类比探究训练框架及方案0227.docx
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类比探究训练框架及方案0227
类比探究训练框架
1、类比第一问的思路，直接解决；
##特征明显，直接类比．
2、类比第一问的思路，需分析转化、作图；
如：
①背景图形改变，如正方形变成四边形；
②平行夹中点，需构造平行线；③等线段共端点，需构造旋转．
##辨识特征，类比应用，常需构造．
3、类比第一问的思路，猜测、验证、分析、作图；
①需对比前两问，选择能类比的思路；
边类比，边需探索；
②多个特征同时类比，如平行夹中点、中位线同时用．
4、类比第一问的思路，猜测、验证、分析转化、作图，并应用求解．
分析运动轨迹，转化，作图，如动态背景，满足三点共线时，求解．
用到的常见特征及思路：
旋转：
等线段共端点考虑旋转旋转放缩
中点：
平行夹中点
多个中点考虑中位线直角+中点
等腰+底边中点直角：
一线三等角斜直角放正
平行：
作平行线，造相似
类比探究训练方案
一、类比第一问的思路，直接解决
1.已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．问题提出：
（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=__________°．类比探究：
（2）如图1，若∠COF=m°，则∠BOE=__________°；∠BOE与∠COF的数量关系为____________________．
拓展延伸：
（3）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，
（2）中∠BOE与
∠COF的数量关系是否仍然成立？
请说明理由．
E
F
C
AOB
图1图2
2.已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．问题提出：
（1）如图1，如果AO⊥BO，则∠MON的度数为__________．类比探究：
（2）如图1，请判断∠MON与∠AOB的数量关系为__________．拓展延伸：
（3）如图2，∠MON与∠AOB的数量关系是否仍然成立？
请说明理由．
AA
C
OON
BC
图1图2
3.如图1，已知直线l1，l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，在直线l3上有动点P
（点P与点C，D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．
（1）问题发现：
如果点P在C，D之间运动时，且满足∠1+∠3=∠2，请写出l1与l2之间的位置关系__________；
（2）拓展探究：
如图2，如果l1∥l2，点P在直线l1的上方运动时，试猜想∠1+
∠2与∠3之间的关系并给予证明；
（3）问题解决：
如果l1∥l2，点P在直线l2的下方运动时，请直接写出∠PAC，
∠PBD，∠APB之间的关系．
图1图2
4.如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC，直角顶点B在直线PQ上，且
AD⊥PQ于点D，CE⊥PQ于点E．
（1）△ADB与△BEC全等吗？
为什么？
（2）图1中，AD，DE，CE之间的数量关系是：
____________________．
（3）将直线PQ绕点B旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，那么AD，
DE，CE之间有怎样的数量关系？
说明理由．
PDBEQQ图1图2
5.
（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=
∠ADC=90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°．探究图中线段
BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：
延长FD到点G，使DG=BE，连接AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是
___________________．
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且
BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
图1图2
6.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，AD=AF，∠DAF=90°，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：
CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD三条线段之间的关系．
7.如图1，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在
AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点P．
（1）观察猜想：
①AE与BD的数量关系为____________；
②∠APD的度数为____________．
（2）数学思考：
如图2，当点C在线段AB外时，
（1）中的结论①，②是否仍然成立？
若成
立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展应用：
如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED=∠BEC=90°，AE=DE，BE=CE，对角线AC，BD交于点P，AC=10，则四边形ABCD的面积为
_________．
图1
图2
图3
8.已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
初步感知：
（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：
∠ADB=∠AFC；
②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
问题探究：
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？
请写出∠AFC，∠ACB，∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
类比分析：
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A，F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC，∠ACB，
∠DAC之间存在的等量关系．
图1
图2
A
DBC
图3
9.问题情境：
在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在
Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连接CD．
探索发现：
（1）如图1，BC与BD的数量关系是______________；
猜想验证：
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照
（2）中的作法，请在图3中补全图象，并直接写出BF，BP，BD三者之间的数量关系．
CBCPBCBP图1图2图3
10.（2015湖北荆州22）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：
PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
BCBC图1图2
11.如图，在等边三角形ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB，交直线DN于点F．
（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图1，求证：
CF+BE=CD．
（提示：
过点F作FM∥BC，交射线AB于点M）
（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图2；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图3．请分别写出线段CF，BE，
CD之间的数量关系，不需要证明．
（3）
在
（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC43，则BE=_________，
CD=________．
图3图1图2
12.情境创设：
如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=___________．问题探究：
如图2，△ABC中，AH⊥BC于点H，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E，F作射线HA的垂线，垂足分别为M，N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：
如图，△ABC中，AH⊥BC于点H，以A为直角顶点，分别以AB，AC为一边，向△ABC外作正方形ABME和正方形ACNF，连接EF交射线HA于点
G，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．
E
A
E
F
CB（D）
图1图2图3
二、类比第一问的思路，需分析转化、作图；
13.（2017辽宁盘锦25）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为
AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B，点C重合），连接OC，OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．
（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．
（2）如图2，当点P在CB延长线上时，
（1）中结论是否成立？
若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．
CPBCBPQ图1图2图3
14.（2016广西南宁25）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出．．．．线段AE，EF，AF之间
