12分

20．解：

（1）＝（2＋4＋6＋8＋10）＝6，

＝（16＋13＋9.5＋7＋5）＝10.1，…2分

＝220，＝247．

＝＝－1.4，…6分

＝－＝18.5．

所求回归直线方程为：

＝－1.4x＋18.5．…8分

（2）由题可知，

Q＝－1.4x＋18.5－（0.05x2－1.8x＋17.5）

＝－0.05x2＋0.4x＋1

＝－0.05（x－4）2＋1.8，

故预测当x＝4时，销售利润Q取得最大值．…12分

21．解：

（1）∵2Sn＋3＝3an，①

∴2Sn－1＋3＝3an－1，（n≥2）②

①－②得2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1＝2an，

则＝3（n≥2），…4分

在①式中，令n＝1，得a1＝3．

∴数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，

∴an＝3n．…5分

（2）bn＝an·log3an+2＝3n·log33n+2＝（n+2）·3n．…6分

所以Tn＝3·31＋4·32＋5·33＋…＋（n+1）·3n－1＋（n+2）·3n，①

则3Tn＝3·32＋4·33＋…＋n·3n－1＋（n+1）·3n＋（n+2）·3n+1，②…8分

①－②得，

－2Tn＝9＋1（32＋33＋…＋3n－1＋3n）－（n+2）·3n+1，

＝9＋－（n+2）·3n+1…10分

＝－×3n+1．

所以Tn＝×3n+1－．…12分

22．解：

（1）∵DC∥AB，AB＝BC，∴∠ACD＝∠CAB＝∠ACB．

在△ACD中，记DC＝AC＝t，由余弦定理得

cos∠ACD＝＝．

在△ACB中，cos∠ACB＝＝．

由＝得t3－2t2＋1＝0，即（t－1）（t2－t－1）＝0，

解得t＝1，或t＝．

∵t＝1与梯形矛盾，舍去，又t>0，

∴t＝，即DC＝．…6分

（2）由

（1）知∠CAD＝∠ADC＝∠BCD＝2∠ACD．

故5∠ACD＝180°，∠ACD＝∠ACB＝36°，

故∠DPC＝3∠ACB＝108°．

在△DPC中，由余弦定理得DC2＝DP2＋CP2－2DP·CPcos∠DPC，

即t2＝DP2＋CP2－2DP·CPcos108°

＝（DP＋CP）2－2DP·CP（1＋cos108°）

＝（DP＋CP）2－4DP·CPcos254°

∵4DP·CP≤（DP＋CP）2，（当且仅当DP＝CP时，等号成立．）

∴t2≥（DP＋CP）2（1－cos254°）

＝（DP＋CP）2sin254°

＝（DP＋CP）2cos236°

＝（DP＋CP）2·

∴（DP＋CP）2≤4，DP＋CP≤2．

故当DP＝CP＝1时，DP＋CP取得最大值2．…12分