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历年高考中三角函数试题题型分析

一、考纲要求（三角函数考试要求）

1、了解任意角的概念、弧度的意义。

能正确地进行弧度与角度的换算。

2、理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。

了解余切、正割、余割的定义。

掌握同角三角函数的基本关系式。

掌握正弦、余弦的诱导公式。

了解周期函数与最小正周期的意义。

3、掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。

掌握二倍角的正弦、余弦、

正切公式。

4、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

5、理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（/x+伊）的简图，理解A、切、伊的物理意义。

6、会由己知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx>arctanx表示。

7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

二、三角函数在高考中的地位

三角函数在高考试题中每年必考，分值一般占15%,对本章知识的考查，一般在选择、填空和解答题的17、18题中出现，为中低档试题。

主要考察对概念的理解水平，灵活运用概念和各种三角公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图像考查等是近儿年的热点。

在复习中，还要特别注意使用单位圆和辅助角，这也是解决三角问题的重要工具。

要训练学生恒等变形能力，培养思维能力和运算能力。

三、历年高考中三角函数试题题型分析

三角函I数是数学工具，因此也成为高考的重点。

它既可以单纯以三角内容命题，也常常与其它数学知识（如不等式、平面向量、数列、解析儿何等）综合命题，这是近年来高考命题的趋向。

例1.（全国一17）.（本小题满分10分）

3设左ABC的内角A,B。

所对的边长分别为bc,RacosB-bcosA=-c.

（I）求tanAcotB的值；

（II）求tan（A一B）的最大值.

本题考察三角形中的三角函数问题，利用正弦定理化边为角，用均值不等式求最值时要注意等号成立的条件。

3解：

（I）在ABC中，山正弦定理及acosB-bcosA=-c

3333

pj得sinAcosB-sinBcosA=-sinC=—sin（A+B）=—sinAcosB+—cosAsinB5555

即sinAcosB=4cosAsinB,则tanAcotB=4；

（II）山tanAcotB=4得tanA=4tanB>0

z4tanA-tanB3tanB3.3

tan（A-B）===W-

1+tan*tangl+4tan~Bcot8+4tanB4

当旦仅当4tanB=cotB,tanB=—,tanA=2时，等号成立,2

故当tanA=2,tanB=一时，tan（A一B）的最大值为一.

例2.（安徽卷17）.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+—）

本题考察三角函数的二倍角公式，辅助角公式，周期，对称轴方程及三角函数的值域。

7TJT

（11）求函数/«）在区间上的值域

ITTT7T

解：

（1）vf（x）=cos（2x-y）+2sin（x-—）sin（x+—）

1V3

—cos2x+——sin2x+（sinx一cosx）（sinx+cosx）

=-cos2x+—sin2x+sin2x-cos2x

=-cos2x+—sin2x-cos2x

=sin（2x-^）

.・.周期丁=竺=勿

由2x-—=k7r-^—（keZ）,得尤=—+人（keZ）

6223

/、r勿1、—TCt••—.，

（2）Xe—1,.\2x-—e

122636

7777yyy?

rJl

因为/（x）=sin（2x-一）在区间［-一，一］上单调递增，在区间［一,一］上单调递减,612332

所以当x=—时，f3）取最大值1

.函数图象的对称轴方程为X=k7T+-（keZ）

兀5;r］

又v/（-—）=-—

12222122

TT7T

所以函数在区间［-—,一］上的值域为［-

例3.（江苏卷）在平而直角坐标系xoy中，以。

火轴为始边做两个锐角a,/3,它们的终边分

（I）求tan（a+”）的值;

（II）求。

+2”的值.

本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.

由条件的cos«=—,cos/7=^—因为a,0为锐角，所以sin«=^^,sin/7=—

105105

因此tan«=7,tan/?

=—

zTxctanatanB

（1）tan（a+f3）==-3

1一tanatan/3

（II）tan2/?

=2tan,=£,所以tan1-tan2/?

3tt

a.p为锐角，.I0

<——

例4.（湖北卷16）lZ知函数

f（t）=

g（尤）=cosx•/（sinx）+sin尤•/（cosx）,xe（勿,

17i

7T）・

（I）将函数g（x）化简成As\n（a）xcp）+B（A〉0,口>0,cpg[0,2/r））的形式;

（11）求函数g（x）的值域.