的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：
BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
图1
图2
图3
15.问题背景：
如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点
BCBD2
D，则D为BC的中点，∠BAD=60°，于是3；
2ABAB
迁移应用：
如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，
D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：
△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①求证：
△CEF是等边三角形；
②若AE=5，CE=2，求BF的长．
A
BDC
图1
A
BC
图2
图3
16.（2015广西贵港26）已知：
△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）
如图1，若点P在线段AB上，且AC=13，PA=2，则：
①线段
PB=______，PC=______；
②猜想：
PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为__________________；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在
（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程；
PA1PC
图1图2
备用图
17.如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线BA上一点，连接CM，以
CM为直角边且在CM的下方（沿CM顺时针方向）作等腰直角三角形CMN，
∠MCN=90°，连接BN．
（1）若AC=BC，∠ACB=90°．
①如图1，当点M在线段AB上（与点A不重合）时，则BN与AM的数量关系为__________，位置关系为_________；
②当点M在线段BA的延长线上时，①的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由．
（2）如图3，若AC≠BC，∠ACB≠90°，∠ABC=45°，点M在线段AB上运动，请判断BN与AB的位置关系，并说明理由．
AA
NCBN图1图2图3
18.（2016山东泰安29）
（1）已知：
△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如图
（1）．求证：
EB=AD；
（2）若将
（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图2），
（1）的结论是否成立，并说明理由；
（3）若将
（1）中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其他条件不变，
EB
则
的值是多少？
（直接写出结论，不要求写解答过程）
AD
图1图2
19.探究发现如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线
CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立．数学思考
某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其他条件不变），结论
AE=EF仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一
点”，“点E是线段BC延长线上的任意一点”，“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．
拓展应用
当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用
上述结论求出S△ABC:
S△AEF的值．
AA
BECBC图1图2
A
BC
图3
20.（2018湖北襄阳24）如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，
GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：
四边形CEGF是正方形；
AG
②推断：
的值为__________；
BE
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH22，则BC=__________．
ADAD
F
FF
BECBCBC图1图2图3
21.（2017江苏连云港27）问题呈现：
如图1，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AE=DG．
求证：
2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）实验探究：
某数学实验小组发现：
若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化．分别过点E，G作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1．如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：
2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S矩形A1B1C1D1．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH，
S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题．
（1）如图4，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，
已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=29，求EG的长．
（2）
如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E，H分别在边AB，AD上，BE=1，DH=2，点F，G分别是边BC，CD上的动点，且FG=10，连接EF，HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．
H
F
图1
CF图2
F图3
AHDADAHD
EGEEG
G
BBCBC
H
AD
E
BC图4图5
22.已知P是Rt△ABC的斜边AB上一动点（不与点A，B重合），分别过点A，
B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是___________，
QE与QF的数量关系是______________．
（2）如图2，当点P不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，
（2）中的结论是否仍然成立？
请画出图形并给予证明．
23.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别为BC，AD的中点，连接
EF并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE．
（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别为BC，AD的中点，连接EF，与CD，AB分别交于点M，N，判断OM，
ON之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图3，在△ABC中，ACAB，点D在AC边上，且AB=CD．E，F分别为BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接
DG，若∠EFC=60°，判断△ADG的形状，并证明你的结论．
图1
图2
图3
三、类比第一问的思路，猜测、验证、分析、作图；
①需对比前两问，选择能类比的思路；
边类比，边需探索；
24.在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PE，
PC．
（1）
如图1，当点E在BC边上时，求证：
PE3PC．
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC，PE有怎样的数量关系？
写出你的猜想，并给予证明．
DCDC
ABABF图1图2
25.【问题发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由．
【类比引申】
如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E，F分别在边BC，CD上，则当∠EAF与∠BAD满足___________关系时，图1中的结论仍成立．【探究应用】
如图3，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=
AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC，CD上分别有景点E，F，且AE⊥AD，DF=40（31）米，现要在E，F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据2≈1.41，
D
F
F
ECBECBEC
图1图2图3
26.如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F1，G1，EF=DG=1，DF=2．
（1）AE=_____，正方形ABCD的边长=__________；
（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α
＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，
C′分别在直线l2，l4上．
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．
图1
图2
27.（2017湖南岳阳23）问题背景：
已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF
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