九年级联考数学大题.docx
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九年级联考数学大题
九年级联考数学大题
1.徐州市云龙湖风景区即将迎来春季旅游高峰期，一家纪念品商店通过调查发现，最近A、B两种纪念品销售最火，该商店计划一次购进两种纪念品共100件，已知这两种纪念品的进价和售价如下表：
A
B
进价
18
26
售价
30
40
设该商店购进A纪念品x件，全部售完这两种纪念品该商店获得利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果该商店购进这100件纪念品的成本预算不超过2160元，那么如何进货才能使获得的利润最大？
最大利润为多少元？
解：
（1）∵该商店购进A纪念品x件，则购进B纪念品（100－x）件，
∴y＝（30－18）x＋（40－26）（100－x）＝－2x＋1400；
（2）根据题意可得：
18x＋26（100－x）≤2160，
解得x≥55，
∴55≤x≤100，
在y＝－2x＋1400中，－2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝55时，y有最大值，最大值为y＝－2×55＋1400＝1290，此时100－55＝45，
∴该商店购进A纪念品55件，B纪念品45件时，获得的利润最大，最大利润为1290元．
2.某文具店按6元/本，4元/本购进甲、乙两种笔记本共100本，将甲种笔记本按8元/本销售．根据以往的销售经验可知，乙种笔记本的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系的图象如图所示．
第2题图
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售完这100本笔记本后获得的总利润为W（元），求乙种笔记本销售单价为多少元时获得最大利润，求出最大利润及此时分别购进甲、乙两种笔记本的数量．
解：
（1）由函数图象可知，y与x之间是一次函数的关系，设y＝kx＋b，
将点（5，50），（9，10）代入y＝kx＋b得
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋100（5≤x≤9）；
（2）由
（1）可知
W＝y（x－4）＋（100－y）×（8－6）
＝－10x2＋160x－400
＝－10（x－8）2＋240，
∵－10<0，∴x＝8时，W最大＝240，
此时y＝－10x＋100＝20，100－y＝80，
答：
当乙种笔记本销售单价为8元时，获得利润最大，最大利润为240元，此时购进的甲、乙笔记本的数量分别为80本、20本．
3.为维护长沙市的生态环境，政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包，乙工程队单独施工140天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作40天后，共完成总工程的，且乙工程队单独完成这项工程需要的天数是甲工程队的3倍．
（1）求甲工程队单独完成这项工程需要多少天？
（2）若施工工期不超过300天，则甲工程队至少要施工多少天？
（3）在
（2）的条件下，若甲工程队每天需支付的工程款为10000元，乙工程队每天需支付的工程款为3000元，应如何安排甲、乙两个工程队才能按时完成工程，且支付的总工程款最少？
解：
（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队需要3x天，
根据题意得：
（＋）×40＋＝，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意．
答：
甲工程队单独完成这项工程需要200天；
（2）由
（1）可知，乙工程队单独完成这项工程需要600天，若安排甲工程队施工m天，则乙工程队还需施工
＝（600－3m）天，
∵施工工期不超过300天，
∴600－3m≤300，解得m≥100，
∴甲工程队至少要施工100天；
（3）设所需支付的总工程款为w元，则
w＝10000m＋3000（600－3m）
＝1000m＋1800000，
∵1000>0，
∴w随m的增大而增大，即当m＝100时，w最小，此时600－3m＝300（天）．
答：
当乙工程队施工300天，同时甲工程队在此期间施工100天刚好完成这项工程，且需支付的工程款最少．
4.在矩形ABCD中，CD＝3，AD＝5，点E是边AD上一点，且＝，点F为CD上一点，连接EF，过点E作PE⊥EF交矩形的边于点P，连接PF.
（1）如图①，若点F与点C重合，试猜想线段AP、CD、AD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若EP交AB于点P，求证：
△FDE∽△PAE；
（3）如图③，若EP交BC于点P，且EF·PE＝，求的值．
第4题图
（1）解：
AP＝AD－CD.
