n维向量与向量空间习题解docx.docx
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第三章n维向量与向量空间
1.已知况=（3厂1，5）0=（321），求2d—卩
了3、
厂3、
<3、
解：
2d-卩=2
-1
—
2
=
-4
<5>
丄
0
2.把向量卩表示成向量组a1,a2,ava4线性组合:
（1）卩‘=（1,2丄i）g=（1」丄i）a=（i丄—1厂1）“=（i厂1丄—1）皿=（i—）；
解：
设卩=/ai+Z:
2a2+X^a3+Z:
4a4,先将这组关系写成线性方程组:
£]+&—&—比4=2
*1_“2+*3_*4=1
利用矩阵的初等变换解方程组
（\
1
1
1
fl
1
1
1
n
1
1
-1-1
2
Li（123）、
0
0
-2
-2
1
1
-1
1
-1
1
/
0
-2
0
-2
0
b
-1
-1-1
1丿
<0
-2
-2
-2
oj
1.
<1
0
1
2
1
0
1
0
]、
1
1・1"
<1
0
0
2
0
0
0
0
1]
1
・»
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
<0
1
1
1
0丿
<0
0
0
1
1
27
1000
解得：
=1,k2=*，比3=0,山=一*
所以
⑵卩'=（oaai）q=（1,1丄i）a=（1丄一=（i,—i丄一i）e；=（—i）解：
设卩=々爲+心佝+怎码+心暫，那么先将这组关系写成线性方程组，再利用矩阵的初
等变换解方程组
解得:
k\=_,kr=，比3=，&=—'所以
2_2、22
111
B=—（X]Ct?
（I-
2222
3.己知ana2,a3线性无关，证明+a2,a2+a3,a3+at也线性无关。
解：
假设a1+a2,a2+a3,a3+ai线性相关,则存在一组不全为零的数&也代,使得
/（di+a2）+^2（a2+a3）+Z^（a3+aj=0
g+&）（X[+伙]+^2）a2+伙2+^3）«3=0
k、+&=0
由于a19a2,a3线性无关，“
&+匕=0=>&=0,&=0,比3=0；k2+ky—0
与“&土2代不全为零”的矛盾，所以假设不真.
4.设/］』2,tr.rana2,，曾是线性无关的。
解：
设人為+如、++krdr=0,贝】J
何（X|+级2++k®r
+
+kjr=0
注意这个方程组的前厂个方程
+kr=0
+vr1=°
+krtr=0
仏厂+s『+
只有零解，因为其系数行列式为范德蒙行列式:
1
1l2
r-1.r-1
1h
这说明：
向量组ana2,,%的秩是/?
（«!
，a2,,ar）=r,所以，a19a2,，％是线性无关
的。
5.已知g=（1,2,3）,a；=（3,-1,2）,a；=（2,3,c），问：
（1）c为何值时，ana2,a3线
性无关？
（2）c为何值时，apa2,a3线性相关？
k、+3kr+2kg=0解：
设+k2a2+fc3a3=0*2何_他+3&=0
3k\+2k2+ck3=0
此方程组的系数矩阵的行列式为
1
3
2
1
3
2
a,,a2,a3|=
2
-1
3
込2斤，$3斤
0
-7
-1
3
2
c
0
-7
c-6
1
3
2
4
-r2
0
-7
-1
0
0
c-5
（1）当CH5时，行列式国工（），按照线性齐次方程组的Cramer法则，方程组有唯一的零解：
«=比2=&=0,说明a],a2,a3线性无关。
（2）当c=5时，行列式|A|=0,按照线性齐次方稈组的Cramer法则，方程组有非零解。
说明（X|,旳,5线性相关。
6.求下列向量组的极大无关组：
（1）«；=（6,4,1,—1,2）,a；=（1,0,2,3,-4）,g=（1,4,—9,—16,22）,厲=（7,1,0-1,3）；
解：
注意：
矩阵的秩等于其列向量组的秩。
找出极大无关组也就是要寻求这个向量组的秩。
利用初等变换法
故极大线性无关组为：
a19a2,a4或伽卫3,5
（2）g=（1,—124）屈=（0,3丄2）皿=（3Q7,14）q；=（h—120）越=（2丄5,6）；
'1
0
3
1
2、
1
0
3
1
2
解：
（叫,（/2少3,5，。
5）=
-1
3
0
-1
1
△合、
0
3
3
0
3
2
1
7
2
5
心+4斤
0
1
1
0
1
2
14
0
6>
<0
2
2
-4
-2
1
（1
0
3
1
2）
乔
L2>
0
1
1
0
1
□-2耳
0
0
0
0
0
0
0
0
-4
-4.
