不定积分第一类换元法.docx
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不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）
—、方法简介
设/W具有原函数F（"）,即F（“）=/（“），J7（"M"=F（“）+C,如果U是
中间变量，“=0（X）,且设0（X）可微，那么根据复合函数微分法，有
dF[（p{x）]=f[（p（x）]（p'（x）dx从而根据不定积分的定义得
Jf{（p（x）]（p\x}dx=F[^（x）]+C=||/（"）如“=如）•则有定理：
设/（“）具有原函数，”=朋）可导，则有换元公式
Jf[（p（x）]（p\x）dx=【]*/（"）〃"]“=*）
由此定理可见，虽然打[血）]03心是一个整体的记号，但如用导数记号贽中的心及心可看作微分，被积表达式中的心也可当做变量x的微分来对待，从而微分等式（P\x）dx=du可以方便地应用到被积表达式中。
儿大类常见的凑微分形式：
①Jf（ax+b）dx=—J*f（ax+b）d（ax+Z?
）（aH0）；
（2）|/（sinx）cosAz/x=J/（sinx）Jsinx,|f（cosx）sinxdx=-j/（cosx）Jcosx,
[/（tanx）—=f/（tanx）Jtanx,[f（cotx）—=-f/（cotxX/cotx:
Jcos"xJJsinrJ'
3Jf（hyx）-dx=j/（lnx）〃Inx,f（ex）exdx=jf（ex）dex;
X
4|7（疋貯加=丄|7（兀"）〃兀"（心o）,,
JnJJxJxx
“（石）牛=2“（仮M（低）；
⑥复杂因式
【不定积分的第一类换元法】
已知J=F（u）+C
求Jg（x）dx=Jf（（p（x））（p\x）dx=|【凑微分】
==F（“）+C【做变换，令u=（p{x）»再积分】
=F@（x））+C[变量还原，"=（p（x）]
【求不定积分\gMdx的第一换元法的具体步骤如下:
1
（1）变换被积函数的积分形式：
（兀）心=]7（傾功0（.巧心
⑵凑微分：
Jg（x）〃x=J/（0（x））0a）〃x=“（0（x））心心）
（3）作变量代换u=（p（x）得：
Jg（x）&=J/0・X））0G皿=打（傾功〃处:
）=jf（u）du
（4）利用基本积分公式J/（“）血=F（W）+C求岀原函数:
JgWdx=|f（（p（x））（p\x）dx=J/（仅x））〃傾x）=jf（u）du=F（u）+C
（5）将=（p（x）代入上面的结果，回到原来的积分变量x得:
JgWdx=J/（0（x））0G）dx=jf（（p（x}）d（p{x）==F（u）+C=F（（p（x））+C
【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变^u=（p（x）.省略⑶⑷步骤，这与复合函数的求导法则类似。
二、典型例题
①Jf（ax+b）dx=丄Jf（ax+b）d{ax+Z?
）（aH0）；
fw[I-
Jl+x2+Jq+x]
解：
令“=2x-1,du=2tZv,
J角弓2
tdt_1f（f+1-l）d『
==?
J^rT7"
=L|（r+1）Ll.2Vr77+c=l（^+i）L^+c
打〃（1"）+打上-
4J肛孑2」肛卩
令l+F=t
_fd{>[t+1）=JVCT
=2jl+VF+C=2jl+Jl+/+c
=-丄x2xJl-x4+—arcsinx2+C
42
=—（arcsinx2_\l\-x4）+C
2
（2）j/（suix）cosay/x=J/（sinx）6/sin小J/（cosx）siiixdx=-J/（cosx）^cosx,
f/（tan牙）=f/（tanx）Jtanx,f/（cotx）=-ff（cotx\lcotx；
Jcos'"xJJsin^xJ
—++lnlcscx-cotxl+C
3cosxcosx
dx
5•解：
f-
」sinxcos7x
=\
dx
tanxcos4x
sin2x+cos2x
tanxcos2x
Jtanx
sinuf,1•,cos"+—sin*u
2
•dv
2J1+v2
etanxdtanx
」a1tan2x+Z?