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEP＋∠APE＝90°，
∵PE⊥EF，∴∠AEP＋∠DEC＝90°，
∴∠APE＝∠DEC，
∵AD＝5，＝，∴AE＝3，DE＝2，
∴AE＝CD，∴△APE≌△DEC（AAS），
∴AP＝DE，∵DE＝AD－AE＝AD－CD，
∴AP＝AD－CD；
（2）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEP＋∠APE＝90°，
∵PE⊥EF，∴∠AEP＋∠DEF＝90°，
∴∠APE＝∠DEF，
∴△FDE∽△PAE；
（3）解：
如解图，过点P作PG⊥AD于点G，则PG＝CD＝3，由
（1）得DE＝2，
同
（2）可证△FDE∽△EGP，
第4题解图
∴＝＝，
∴EF＝PE，
∵EF·PE＝，
∴PE2＝，解得PE＝（负值舍去），
∴EF＝3，
∴在Rt△DEF中，DF＝＝，
∴＝，即＝.
5.在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D为AB上一动点，以DB为边在△ABC的同侧作正方形DBEF.
（1）如图①，当点D与点A重合时，分别延长AC、BC交BE、EF于点G、H.求证：
△GAB≌△HBE；
（2）如图②，若EF经过点C，求证：
BC2＝AB·CE；
（3）如图③，若点F在AC上，EF交BC于点M，CM∶MB＝1∶5，且FM≤ME，求tanA的值．
第5题图
（1）证明：
∵四边形ABEF是正方形，
∴∠ABG＝∠E＝90°，AB＝BE.
∵∠BCA＝90°，
∴∠GAB＋∠ABC＝∠ABC＋∠HBE＝90°，
∴∠GAB＝∠HBE.
在△GAB和△HBE中，
，
∴△GAB≌△HBE（ASA）；
（2）证明：
∵四边形DBEF是正方形，
∴∠ABE＝∠E＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝∠ABC＋∠EBC＝90°，
∴∠CAB＝∠EBC.
在△CAB和△EBC中，
，
∴△CAB∽△EBC，
∴＝，
∴BC2＝AB·CE；
（3）解：
设正方形DBEF的边长为a，FM＝x，则ME＝EF－FM＝a－x，
∵FM≤ME，∴x≤a－x，∴a≥2x，
∵CM∶MB＝1∶5，
∴CM∶CB＝1∶6，
∵FE∥DB，△CFM∽△CAB，
∴＝＝，
∴AB＝6FM＝6x，AD＝AB－BD＝6x－a，
∵∠AFD＋∠CFM＝90°，∠CMF＝∠BME，∠EBM＋∠BME＝90°，
∴∠AFD＝∠BME，
又∵∠ADF＝∠E＝90°，
∴△AFD∽△BME，
∴＝，即＝，化简得
2a2－7xa＋6x2＝0，即（a－2x）（2a－3x）＝0，
∴a＝2x或a＝x，
又∵a≥2x，
∴a＝2x，
在Rt△ADF中，tanA＝＝＝.
6.已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF.
（1）如图①，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是________，数量关系为________；
（2）如图②，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），
（1）中的两个结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明；
（3）如图③，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．
第6题图
解：
（1）EF⊥BC，EF＝BC；
【解法提示】
（1）如解图①，连接AH，
第6题解图①
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC，OH＝HF，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，AH⊥BC，∠ABC＝60°，
在Rt△ABH中，AH＝AB·sin60°＝AB＝BC，
又∵OA＝AE，OH＝HF，
∴AH＝EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC；
∵AH＝BC，AH＝EF，
∴BC＝EF，
∴EF＝BC；
（2）EF⊥BC成立，EF＝BC不成立，正确结论为EF＝BC；
第6题解图②
证明：
如解图②，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC，OH＝HF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH⊥BC，∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝BC，
又∵OA＝AE，OH＝HF，
∴AH是△OEF的中位线，
∴AH＝EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC；
（3）EF＝.
