34244
Q|J—1sin(xH—)<-->—\/2—2V2sin(xH—)-2—3
424
故g(x)的值域为[一扼一2,-3).
例5(福建卷17)(本小题满分12分)
已知向量/n=(siM,cosA),/i=(J^,-l),tn•n=l,_H.A为锐角.
(I)求角A的大小;(II)求函数/(x)=cos2x+4cosAsinx(xgR)的值域.
本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识,考查运算能力•满分12分.
解:
(I)山题意得m/?
=V3sinA-cosA=1,
7t71i
2sin(A--)=l,sin(A--)=-.
由A为锐角得A--=-,A=-.
663
(II)山(【)知cosA=1,
2
o1o3
所以/(x)=cos2x+2sinx=l-2sin2x+2sin5=-2(sinx~—)2.
i3
因为所以sin[—1,1],因此,当sinx=一时,/(x)有最大值一.
-3'
当sinx-1时,/U)有最小值・3,所以所求函数/(])的值域是-3,一
2,
例6(广东卷16).(本小题满分13分)
已知函数/(x)=Asin()r+(p\A>0,0<^<,xgR的最大值是1,其图像经过点
的值.
本题考察三角函数中利用图像求其解析式,平方公式,余弦的和差公式。
JI1
(1)求/(工)的解析式;
(2)i3na,0c
0习,且f(a)=|,/(/?
)=,求/(«-/?
)
八兀I
I2)
./4xIIr\7T5
Sin(F(P)——,III]0<^9<7T9/.(p——719
3236
3
(2)依题意有cos<7=-,cosB=—
513
【解析】
(1)依题意有A=\,则.广(Q=sin3+°),将点)代入得32
71JI
:
迎=一,故了(x)=sin(x+—)=cosx;
13,血2,”e(0,5),
Lz374.Qz1275
/(a-/7)=cos(cz-/?
)=cosczcos>?
+sinczsin/7=|xl|+|xp-=:
||
例7.(陕西卷17).(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2sin—cos—-273sin2—+^3.
444
(I)求函数/(X)的最小正周期及最值;
TT
(II)令g(x)=fx+-,判断函数g(x)的奇偶性,并说明理山.
\3)
本题考察三角函数的二倍角公式,三角函数的周期、最值及奇偶性,关键在三角函数的化简。
.(-、
解:
(I)V/(x)=sin—+V3(l-2sin2—)=sin—+V3cos—=2sin—+—.
2422U3j
•••f(x)的最小正周期7
2ti
T
2
Y7TxIF
当sin—+—=一1时,f(x)取得最小值一2;当sin—+—=1时,J'(x)取得最大值2.
<23)\23y
/\/\
Y7T71
(II)由(I)知/(x)=2sin二+—.又g(x)=fx+—.
123ji3)
=2sin—x+—+—=2sin—+—=2cos—
_2(3)3j(22)2
vg(-x)=2cos——=2cos—=g(x).
.・.函数g(W是偶函数.
例8(山东卷17)(本小题满分12分)
已知函数.心)=J^sin(仞;+0)-cos(函+伊)(00)为偶函数,且函数y=/W
图象的两相邻对称轴间的距离为
2
(I)求/(-)的值;
8
77
(11)将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长
6
到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间
本题考察辅助角公式,三角函数的对称性,三角函数图像变换和单调区间以及运算能力。
解:
(I)J3)=J5sin(tur+仞)一cos(破+e)
=2建sinS+9)-【cosO:
+9)
22
71=2sin(6tir+^-—)
因为
所以
因此
J(x)为偶函数,
对恒成立,
・/7171
sin(-ojx+(p-—)=sin(必+0.—).
66
rm7T7C7T7T
即-sincoxcos((p——)+cosCOXsin((p-—)=sina)xcos((p——)+cosCOXsin((p——),
6666
整理得sin69XCOS(^9-—)=0.因为CD>0,且xER,所以cos((p-~)=0.
66
TTIT
(11)将犬乃的图象向右平移个一个单位后,得到-一)的图象,再将所得图象横坐标
66
7TTT
伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到/()的图象.
46
当
即
2k刀WW2k〃+刀(*仁Z),
232^^Qyr
4S+W—WK4M+—0EZ)时,g(x)单调递减.
因此幺3)的单调递减区间为4&+芝,4成+—(kwZ)
例9(安徽文)(本小题满分14分)
设函数/(x)=-cos2x-4rsin—cos—+4r3+r2-3r+4,xgR,
其中Mwi,将./•⑴的最小值记为g⑴.
