5.2基本模型求路径（1题）
5.2.1线圆模型
已知O（为起点,B（为目标点,D（和E（分别为机器人经过拐点分别于隔离危险线拐角小圆弧的切点，圆心为O1（，圆的半径为r，OB的长度为a，OO1的长度为b，BO1的长度为c，角度
，
.通过余弦定理可算出，弧长=圆心角*r，可求出O
B的长度。
由此解法在matlab编程，可求出已知起点与终点及圆心和半径的所有最短路（见附录10.1）
5.2.2相交切线模型
当两圆半径相同时，由于半径已知以及K（,M（,L（我们很容易求得
L点的坐标已知后用上述线圆模型即可求出弧长
当两圆半径不同时，根据半径比值可算出斜边比值，斜边端点已知，即可求出H坐标，再利用附录10.1求解可得。
5.2.3平行切线模型
当两圆半径相同时，其中已知O1（O2（,P（,半径已知，
，
所以切线方程为
再利用matlab运算出弧长（详见附录10.1）
当两圆半径不同时，两圆心斜率k可知，
=a，切线斜率
再利用上述方程式即可求得C，切线方程与圆联立方程即可求得切点（见附录10.2和10.3），再用线圆模型即可求出路径。
5.3基本模型求拐点（1题）
已知条件为O（O1（DO1=r
设D（xy），由于两直线垂直即有
D点在圆上，与圆的方程联立即可求出D点。
此处先运用matlab中expand函数将方程式化解成多项式形式，再用solve函数求出方程的根即D点坐标。
（详见附录10.2和10.3）
5.3时间模型的建立（2题）
根据线圆模型我们可以知道：
若一个机器人穿过的圆弧所在圆的半径已知，则机器人行走的路程就是可求得。
由于机器人在转弯时的速度是关于半径（r）的函数，再根据“时间（T）=路程（S）/速度（V）”，我们可以求出时间（T）关于半径（r）的函数关系式。
已知直线行走的速度和转弯行走速度的关系式，
，可以建立一个自变量为r的关于时间的函数，通过求导让函数值等于0，可以得出r的解，从而确定最短时间。
我们根据对前面路程的求解，可以判断机器人在转弯时所走的弧形路程相对于直线路程是很小的，那么我们可以断定：
当机器人以最短的时间走到目标点时，它所经过的路线与它以最短的路程所走的路线大致一样。
求函数表达式具体过程：
如图：
已知O（x1,y1）B=（x2,y2）O1=（x3,y3）,点D，点E分别为圆的切点，设圆的半径为r,求出O--B的时间。
求解过程：
L1^2=（x2-x1）^2+（y2-x1）^2
L2^2=（x3-x2）^2+（y3-y2^2
L3^2=（x3-x1）^2+（y3-y1）^2
设
O,O1,B为a,
D,O1,O为b，
E,O1,B为c，
cos（a）=（L3^2-L2^2-L1^2）/2*L1*L2
a=arccos（L3^2-L2^2-L1^2）/2*L1*L2
b=arccos（r/L1）
c=arcos（r/L2）
弧长DE=r*（2*pi-a-b-c）
V=v0/5*（1+e^（10-0.1^2））
时间T1=（L1^2-r^2）^（1/2）/v0
T2=（L2^2-r^2）^（1/2）/v0
T3=弧长DE/V
Tzong=T1+T2+T3
在求出时间关于半径的方程后，我们可数值解法求解最短时间。
我们知道半径的大小影响了时间的长短，半径的长度是大于10的实数，我们可以先让自变量（半径）比较大范围的有序变化（因为自变量的范围不大），求出对应的时间。
再观察时间随半径变化的规律，得出最短时间时所对应的时间，就可以确定最短时间就在所得时间点的附件摆动。
为了能更精确的求出最短时间，我们继续以比上次取值小的值在所求的点的附近做有序的加减。
以此类推，经过多轮对时间的取值，就可以解出比较精确的解。
六、模型求解
6.1.1O——A的最短距离
如图：
D1（70.5060,213.1406）D2（76.6064,219.4066）
弧OA的长等于两条切线（OD1，D2A）与弧（D1，D2）的和
通过用matlab计算可知：
●O——A的最短距离为471.0372
6.1.2O——B的最短距离
●
如图E1（50.1353,301.6396）E2（52.198,306.252）E3（142.198,441.252）E4（147.709,444.733）
F1（222.29,406.264）F2（230,470）F3（230,530）F4（225.4967,538.3538）
G1（144.5033,591.6462）G2（140.6916,596.3458）
同理如上，通过用matlab计算可知：
OB的最短距离为838.0466
6.1.3O——C的最短距离
如图
D1（70.5060,213.1406）D3（75.736,219.044）
L1（395.798,339.055）L2（397.709,339.736）
K1（568.331,372.115）K2（600.019,387.588）
J1（727.7178,710.2822）J2（730,600）J3（730,520）J4（727.802,606.252）
同理如上，通过用matlab计算可知：
O_C的最短距离为1085.7531
如图
G3（270.5862,689.9828）G4（272,689.7980）
H1（368.8934,670.0614）H2（370,670）H3（430,670）H4（435.5878,671.7068）
I1（534.4122,738.2932）I2（540,740）I3（670,740）I4（679.7673,732.1447）
F5（229.4472,533.2789）
同理如上，通过用matlab计算可知：
AB的最短距离为454.3989
BC的最短距离为823.4609
