壳定理讲解学习.docx

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壳定理讲解学习

壳定理

牛頓的萬有引力定律：

，

這個定律只能適用於『質點』嗎？

如果m1、m2不是質點，而是有實際大小的物體（如長棒、圓球等等），那怎麼算呢？

我們先來計算由一個具有相當大小的物體對於在P點質量Mp的質點所造成的重力F。

將此物體分割成許多無限小的質量素dm，如圖，每一質量素dm所提供的重力：

現在要計算在P點的總重力，因此要把所有的dm積分，

，不同位置的dm，所對應的r是不一樣的，因此要積分需先將dm以長度（r）表示，這和求質心及轉動慣量的方法是一樣的。

我們現在來算在P點每單位質量所受的萬有引力，也就是計算這一大塊質量在P點產生的重力場

例題1

質量M長度L的薄長棒在P點（相距d，如圖）所造成的萬有引力場是多少？

解：

將dm以長度x（在這裡，我們將代表長度的r換成x）表示，令dm=λdx,λ是線密度（單位長度的質量，λ=M/L），每個質量素dm所提供的萬有引力場為：

因此總力場：

由上可知，將一個質量為Mp的質點放在P點處，質點所受到長棒的萬有引力為：

⊙想一想⊙

長棒的重心，不是應該在棒子的中心（即距離P點d+L/2的地方）嗎？

那為什麼算出來的萬有引力是

，而不是

呢？

☆類題1★（解答在此份講義的最後面）

設質量M、半徑R之半圓環的線密度為λ（單位：

kg/m），求圓心位置處之重力場強度。

長棒的重心不是在長棒的中心（質心），那圓球的重心是在球心位置嗎？

蘋果和地球之間的萬有引力，可以將地球的萬有引力視為質量集中在地心處嗎？

牛頓先生用微積分解決了這個問題。

牛頓先生提出一個『殼層定理』（shelltheorem），內容是說：

『由物質構成的均勻球殼對球殼外一質點的吸引力，可以視為球殼質量集中於球心時對該質點的吸引力。

』。

一層一層的球殼疊起來就是一個球，因此這個定理可以延伸為點質量定理（pointmasstheorem），也就是：

「質量均勻分佈的球對外部質點的吸引力，看起來像所有質量都集中在球心一樣」。

現在我們就來做下面的例題：

例題2

球殼半徑為R，面密度σ（單位：

kg/m2），試求出均勻球殼作用在一質點（質量m）上的力，以證明牛頓先生的『殼層定理』

解：

因球殼上各點的作用力方向大小均不一致，故上面所說的定理並非顯而易見。

事實上，它給牛頓帶來許多困擾。

我們先求一個質量M，半徑為a的環在P點產生的重力場。

環上的每一個質量素dm在P點產生的萬有引力是一個向量，分為x方向和y方向，而且每一個y座標為+y的質點所產生的重力場，均會有一對應之質量素，其y座標為-y，提供另一反方向的場將之抵銷。

由對稱性可知，圓環在P點位置產生的萬有引力並無y分量只有x分量。

我們現在來算圓環在P點處所產生的力場：

我們來找ψ、s、x這幾個變數之間的關係：

，其中s、x這二個變數和積分無關，可以提到積分符號外，

因此，

（方向：

x方向）

☆類題2★

上式中

，因此上式也可以寫成

請利用這個結果，將一個個圓環積分，證明質量M、半徑R的圓盤，在距離盤心x的地方所產生的重力場

。

（推導過程請參考Halliday,FundamentalsofPhysics,6th,§22-7）

（上面二個圖是從§22-7copy過來的，有一個小小錯誤，老師沒給它改過來，萬有引力是吸引力，所以圖上的力的方向畫反了。

你會自己改過來吧？

！

）

現在我們將這些環積分，積成一個球殼，

在這個積分式裡，dm=σ2πr（Rdθ）=σ2π（Rsinθ）（Rdθ），σ是球殼的面積密度，r會隨著θ改變，r=Rsinθ。

所以，

積分裡有三個變數，s、x、θ，它們彼此之間有關係，因此我們要先把它們的關係找到：

由餘弦定理：

s2=R2+D2-2RDcosθ，左右二邊微分得sds=RDsinθdθ，另外，

，將找到的這二個關係代入上面的積分式，得到

現在積分裡面只剩下一個變數s了，從D-R積到D＋R，積分的值會等於

（這個積分，就留給你慢慢積喔！

）。

因此，

若P點處有一質量為m的質點，那麼半徑R質量M的球殼對此質點的萬有引力為

，D為球殼心到質點的距離，這就是牛頓先生所說的『殼層定理』

⊙想一想⊙

如果Ｐ點是在球殼的內部，那麼積分就要從R-D積到R＋D，先猜猜看，積出來的萬有引力大小為多少？

答案是零，你猜對了嗎？

積積看，看答案是不是真的是零。

想一想，球殼在其內部一點所產生的重力場為零，這代表什麼物理意義呢？

習題1：

（Halliday,FundamentalsofPhysics,8th,Ch13,Problem24）

TwoconcentricshellsofuniformdensityhavingmassesM1andM2aresituatedasshowninthefigure.Findthemagnitudeofthenetgravitationalforceonaparticleofmassm,duetotheshells,whentheparticleislocatedat（a）pointA,atdistancer=afromthecenter,（b）pointBatr=b,and（c）pointCatr=c.Thedistancerismeasuredfromthecenteroftheshells.