故极大无关组为：
a19a2,a4或％卫2少5或4或ana3,a5
（3）a；=（l,l,3,l）,a；=（—1,1,—l,3）,a；=（5,—2,&—9）,4=（—1,3,1,7）；
<1
-1
5-r
<1
-1
5
-n
1
1
-23
々一/j
0
2
-7
4
解：
（al,a2,ava4）=
、1zLzJ"气厂
3
-1
81
ar
0
2
-7
4
<1
3
-97,
<0
4
-14
Q-1
5
-1、
02
■
-7
4
ry~r2y
口-2耳
00
0
0
J）0
0
0丿
故极大无关组为：
ana2或叫,^或«!
，«4
「11143、
[11143、
1-13-21
0-22-6-2
解：
（叫』2,5,5,5）=
21355
2斤a-3斤
0-11-3-1
31567丿
（0-22-6-2丿
⑷a；=（1,1,2,3）,a；=（1,-1,1,1）,a；=（1,3,3,5）,a；=（4,-2,5,6）,a；=（3,1,5,7）。
故极大无关组为：
ana2或cq,a3或或叫,％
7.设a|9a2,,（x〃是一组农维向量，已知单位向量e,,e2,,e”可以被它线性表出，证
a”线性无关。
不妨设
勺=^ii«|+^i2a2+巴2=^2iai+^22tt2+
所以
%）
ISk2n
%与e】0,9ezz等价。
等价的向
e19e2,&可以被apa2,,5线性表出，故ana2,量组具有相同的秩。
即
R（5S,為）=/?
@|疋2,
所以a,,a2,,5线性无关。
解法3.因为单位向量勺，勺，，e”可以被a,,a2,,%线性表示，所以
a?
,»尺（右,e2,,eJ=A/
又由于apa2,，5是农维向量，所以
/?
（di，（i2，，叫）5斤
因此7?
（a19a2,,a?
z）=h,故向量组a19a2,,a〃线性无关.
8.已知（X],%，,%的秩为>0）,证明：
apa2,,解：
设ar,af,是aI9a2,,a$中的厂个线性无关的向量.
/?
（ana2,,%）=厂,则向量组a|9a2,,a19a2,,a$中的任意一个向量耳，考虑向量组
叫,％，,%，為QTQ
由于az,az,,%线性无关，所以g可以由％,%,，叫线性表出。
因此叫，a&,,%构成a19a2,,as的一个极大无关组。
9.已知等价的向量组有相等的秩，那么同维且有相等的秩的两个向塑组是否等价？
并说明理由。
相线性表示，因此不等价。
问Vz.（z=l,2）关于向量的加法和数乘向量运算是不是线性空间？
解：
任取a=（x19x2,，兀jwV|,卩=（y）,y2,，几）'wV]‘则工兀=0,工牙=0。
由于工（兀+牙）=工兀+工牙=°+°=°，=Q,=o,所以
d+卩=（西+刃，兀2+》'2，，£+几）EV
皿二匕、,％,,kxjg\
这说明y={（k，，兀）'兀",且。
=°］关于向量的加法和数乘向量运算是线性空间。
另一方面，如果
a=（西,吃，,xz,）reV2,P=（ypy2,eV2,那么工兀=1，工必=1，而
工（兀+刃）=工兀+Di+1=2
（1+卩=（西+刃，花+『2，，£+儿）'纟V?
这说明V2=|（xpx2,，兀）'誉R,且。
=1］关于向量的加法和数乘向量运算不是线性
空间。
11.设V={税“屮/（）丘硝1凰/（）的次数尊于},V由次数等于〃的所有实数域R上的多项式组成，证明：
对多项式加法和数乘，V不能构成线性空|、可。
证明：
取£（x）二二—兀"wV,但是
n）+QQ）"+T）=Oev
所以v不能构成线性空间。
12.试证由4=（0,1,1）,<=（1,0,!