7.如图①，在菱形ABCD和等边三角形BGF中，∠ABC＝60°，点G在BC边上，点P是DF的中点，连接PG、PC.
（1）判断PG与PC的关系，并证明；
（2）将△BGF绕点B顺时针旋转60°，如图②，线段PC、PG还满足
（1）中的结论吗？
写出你的猜想，并给出证明；
（3）若将△BGF绕点B顺时针旋转120°，如图③，连接CG，PC＝，求CG的长．
第7题图
解：
（1）PC⊥PG，PG＝PC；
证明：
如解图①，延长GP交DC于点E，
∵点P是DF的中点，∴DP＝FP，
∵△BGF是等边三角形，
∴∠FGB＝60°，∴∠CGF＝180°－60°＝120°，
又∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠DCG＝120°，
∴DC∥GF，
∴∠PDE＝∠PFG，
在△PED和△PGF中，
，
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE＝PG，DE＝FG，
∵DC＝BC，
∴DC－DE＝BC－FG＝BC－BG，
即CE＝CG，
第7题解图①
∴CP是EG的中垂线，即PC⊥PG，
在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，
∴PG＝PC；
（2）猜想仍满足
（1）中结论．
证明：
如解图②，延长GP交DA于点M，连接MC，GC，
∵点P是线段DF的中点，
∴DP＝FP.
∵∠ABC＝60°，∠CBG＝60°，△BGF是等边三角形，
∴点F在AB的延长线上，∠BFG＝60°，
∴GF∥BC∥AD，
第7题解图②
∴∠MDP＝∠GFP，
在△DPM和△FPG中，
，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，DM＝FG＝BG，
在△CDM和△CBG中，
，
∴△CDM≌△CBG（SAS），
∴CM＝CG，∠DCM＝∠BCG，
∴∠MCG＝∠DCB＝120°，
∵PM＝PG，
∴PC⊥PG，∠PCG＝∠MCG＝60°，
第7题解图③
∴PG＝PC；
（3）如解图③，延长GP到点H，使PH＝PG，连接CH，DH，过点F作FN∥DC，
∵∠ABC＝60°，∠CBG＝120°，△BFG是等边三角形，
∴点G在AB的延长线上，点F在CB的延长线上，
∵点P是线段DF的中点，∴FP＝DP，
在△GFP和△HDP中，
，
∴△GFP≌△HDP（SAS），
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∴GF∥HD.
∵FN∥AG∥DC，
∴∠GFN＝∠GFP＋∠PFN＝120°，
∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝∠GFP＋∠PFN＝120°，
∵△BFG是等边三角形，
∴GF＝GB，∴HD＝GB，
在△HDC和△GBC中，，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°，
即∠HCG＝120°，
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝60°，
∵PC＝，
∴CG＝2.
8.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴交x轴于点D.
第8题图
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？
并求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴是否存在点P，使∠DPC＝∠DCP，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：
（1）将A（－1，0），B（4，0），C（0，2）代入y＝ax2＋bx＋c中得，
，解得，
故抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2；
（2）由
（1）知抛物线对称轴为x＝，OB＝4，OC＝2，则BD＝，如解图①，连接BF，CF，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
第8题解图①
将B（4，0），C（0，2）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋2，
设E（m，－m＋2），F（m，－m2＋m＋2），
∴EF＝－m2＋m＋2－（－m＋2）＝－m2＋2m，
∴S四边形BDCF＝S△BCD＋S△BFC
＝BD·OC＋EF·OB
＝××2＋×（－m2＋2m）×4
＝－m2＋4m＋
＝－（m－2）2＋（0＜m＜4），
当m＝2时，yE＝－m＋2＝－×2＋2＝1，
∴当m＝2时，四边形CDBF的面积最大，最大面积为，此时E点的坐标为（2，1）即E（2，1）；
（3）存在．
y＝－x2＋x＋2＝－（x－）2＋，则D（，0），
在Rt△OCD中，OC＝2，OD＝，
由勾股定理得：
CD＝＝，
第8题解图②
如解图②，
①当CD＝DP1时，∠DP1C＝∠DCP1，
∴P1（，）；
②当CD＝DP2时，∠DP2C＝∠DCP2，
∴P2（，－），
综上所述，P点的坐标为
P1（，），P2（，－）．
9.如图，已知二次函数y＝ax2＋x＋c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C的坐标为（8，0），连接AB、AC.