本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、

代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）

如/I、/、/l-sinx•/1-cosx

解：

（I）r（i）=cosx」+smxJ

V1+sinxV1+cosx

/（I-sinx）^,/（I-cosxY

=cosxaz+sinxao

VcosrVsim

1-sinx.1-cosx

=cosx+sinx.

sinx

cosx

17tc

•/xg兀，cos】=-cosi,sinx=—sin尤,

z.1-sinx1-cosx

.g（X）=cosx+sinx

-cosx-sinx

=sinx+cosx-2=V2sinx+—-2.

I4j

zTT_/17兀小5兀/7t5兀

（11）山K

12443

（5兀3Til（3k571

•.•sinr在—上为减函数，在—上为增函数,

I42"23

17k

兀'E"

Sit5兀371it571

又sin—

34244

Q|J—1sin（xH—）<-->—\/2—2V2sin（xH—）-2—3

424

故g（x）的值域为［一扼一2,-3）.

例5（福建卷17）（本小题满分12分）

已知向量/n=（siM,cosA）,/i=（J^,-l）,tn•n=l,_H.A为锐角.

（I）求角A的大小；（II）求函数/（x）=cos2x+4cosAsinx（xgR）的值域.

本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力•满分12分.

解：

（I）山题意得m/?

=V3sinA-cosA=1,

7t71i

2sin（A--）=l,sin（A--）=-.

由A为锐角得A--=-,A=-.

663

（II）山（【）知cosA=1,

o1o3

所以/（x）=cos2x+2sinx=l-2sin2x+2sin5=-2（sinx~—）2.

因为所以sin[—1,1],因此，当sinx=一时，/（x）有最大值一.

-3'

当sinx-1时，/U）有最小值・3,所以所求函数/（]）的值域是-3,一

例6（广东卷16）.（本小题满分13分）

已知函数/（x）=Asin（）r+（p\A>0,0<^<,xgR的最大值是1,其图像经过点

的值.

本题考察三角函数中利用图像求其解析式，平方公式，余弦的和差公式。

JI1

（1）求/（工）的解析式；

（2）i3na,0c

0习，且f（a）=|,/（/?

）=,求/（«-/?

）

八兀I

I2）

./4xIIr\7T5

Sin（F（P）——，III]0<^9<7T9/.（p——719

3236

（2）依题意有cos<7=-,cosB=—

513

【解析】

（1）依题意有A=\,则.广（Q=sin3+°）,将点）代入得32

71JI

迎=一，故了（x）=sin（x+—）=cosx；

13,血2,”e（0,5）,

Lz374.Qz1275

/（a-/7）=cos（cz-/?

）=cosczcos>?

+sinczsin/7=|xl|+|xp-=：

例7.（陕西卷17）.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=2sin—cos—-273sin2—+^3.

444

（I）求函数/（X）的最小正周期及最值;

（II）令g（x）=fx+-,判断函数g（x）的奇偶性，并说明理山.

\3）

本题考察三角函数的二倍角公式，三角函数的周期、最值及奇偶性，关键在三角函数的化简。

.（-、

解：

（I）V/（x）=sin—+V3（l-2sin2—）=sin—+V3cos—=2sin—+—.

2422U3j

•••f（x）的最小正周期7

2ti

Y7TxIF

当sin—+—=一1时，f（x）取得最小值一2；当sin—+—=1时，J'（x）取得最大值2.

<23）\23y

/\/\

Y7T71

（II）由（I）知/（x）=2sin二+—.又g（x）=fx+—.

123ji3）

=2sin—x+—+—=2sin—+—=2cos—

_2（3）3j（22）2

vg（-x）=2cos——=2cos—=g（x）.

.・.函数g（W是偶函数.

例8（山东卷17）（本小题满分12分）

已知函数.心）=J^sin（仞;+0）-cos（函+伊）（00）为偶函数，且函数y=/W

图象的两相邻对称轴间的距离为

（I）求/（-）的值；

（11）将函数y=f（x）的图象向右平移一个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长

到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间

本题考察辅助角公式，三角函数的对称性，三角函数图像变换和单调区间以及运算能力。

解：

（I）J3）=J5sin（tur+仞）一cos（破+e）

=2建sinS+9）-【cosO：

+9）

71=2sin（6tir+^-—）

因为

所以

因此

J（x）为偶函数，

对恒成立，

・/7171

sin（-ojx+（p-—）=sin（必+0.—）.

rm7T7C7T7T

即-sincoxcos（（p——）+cosCOXsin（（p-—）=sina）xcos（（p——）+cosCOXsin（（p——），

6666

整理得sin69XCOS（^9-—）=0.因为CD>0,且xER,所以cos（（p-~）=0.

TTIT

（11）将犬乃的图象向右平移个一个单位后，得到-一）的图象，再将所得图象横坐标

7TTT

伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到/（）的图象.