2
f1+tan"x.1->.I
=atanx=—tan"x+Intan.v+C
Jtnnr2
有
sin2x-1r
jdx=-J
cos'2x+—sin22x
2
1eJCOSH_1r
=F—i—i=_R
COS"M+—COS*It
22
=-—arctanv+C=-—arctan（cos2x）+C
22
rs■rtanxf
7-解：
"hda宀+胃"
3J/'（Inx）丄dx=J/（Inx）dInx,Jf（ex）exdx=Jf（ex）des；
4
2.解
令«=5x,
弓忤T"吋c
du=5dx
5
Je5xdx=1fe"du=-eu+C=-e5x+C
3•解：
令u=3+4e\du=4eKdx9
=arcsin（bix）+C
^^^十亠+c
xX
（1+"）21+即
3"—2
=2xylex-2-2Jyjex-2（lx
^ex-2=r2,ex=2+r2,x=ln（2+r2）,dx=,dt
2+广
原式=2応F一口寻妇2皿二-4J盲二〃
（丄）〃（-）‘
J兀X。
JXX
=2x\/ex-2-4r+8・-^=arctan-L-+C
V2yl2
=-2_4Je*-2+4、5iirctun^i—1-C
8•解：
f""n人dx=f"八dtanx=fliitanx〃（lntanx）Jcosxsinx」tanxJ
（Intanx）2厂
2
6\f（xn）xn~'dx=-ff（xn）dxn（心0）,
J=2Jf（y[x）d（\[x）；
dx
例2.J
例倚
例6.f，办（a>0）⑴Jyjx（a-x）
1.解：
dy[x=丄上2
2Vx
°3丘_
\/xv
dx=-f（Vl+x2-1>/（l+x2）
2」J17?
希j晋心晋心芒h諾
对于右端第一个积分，凑微分得
[.dx=-[（1-x2）26/（1-x2）=-Vl-x2+C
JVl-x2j
第二个积分中，用代换x=sint
rX2frsin'/,f1-cos21,
■dx=costdt=It
J71-X2cosrJ2
=--—sin2t+C=—arcsinx-—xVl-x2+C
2422
原式=1arcsinx-丄（x+2）J1-F+C
22
4•解：
J；⑴=J
Jx（Jinx+"—Jinx+b）J
=—!
—fy/]nx+ad（\nx+a）+—!
—fy/]nx+bd（\nx+b）a-b）a-bJ
=-2jl-xarcsin4x+2y[x+C
7打（arcsinx）<、=f/（arcsina）Jarcsinx
Vl-x2
=（arctanJx）2+C
=2j\；1+arctanV^〃（arctanVx+1）
=—（1+arctanVx）2+C
5・解：
f山""'dx=farcsinxr/（arcsinx）=-（arcsinx）2+CJ7i77J2
令x=sint,
rdx_『dsint_rdt
x271-x2sin，/Jl-sin'tsin~/
=_cotf+C=_'“7+C
f伽csEM-arcsinx（4
JX2yl\-X2Jv%
Vl-x1
X
arcsinx+ln|.v|+C
•）
arcsinx1+x".
dx
rzarcsmxarcsmx、,
7
JC
Jl-x?
=dZsinx-上兰amsinx+
2A
ln|x|+C
8复杂因式
例i.[4^^c,]
Jx4+l
例3.f—!
—t--In"*、dx丄J1-x2l-x
lr{lrJl+cosx,ri-
例5.I-dx工
Jsinx
1
arctan—
例2.fA/v[1：
J1+x2
-rJ+sinx、.m例6.|^（）dx丄
J1+cosx
1.解:
rX2+1
Jx4+1
2.解:
・・・（arctani）^
x
1
1
7T
+c=
1
1
7T
x2-l
arctan———+
迈x
!
（-）=（z1Xi+（-r
X
]
\+x2
•clx=-f（arctan—）J（arctan—）=-—（arctan—）2+C
Jxx2x
2
\+xfzl1+x、1zt1+x、°-
匚^S口）蔦W口）-+C
4•解：
J
dx（
，‘•=\n（x+\lx2+1）+C
yJX2+I
ln（x+Jl+x2）
\+x2
dx=JJln（x+Jl+P）d（ln（x+Jx2+1））
=-[ln（x+VT+xT）]1+C
3
X
J（tan—）
=>/2j=\I2In
tan—
4
6•解：
J1+COSXJ
Q（1+sinx）（l-cosx）氐
1-cos~x
訂—-
Jsmx
ecosxf；—UX+sin-x
———dx一fexcotxdxsinx」
=[exd（!
—）+
JJsinx
———dx-[excotxdx
sinxJ
=-excotx+bC
sinx
1・任下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立:
-1）.
⑴
Av=
d（ov+b）（“HO）：
⑶
xdv=
d（5x2）：
⑸
x5dx=
d（3宀2）;
X
X
⑺
e2dv=
d（l+e2）；
⑼
dx
=d（l-arcsinv）:
\]\-X2
（11）
cLv
c•）
=d（arctan3x）;
1+9.L
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