）,«；=（1,1,0）所生成的线性空I、可就是R'。
解：
首先由于«；,«；,«；gR\所以，
伙］（X］+k2a2+他码人wR,i=1,2,3}uR3
厂011、
<011、
r002、
"01、
（apa2,a3）=
101
->
101
T
101
T
01-1
<11°丿
H1T丿
<01j丿
J）02,
7?
（apa2,a3）=3,即a；=（0,1,1）,a；=（1,0,1）,^=（1,1,0）线性无关的,故R‘中任意向
量可以由向量组线性表示。
所以
&wR,Z=1,2,3}=便
13.设a19a2,,amgRhifi
W=£（«（,a2,,%）={«d|+Zr2a2++kmatneR},
求证：
（1）W为向量空间（称为由apa2,,a,“生成的向量）;
（2）a.,a2,,%的极大无关组是W的一-组基。
证明：
（1）任取a=£|（X]+心（12++匕：
、卩=l}a}+/2a2++lt）iameW,R,由
于
a+p=（Z:
1+Z1）aI+（^2+/2）a2++（^+/,J«zz,eW
a（x=（妁）ot|+（a©）佝++（akm）%gW
故W成为线性空间。
（2）W中的任何向量可被a19a2,,%线性表示，因此也可以被為,佝，，％的极大无关
组线性表示。
根据基的定义，a19a2,,卩”的极大无关组是W的一组基。
复习题二
（2）
[4）
1.设G]=
3
S=
1
旳=
-3
，证明:
<5；
<3>
<-7>
9
7為-3a2-2a3=
24
2a!
-3a2+a3=
0
21丿
O
证明：
只需直接计算
◎
<4）
厂-7、
7a（-3a2-2a3=7
3
-3
1
-2
-3
—
24
O
3
<3）\z
<1>
2a）-3a2+a3=2
3
-3
1
+
-3
=
0
O
<3>
O
2•证明：
包含零向量的向量组是线性相关的。
证明：
设所考虑的向量组为O,a1?
a2,,a/w,则存在不全为零的一组数1,0,0,,0,使
1・0+0・（X]+（）•（!
•）+4-0•—0
这说明含零向量的向量组0,a19a2,,（x加是线性相关的。
3.证明：
包含两个相同向量的向量组是线性相关的。
证明：
设所考虑的向量组为P,P，ana2,,a/n,则存在不全为零的一组数1,—1,0,0,,0,
使
1•卩+（-!
）•卩+0・d]+0a2++0-am=0
这说明包含两个相同向量的向量组P，P，a19a2,,a,”是线性相关的。
4.证明：
线性无关的向量组的任何部分组也是线性无关的。
证明：
设向量组,a,„,aw+1,,为线性无关向量组，而apa2,,a,”为其一个部
分组。
如果部分组a„a2,,%线性相关，则存在不全为零的一组加个数,km,使
^•a,4-^-a2++^-a/w=0
这样就能找到一组m+（$、—m）=s个数&出,,km,0,,0,它们不全为零，使
K，ai+R2S+
这与a19a2,,a,n,aZM+1,,%线性无关是矛盾的。
说明线性无关的向量组的任何部分组也
是线性无关的。
5.证明：
如果三个向Mapa2,a3线性相关,且叭不能由吟旳线性表出，则吟叭仅
差一个数值因子。
证明：
既然a19a2,a3线性相关，就存在不全为零的一组数&出,匕,使
&•di+&•a?
+心•眄=°
我们断定传=0,因为否则
即0（3可由卩,®线性表出，与题设矛盾。
所以
另外匕北2中至少一个非零，比如说息工0,那么^=-—^
6.设比维向量组a,,a2,，曾是线性无关的，根据数值rjn,n之间的大小关系，讨论向量组aI9a2,,（^的线性相关性。
讨论如下：
由于任何〃+1个n维向蚩必线性相关，所以r如果m>n.ana2,必线性相关；
由于线性无关向量组的任何部分组也必线性无关，故若m
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