当

即

2k刀WW2k〃+刀（*仁Z）,

232^^Qyr

4S+W—WK4M+—0EZ）时，g（x）单调递减.

因此幺3）的单调递减区间为4&+芝,4成+—（kwZ）

例9（安徽文）（本小题满分14分）

设函数/（x）=-cos2x-4rsin—cos—+4r3+r2-3r+4,xgR,

其中Mwi,将./•⑴的最小值记为g⑴.

（I）求幺（，）的表达式；

an讨论在区间（-\,\）内的单调性并求极值.

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力.本小题满分14分.

解（I）我们有

f（x）=-cos2x-4rsin—cos—+4f3+尸一3，+4

=sin2x-l-2rsin+4r+r-3r+4=sin2x-2fsinx+r+4广一3，+3

=（sinxt）~+4厂一3,+3.

山于（sinx-/）230,|r|Wl,故当sinx=rlbf,/（x）达到其最小值gQ）,即g（f）=4p-3，+3.

（ID我们有g'Q）=12r-3=3（2r+l）（2r-l）,-l

列表如下:

—L—

〈11）

，—

■

<2）

122J

<2）

g'。

）

—

g（f）极大值g--极小值g

i2）

1（1A

g—=2,极大值为g—=4.

\\2/

例10。

（江西）本小题满分12分

函数v=2cos（g+e\xER,0W使-）的图象与〉轴交于点（成用）,且在该点处切线

的斜率为-2.

（1）求。

和（D的值;

（2）已知点A；,0，点P是该函数图象上一点，点QU。

，J，。

）是PA的中点，当为=§，

TI、

x（）G—,7T时，求玉）的值.

本题把三角函数和导数知识综合起来，主要考察已知函数值求角和已知角求函数值。

解：

（1）将x=。

y=Ji代入函数y=2cos（cox*。

）得cqs。

TT7T

因为0£隹―，所以0=—・

7T又/大/为y'=-2a）sin（a）x+0）,矿|回）=一2,。

=一，所以a）=2,

因此。

=2cos2x+%.

（2）因为点A—,0

。

（和光）是PA的中点，）‘。

=斗’

所以点P的坐标为

阵弋，舟

又因为点P在y=2cos2x+—的图象上，所以cos4x0-

6）

1971

IT771Sir

因为W%冗，所以—266

I—,-/\=ta5tl1ItiA5k137i

从仙得4工0=——或4气——=——

6666

2兀3冗

即尤。

=5或尤（）=彳・

例11.（全国I）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A,BC的对边分别为①bc,a=2bsinA.

（I）求B的大小；

（II）求cosA+sinC的取值范围.

本题考察正弦定理，锐角三角形中角的范围，及根据角的范围求值。

解（I）山a=2/?

sinA,根据正弦定理得sinA-2sinBsinA,所以sinB=-

山△ABC为锐角三角形得B=-

兀

（11）cosA+sinC=cosA+sin兀A

I6J

=cosA+sin

cosA+—cosA+sinA=V3sinA+—

山左ABC为锐角三角形知，

兀'兀-丸八兀冗冗

A>B,B==—•

222263

所以，cosA+sinC的取值范围为——，—.

例12（湖北）（本小题满分12分）

已知△ABC的面积为3,且满足0W舫京6,设屈和花的夹角为6.

（I）求。

的取值范围；

（、

（II）求函数/（0）=2sin2-+9-V3cos20的最大值与最小值.

"4；

本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.

解

（1）设左ABC中角ABC的对边分别为。

，bc,

则山-Z?

csin^=3,OWMcos。

6,可得OWWt。

1,：

.3eT-

2[42

/X_/_

（II）f（0）=2sin2—+。

-y/3cos23=1-cos—+20-^3cos20

\4/_k2

（、

=（1+sin23）-V3cos20—sin20-V3cos204-1=2sin20-—+1.

.・・2WWin20--+13.

I3j

37TJT

四、方法指导

三角函数的三角变换涉及的公式较多，应在掌握这些公式的内在联系及推导过程的基础上，理解并熟记这些公式，掌握公式的正用，逆用，变形用，它可以提高思维起点，缩短思维路径，从而使运算流畅自然。

在恒等变形中，水量减少三角函数式中角的个数，最好只含有相同的允I;尽量减少三角函数式中函数名称的个数，最好只含有同名函数；在函数名称较多的情况下，最好只保留正弦和余弦。

对含有特殊角的三角函数要求出其值来。

能运用方程的思想，把三角函数式的化简与求值问题转化成方程问题求解。

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