(I)求幺(,)的表达式;
an讨论在区间(-\,\)内的单调性并求极值.
本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.本小题满分14分.
解(I)我们有
f(x)=-cos2x-4rsin—cos—+4f3+尸一3,+4
22
=sin2x-l-2rsin+4r+r-3r+4=sin2x-2fsinx+r+4广一3,+3
=(sinxt)~+4厂一3,+3.
山于(sinx-/)230,|r|Wl,故当sinx=rlbf,/(x)达到其最小值gQ),即g(f)=4p-3,+3.
(ID我们有g'Q)=12r-3=3(2r+l)(2r-l),-l列表如下:
t
—L—
〈11)
,—
■
<2)
122J
2
<2)
g'。
)
+
0
—
0
+
g(f)极大值g--极小值g
i2)
1(1A
g—=2,极大值为g—=4.
\\2/
例10。
(江西)本小题满分12分
函数v=2cos(g+e\xER,0W使-)的图象与〉轴交于点(成用),且在该点处切线
的斜率为-2.
(1)求。
和(D的值;
(2)已知点A;,0,点P是该函数图象上一点,点QU。
,J,。
)是PA的中点,当为=§,
TI、
x()G—,7T时,求玉)的值.
2
本题把三角函数和导数知识综合起来,主要考察已知函数值求角和已知角求函数值。
解:
(1)将x=。
y=Ji代入函数y=2cos(cox*。
)得cqs。
=,
TT7T
因为0£隹―,所以0=—・
26
7T又/大/为y'=-2a)sin(a)x+0),矿|回)=一2,。
=一,所以a)=2,
6
/\
7T
因此。
=2cos2x+%.
IT
(2)因为点A—,0
。
(和光)是PA的中点,)‘。
=斗’
所以点P的坐标为
阵弋,舟
/
71
又因为点P在y=2cos2x+—的图象上,所以cos4x0-
6)
V|
2
1971
V
IT771Sir
因为W%冗,所以—266
I—,-/\=ta5tl1ItiA5k137i
从仙得4工0=——或4气——=——
6666
2兀3冗
即尤。
=5或尤()=彳・
例11.(全国I)(本小题满分10分)
设锐角三角形ABC的内角A,BC的对边分别为①bc,a=2bsinA.
(I)求B的大小;
(II)求cosA+sinC的取值范围.
本题考察正弦定理,锐角三角形中角的范围,及根据角的范围求值。
解(I)山a=2/?
sinA,根据正弦定理得sinA-2sinBsinA,所以sinB=-
2
TT
山△ABC为锐角三角形得B=-
6
兀
(11)cosA+sinC=cosA+sin兀A
I6J
=cosA+sin
cosA+—cosA+sinA=V3sinA+—
2
山左ABC为锐角三角形知,
兀'兀-丸八兀冗冗
A>B,B==—•
222263
所以,cosA+sinC的取值范围为——,—.
22
\/
例12(湖北)(本小题满分12分)
已知△ABC的面积为3,且满足0W舫京6,设屈和花的夹角为6.
(I)求。
的取值范围;
(、
(II)求函数/(0)=2sin2-+9-V3cos20的最大值与最小值.
"4;
本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查推理和运算能力.
解
(1)设左ABC中角ABC的对边分别为。
,bc,
则山-Z?
csin^=3,OWMcos。
6,可得OWWt。
1,:
.3eT-
2[42
/X_/_
(II)f(0)=2sin2—+。
-y/3cos23=1-cos—+20-^3cos20
\4/_k2
(、
=(1+sin23)-V3cos20—sin20-V3cos204-1=2sin20-—+1.
.・・2WWin20--+13.
I3j
37TJT
叩当°=宥时,/•0)^=3;当9=/时,/•©)血=2・
四、方法指导
三角函数的三角变换涉及的公式较多,应在掌握这些公式的内在联系及推导过程的基础上,理解并熟记这些公式,掌握公式的正用,逆用,变形用,它可以提高思维起点,缩短思维路径,从而使运算流畅自然。
在恒等变形中,水量减少三角函数式中角的个数,最好只含有相同的允I;尽量减少三角函数式中函数名称的个数,最好只含有同名函数;在函数名称较多的情况下,最好只保留正弦和余弦。
对含有特殊角的三角函数要求出其值来。
能运用方程的思想,把三角函数式的化简与求值问题转化成方程问题求解。