（Answer.（a）F=G（M1+M2）m/a2（b）F=GM1m/b2（c）zero）

習題2：

（Halliday,FundamentalsofPhysics,8th,Ch13,Problem27）

Asolidsphereofuniformdensityhasamassof1.0×104kgandaradiusof1.0m.Whatisthemagnitudeofthegravitationalforceduetothesphereonaparticleofmassmlocatedatadistanceof（a）1.5mand（b）0.50mfromthecenterofthesphere?

（c）Writeageneralexpressionforthemagnitudeofthegravitationalforceontheparticleatadistancer1.0mfromthecenterofthesphere.

習題3：

（Halliday,FundamentalsofPhysics,8th,Ch13,Problem80）

AuniformsolidsphereofradiusRproducesagravitationalaccelerationofagonitssurface.Atwhattwodistancesfromthecenterofthesphereisthegravitationalaccelerationag/3?

（Hint:

Considerdistancesbothinsideandoutsidethesphere.）

（Answer.

and

）

萬有引力（或力場）是一個向量，在積分時必須考慮它的方向，以這一題為例，我們要先選擇適當的座標系，讓所要積分的東西有對稱性，讓y方向都抵銷掉，因此積分時只要積x方向。

記得U=-dF/dx嗎？

如果我們能利用『重力位能』（或重力位）來積分，因為它是純量，積分時可以不必考慮方向性，積完之後再微分加個負號，就可以得到力，我們來試試看！

例題3

球殼半徑為R，面密度σ（單位：

kg/m2），試求出均勻球殼和一質點（質量m）之間的重力位能，再微分求力，以證明牛頓先生的『殼層定理』

先計算質點m跟此質量素間的位能會顯得更簡單

把重力位能U除以P點質點的質量Mp，即U/Mp，就是單位質量的重力位能，這個物理量稱為重力位。

『重力位能』和『重力位』相當於電磁學裡的『電位』和『電力位能』；而『重力』和『重力場』就相對應於電磁學裡的『電力』和『電場』。

我們可以將球殼細分成寬度

的許多環，而每一質量素dm上的諸點與場點間的距離均相同。

質量素dm可以寫成

由餘弦定理

，微分得

將以上關係式代入得：

變數s的範圍由s=D-R到s=D+R，且面密度

，故總位能：

D是球殼中心和質點間的距離，

習慣上我們以r來表示：

即

因此萬有引力可以寫成：

球殼作用在質點Mp上距離（r=D時）的重力為：

如果要算質量均勻分佈的整個球體，可以看成是許多球殼的合成，故可適用相同的結論，這就是牛頓所稱的點質量定理。

⊙想一想⊙

變換s的積分區間為由R－D到R＋D，可以證明球殼內部之位能為常數。

球殼內部任一點的位能為常數是什麼意思呢？

能不能由此求得球殼在其內部一點所產生的重力場是多少呢？

例題4

證明密度為ρ（單位：

kg/m3），半徑為R的均勻實心球體，其重力場隨距離的關係如下圖。

解：

若P點在球內，（r

小於r的球體質量為

，因此重力場

由此可知，實心球體在其內部一點所產生的重力場的強度是線性的，重力場g是r的函數，其大小隨著與球心間的距離增加而增加

別忘了，重力場是一個向量，在這一題中，方向指向球心，因此，

若有一質量Mp的質點在球內部距離球心r的地方，此質點所受到這個實心球（半徑R質量M）產生的重力為

，k是一個常數，k=GMpM/R3。

⊙想一想⊙

F為什麼要寫成負的呢？

看到F=-kr這個式子，你想到什麼定律呢？

若P點在球外，（r>R），則可將整個球體視為是許多球殼的合成，也就是牛頓所稱的點質量定理。

考慮重力是一個向量，方向指向球心，若有一質量Mp的質點在球外距離球心r的地方，此質點所受到這個實心球（半徑R質量M）產生的重力為

例題5（Halliday,FundamentalsofPhysics,6th,SampleProblem14-4）

設地球為均勻的圓球體，半徑R質量M，若有一通道貫穿地球的南北極，則質量Mp的質點在這個通道上，距地心r的地方（r

這個質點在這個通道上會做什麼運動？

解：

根據上面的推論，質點所受的力為

負號表示重力F的方向與位移r的方向相反，這正是虎克定律，

因此，此質點在這個通道上做簡諧運動。

事實上，地球內部的重力場強度比地表還要大的。

原因在於地球並非是均勻球體，每一殼層的密度並不相同，越靠近地心，密度越稠密。

地球內部場的變化情形見圖b。

此外，地球不是正球形，且地球會自轉都會影響實際的g值。

類題1

設質量M、半徑R之半圓環的線密度為λ（單位：

kg/m），求圓心位置處之重力場強度。

解：

每一個質量素dm在圓心位置產生的萬有引力是一個向量，分為x方向和y方向，而且每一個x座標為+x的質量素所產生的重力場，均會有一對應之質量素，其x座標為-x，提供另一反方向的場將之抵銷。

由對稱性可知，半圓環在圓心位置產生的萬有引力並無x分量只有y分量。

我們現在來算半圓環在圓心處所產生的力場：

質量素dm=λds=λRdθ，λ=πR/M。

總力場強度：

由上可知，將一個質量為Mp的質點放在圓心處，著質點所受到半圓環棒的萬有引力為：

⊙想一想⊙

如果是一整個圓環，而不是半圓環。

圓心處的力場為多少？

如果是1/3個圓環，而不是半圓環。

圓心處的力場為多少？