初一奥数题及解答.docx

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初一奥数题及解答

初一奥数复习题

　　2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．

　　3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范围．

　　4．设（3x-1）7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．

　　5．已知方程组

有解，求k的值．

　　6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．

　　7．解方程组

　　8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．

　　9．比较下面两个数的大小：

　　10．x，y，z均是非负实数，且满足：

x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4，

求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．

　　11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．

　　12．如图1－88所示．小柱住在甲村，奶奶住在乙村，星期日小柱去看望奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去．请问：

小柱应该选择怎样的路线才能使路程最短？

　　13．如图1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角．

　　14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°．求证：

BC∥AE．

　　15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：

∠AGD=∠ACB．

　　16．如图1－92所示．在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求

　　17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比．

　　18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC∥KL，BD延长线交KL于F．求证：

KF=FL．

　　19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？

说明理由．

　　20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？

　　21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：

6｜（p＋1）．

　　22．设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数，且恰有

　　23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿（包括每个人的两条腿），问房间里有几个人？

　　24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．

　　25．男、女各8人跳集体舞．

（1）如果男女分站两列；

（2）如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴．

　　问各有多少种不同情况？

　　26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？

　　27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒（s）两车错过，若同向而行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．

　　28．甲乙两生产小队共同种菜，种了4天后，由甲队单独完成剩下的，又用2天完成．若甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各用多少天？

　　29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度．

　　30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15％完成计划，乙车间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年这两个车间分别完成税利多少万元？

　　31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价20％，调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多少？

　　32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的牙刷每把涨到1.68元，牙膏每支涨价30％，小红只好买2把牙刷和2支牙膏，结果找回4角钱．试问去年暑假每把牙刷多少钱？

每支牙膏多少钱？

　　33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售出400件，据经验，若每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益？

　　34．从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0．4千米/分钟的速度，从A镇出发驶向B镇，25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？

　　35．现有三种合金：

第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰10％，含镍90％；第三种含铜20％，含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45％的新合金，重量为1千克．

（1）试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；

（2）求新合金中含第二种合金的重量范围；

　　（3）求新合金中含锰的重量范围．

初一奥数复习题解答

　　2．因为｜a｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以

原式=-b＋（a＋b）-（c-b）-（a-c）=b．

　　3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，

｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．

　　4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得

a0+a2＋a4＋a6=-8128．

　　5．②＋③整理得

x=-6y，④

　　④代入①得（k-5）y=0．

　　当k=5时，y有无穷多解，所以原方程组有无穷多组解；当k≠5时，y=0，代入②得（1-k）x=1＋k，因为x=-6y=0，所以1＋k=0，所以k=-1．

　　故k=5或k=-1时原方程组有解．

　　＜x≤3时，有2（x＋1）-（x-3）=6，所以x=1；当x＞3时，有

所以应舍去．

　　7．由｜x-y｜=2得

x-y=2，或x-y=-2，

　　所以

　　由前一个方程组得

｜2+y｜＋｜y｜=4．

　　当y＜-2时，-（y+2）-y=4，所以y=-3，x=-1；当-2≤y＜0时，（y＋1）-y=4，无解；当y≥0时，（2＋y）+y=4，所以y=1，x=3．

　　同理，可由后一个方程组解得

　　所以解为

　　解①得x≤-3；解②得

-3＜x＜-2或0＜x≤1；

　　解③得x＞1．

　　所以原不等式解为x＜-2或x＞0．9．令a＝99991111，则

　　于是

　　显然有a＞1，所以A-B＞0，即A＞B．

　　10．由已知可解出y和z

　　因为y，z为非负实数，所以有

　　　　　　　　　　　u=3x-2y+4z

　　11.

　　所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4．

　　12．小柱的路线是由三条线段组成的折线（如图1－97所示）．

　　我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”（它是线段）．设甲村关于北山坡（将山坡看成一条直线）的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A，B，则从甲→A→B→乙的路线的选择是最好的选择（即路线最短）．