OABCO的最短距离为2834.6591
6.2问题二的求解：
如图：
已知：
坐标点O（0，0），A（300，300），O1（80，210）
根据上面模型，将三点的坐标分别代入，我们可以得到半径（r）关于时间（t）的方程：
根据上面算出的方程，表示如图
注：
左右下图的均纵轴为5倍的时间t，为了便于比较不同时间下时间的大小。
当时间t取值为10,11,12,13,14时，由图可以看到r=12时，时间5*t为最小，故而判断精确值在12的附近。
表
图示中在半径r=11.5时，时间最短
。
图示中r=11.505时，时间最短
当半径r=11.5045时，时间最短
上图为给半径r规律性赋值的过程
解得：
半径（r）=11.504时，
最短时间（t）=98606004。
七、模型推广
7.1问题深入分析
在本题中有十二个障碍物，按照线圆结构画出从起点到达目标点的路径是有限的，我们完全可以采用穷举法把这些路径列出来，然后比较大小取最小者即可，但是我们可以设想如果这个区域内有n个障碍物，那么按照线圆结构从起点到达目标点的可能路径就有无数多条，这时我们如果再采用穷举法是不现实的。
所以我们必须寻求新的算法来解决这个问题。
由上述分析我们有了这样一个想法：
先求出所有的切线，包括出发点和目标点到所有圆弧的切线以及所有圆弧与圆弧之间的切线，然后把这且曲线看成是图6.11中的，给这些定点赋一个等于切线长度的权值，如果某两条切线有一个公切圆弧，则代表这两条曲线的顶点是一条直线的两个端点，边上的权值等于这两条切线之间的劣弧长度。
然后在这张图中加一个源点和终点，那么在所有代表出发点与其它圆弧之间切线的顶点与源点连成一条边，权值均为0，同理在所有代表目标点到其它圆弧切线的顶点与终点连成一条边，权值均为0，这样题目就转化成了求源点到达终点之间的最短路径问题了，这里最短路径就是指经过所有顶点与边的权值之和最小。
我们可以采用Dijkstra算法进行求解。
7.2模型的进一步求解
根据6.1的分析，在有若干个障碍物的区域中，我们把按照线圆结构画出从出发点到目标点的路径图依据6.1中的想法转换成了下面这张图，图中的A和G点就是添加的源点和终点，其它节点均是出发点和目标点到圆弧的切线和圆弧与圆弧之间的切线转化而成，依据Dijkstra算法求得最短路径。
八模型评价
8.1模型优点
（1）在本题中，我们对该模型进行优化是通过一些指标进行评判的，具有相对的客观性和一般性；
（2）在构造数学模型时我们给出了客观的理由和数据，避免了过分的主观判断；
（3）本文利用枚举和数学编程的方法，将定性问题定量化，运用多个方案对路径进行优化，在相对优化之中取得最优解，最后达到题目所要求的最优解；（4）该模型可以解决日常生活中机器人的基本避障问题，使得机器人在工业，医学，建筑，军事等领域发挥应有的基本作用；
8.2模型缺点
（1）由于分析时间限制和能力水平有限，加上计算量大且复杂，得到的不一定是最佳结果。
（2）题中所涉及的各项比较、判断直到结果的得出都是粗糙的，不适用于精度要求很高的问题。
（3）在障碍物较多时形状不规则时，模型需要进一步改进。
（4）不可避免的具有主观性。
九参考文献
[1]冯俊，数据结构，北京：
清华大学出版社，2007
[2]邦迪，图论及其应用，西安：
西安科学出版社，1984
[3]刘来福，数学模型与数学建模，北京：
北京师范大学出版社，2011
[5]赵东方，数学模型与计算，北京：
科学出版社，2007
十附录
本题的计算量较大，我们用matlab软件来解决此问题
10.1该程序用于解决已知起点，终点，相切圆圆心，可以求得起点到终点的最短路长
functionzongchang=zongchang（K,M,L,r）
KL=sqrt（（K
（1）-L
（1））^2+（K
（2）-L
（2））^2）;
KM=sqrt（（K
（1）-M
（1））^2+（K
（2）-M
（2））^2）;
LM=sqrt（（L
（1）-M
（1））^2+（L
（2）-M
（2））^2）;
alpha1=acos（（KM^2+LM^2-KL^2）/（2*KM*LM））;
alpha2=acos（r/KM）;
alpha3=acos（r/LM）;
alpha4=2*pi-alpha1-alpha2-alpha3;
KS1=sqrt（KM^2-r^2）;
S2L=sqrt（LM^2-r^2）;
S1S2hu=r*alpha4;
result=KS1+S1S2hu+S2L
result=KS1
result=S2L
result=S1S2hu
10.2该程序用于解决多项式的展开问题，以便在solve函数中求切点
举例：
求4个具体方程的多项式的展开式
functionnew=shijian（x1,x2,y1,y2）
symsx1x2y1y2
f1=（0-x1）*（80-x1）+（0-y1）*（210-y1）;
f2=（x1-80）^2+（y1-210）^2-100;
f3=（320-x2）*（370-x2）+（680-y2）*（680-y2）;
f4=（x2-370）^2+（y2-680）^2-100;
f11=expand（f1）
f22=expand（f2）
f33=expand（f3）
f44=expand（f4）
10.3该程序用于解决多元多次方程的求解问题
举例：
[x,y]=solve（'-80*x1+x1^2-210*y1+y1^2','x1^2-160*x1+50400-420*y1+y1^2'）
时间：
2021.02.05
创作：
欧阳科
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