第9题图
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，求△AMN面积的最大值；
（3）点H为x轴上一点，是否存在以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）∵二次函数y＝ax2＋x＋c（a≠0）的图象过点A（0，4）、C（8，0），
∴，解得，
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋4；
（2）设点N的坐标为（t，0），
∵y＝－x2＋x＋4，令y＝0，即－x2＋x＋4＝0，解得x1＝8，x2＝－2，
∴B（－2，0），
第9题解图①
如解图①，过点M作MD⊥x轴于点D.
∵MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴＝，
∵NM∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴＝，∴＝，
∵B（－2，0），A（0，4），C（8，0），N（t，0），
∴AO＝4，BC＝10，BN＝t＋2，
∴MD＝＝＝（t＋2），
∴S△AMN＝S△ABN－S△BMN
＝BN·OA－BN·MD
＝×（t＋2）×4－×（t＋2）×（t＋2）
＝－（t－3）2＋5（－2∴当t＝3时，△AMN的面积最大，最大值为5；
（3）存在以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形，点H的坐标为（－8，0）或（8＋4，0）或（8－4，0）或（3，0）．
【解法提示】如解图②，可分三种情况讨论：
①AH＝AC；②HC＝AC；③AH＝HC；
第9题解图②
设点H的坐标为（n，0），
则AC2＝AO2＋OC2＝42＋82＝80，AH2＝OH2＋OA2＝n2＋16，HC2＝（n－8）2＝n2－16n＋64.
①当AH＝AC时，H在H1处，则n2＋16＝80，解得n1＝－8，n2＝8（与点C重合，舍去），
此时点H的坐标为（－8，0）；
②当HC＝AC时，H在H2或H4处，则（n－8）2＝80，解得n＝8±4，
此时点H的坐标为（8＋4，0）或（8－4，0）；
③当AH＝HC时，H在H3处，则n2＋16＝n2－16n＋64，解得n＝3，
此时点H的坐标为（3，0）．
综上所述，存在以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形，点H的坐标为（－8，0）或（8＋4，0）或（8－4，0）或（3，0）．
10.如图，已知抛物线y＝ax2＋3ax＋c（a≠0）与坐标轴交于A、B、C三点（A点在B点左侧），B（1，0），OC＝3OB.
第10题图
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是抛物线上一动点，且在直线AC下方，求△ACD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）∵B（1，0），∴OB＝1，
∵OC＝3OB，∴OC＝3，∴C（0，－3），
∵抛物线y＝ax2＋3ax＋c（a≠0）过B（1，0）、C（0，－3）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－3；
（2）如解图①，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N，
在y＝x2＋x－3中，令y＝0，
得x2＋x－3＝0，解得x1＝－4，x2＝1，
∴A（－4，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
将点A（－4，0）、C（0，－3）的坐标分别代入，
得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝－x－3，
设点D（x，x2＋x－3），－4∴DM＝－x－3－（x2＋x－3）
＝－（x＋2）2＋3，
∴当x＝－2时，DM取最大值为3，
此时S△ACD＝DM·（AN＋ON）＝×4×DM＝2×3＝6，
∴△ACD面积的最大值为6；
第10题解图
（3）如解图②，
（i）AC为平行四边形的边：
①当点P在x轴下方时，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，－3），
∴设P1（x，－3），
∴x2＋x－3＝－3，
解得x1＝0（舍去），x2＝－3，
∴P1（－3，－3）；
②当点P在x轴上方时，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，
当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵yC＋yP＝yA＋yE＝0，
∴点P的纵坐标为3，
∴设P（x，3），
∴x2＋x－3＝3，
解得x＝或x＝，
∴P2（，3）和P3（，3）；
（ii）AC为平行四边形的对角线，易得此时点P与点P1重合．
综上所述，存在3个符合题意的点P，其坐标分别是P1（－3，－3），P2（，3），P3（，3）．
11.如图，已知点A的坐标为（－2，0），直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y＝ax2＋bx＋c过A、B、C三点．
（1）请直接写出B、C两点的坐标，并求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
第11题图
（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？
解：
（1）B（4，0），C（0，3）；
设抛物线的解析式为y＝a（x＋2）（x－4），
把C（0，3）代入y＝a（x＋2）（x－4），
解得a＝－，
∴抛物线的解析式为：
y＝－（x＋2）（x－4）＝－x2＋x＋3，
又∵y＝－x2＋x＋3＝－（x－1）2＋，
∴顶点D的坐标为（1，）；
【解法提示】将x＝0代入y＝－x＋3，解得y＝3，
∴C（0，3），
将y＝0代入y＝－x＋3，解得x＝4，
∴B（4，0）；
（2）当DP∥BC时，由题知DE∥PF，
此时四边形DEFP是平行四边形，
设直线DP的解析式为y＝mx＋n，
∵直线BC的解析式为：
y＝－x＋3，
∴m＝－，∴y＝－x＋n，
把D（1，）代入y＝－x＋n，解得n＝，
∴直线DP的解析式为y＝－x＋，
∴联立，解得x＝3或x＝1（舍去），
∴把x＝3代入y＝－x＋，解得y＝，
∴P的坐标为（3，）；
（3）由题意可知：
0≤t≤6，
设直线AC的解析式为：
y＝m1x＋n1，
把A（－2，0）和C（0，3）代入y＝m1x＋n1，
得，解得，
∴直线AC的解析式为：
y＝x＋3，
由题意知：
QB＝t，
如解图①，当∠NMQ＝90°时，则OQ＝4－t，
把x＝4－t代入y＝－x＋3，得y＝t，
∴M（4－t，t），MQ＝t，
∵MN∥x轴，∴点N的纵坐标为t，
把y＝t代入y＝x＋3，解得x＝t－2，
∴N（t－2，t），
∴MN＝（4－t）－（－2）＝6－t，
当MN＝MQ时，则6－t＝t，解得t＝，
此时QB＝，符合题意；
如解图②，当∠QNM＝90°时，
∵QB＝t，∴点Q的坐标为（4－t，0）
∴把x＝4－t代入y＝x＋3，得y＝9－t，
∴N（4－t，9－t），∴NQ＝9－t，
∵MN∥x轴，∴点M的纵坐标为9－t，
∴把y＝9－t代入y＝－x＋3，解得x＝2t－8，
∴M（2t－8，9－t），
∴MN＝（2t－8）－（4－t）＝3t－12，
当NQ＝MN时，∴9－t＝3t－12，解得t＝，
∴此时QB＝，符合题意；
如解图③，当∠NQM＝90°，
过点Q作QE⊥MN于点E，
过点M作MF⊥x轴于点F，
设QE＝a，把y＝a代入y＝－x＋3，
∴x＝4－a，
∴M（4－a，a），
把y＝a代入y＝x＋3，∴x＝a－2，
∴N（a－2，a），
∴MN＝（4－a）－（a－2）＝6－2a，
当MN＝2QE时，
∴6－2a＝2a，∴a＝，∴M（2，）
∴MF＝QE＝EM＝EN＝QF＝，OF＝2，
∴OQ＝OF－QF＝，∴QB＝OB－OQ＝，
∴此时t＝，符合题意，
综上所述，当t＝或或时，存在△QMN为等腰直角三角形．
第11题解图
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