　　显然，路线甲→A→B→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→A→B→乙的路程最短．

　　13．如图1－98所示．因为OC，OE分别是∠AOD，∠DOB的角平分线，又

∠AOD+∠DOB=∠AOB=180°，

　　所以∠COE=90°．

　　因为∠COD=55°，

　　所以∠DOE=90°-55°=35°．

　　因此，∠DOE的补角为

180°-35°＝145°．

　　14．如图1－99所示．因为BE平分∠ABC，所以

∠CBF=∠ABF，

　　又因为∠CBF=∠CFB，

　　所以∠ABF=∠CFB．

　　从而

AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

　　由∠CBF=55°及BE平分∠ABC，所以

∠ABC=2×55°=110°．①

　　由上证知AB∥CD，所以

∠EDF=∠A=70°，②

　　由①，②知

BC∥AE（同侧内角互补，两直线平行）．

　　15．如图1-100所示．EF⊥AB，CD⊥AB，所以

∠EFB=∠CDB=90°，

　　所以EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．所以

　　∠BEF=∠BCD（两直线平行，同位角相等）．①又由已知∠CDG=∠BEF．②

　　由①，②∠BCD=∠CDG．

　　所以

BC∥DG（内错角相等，两直线平行）．

　　所以

∠AGD=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．

　　16．在△BCD中，

∠DBC＋∠C=90°（因为∠BDC=90°），①

　　又在△ABC中，∠B=∠C，所以

∠A＋∠B＋∠C=∠A＋2∠C=180°，

　　所以

　　由①，②

　　17．如图1－101，设DC的中点为G，连接GE．在△ADC中，G，E分别是CD，CA的中点．所以，GE∥AD，即在△BEG中，DF∥GE．从而F是BE中点．连结FG．所以

　　又

S△EFD＝S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG，

　　所以S△EFGD=3S△BFD．

　　设S△BFD=x，则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点，所以

S△CEG=S△BCEE，

　　从而

　　所以

SEFDC=3x＋2x＝5x，

　　所以

S△BFD∶SEFDC=1∶5．

　　18．如图1－102所示．

　　由已知AC∥KL，所以S△ACK=S△ACL，所以

　　即　　　　　　　　　　KF=FL．

　　＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2（a十b＋c）=27，矛盾！

　　20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”（8-k）-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格（偶数个），经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．

　　21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1（k≥1），则p+2=3（2k＋1）不是质数，所以，p=6k＋5（k≥0）．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜（p＋1）．

　　22．由题设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小，可设n=2α3β5γ（β≥1，γ≥2），且有

（α+1）（β+1）（γ＋1）=75．

　　于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时

（α+1）（β+1）=25．

　　所以

　　故（α，β）=（0，24），或（α，β）=（4，4），即n=20·324·52

　　23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得

3x＋4y+2（x+y）＝43，

　　即5x+6y＝43．

　　所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．

　　24．原方程可化为

7x-8y+2z＝5．

　　令7x-8y=t，t＋2z=5．易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是

　　而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是

　　把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是

　　25．

（1）第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、女各有

8×7×6×5×4×3×2×1＝40320

　　种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×403202种不同情况．

（2）逐个考虑结对问题．

　　与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，…，且两列可对换，所以共有

2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640

　　种不同情况．

　　26．万位是5的有

4×3×2×1=24（个）．

　　万位是4的有

4×3×2×1=24（个）．

　　万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是4的有如下4个：

34215，34251，34512，34521．

　　所以，总共有

24+24＋6+4＝58

　　个数大于34152．

　　27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即

92＋84=176（米）．

　　设甲火车速度为x米/秒，乙火车速度为y米/秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速度为x-y，依题意有

　　解之得

　　解之得x=9（天），x＋3=12（天）．

　　解之得x=16（海里/小时）．

　　经检验，x=16海里/小时为所求之原速．

　　30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得

　　解之得

　　故甲车间超额完成税利

　　乙车间超额完成税利

　　所以甲共完成税利400+60=460（万元），乙共完成税利350+35=385（万元）．

　　31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得

　　由②有

0.9x+1.2y=148.5，③

　　由①得x=150-y，代入③有

0.9（150-y）＋1.2y＝148.5，

　　解之得y=45（元），因而，x=105（元）．

　　32．设去年每把牙刷x元，依题意得

2×1.68＋2（x+1）（1+30％）=[2x＋3（x+1）]-0.4，

　　即

2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，

　　即2.4x=2×1.68，

　　所以x=1.4（元）．

　　若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4（元）．

　　33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利（4-x）元，其中0＜x＜4．由于减价后，每天可卖出（400+200x）件，若设每天获利y元，则

　　y＝（4-x）（400+200x）

　　＝200（4-x）（2+x）

　　=200（8＋2x-x2）

　　=-200（x2-2x+1）＋200+1600

　　=-200（x-1）2+1800．

　　所以当x=1时，y最大=1800（元）．即每件减价1元时，获利最大，为1800元，此时比原来多卖出200件，因此多获利200元．

　　34．设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了（25+x）分钟，所以甲乙两人走的路程分别是0．4（25+x）千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等，所以

0.4（25+x）=0.6x，

　　解之得x=50分钟．于是

左边=0.4（25＋50）=30（千米），

右边=0.6×50=30（千米），

　　即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A，B两镇之间只有28千米．因此，到B镇为止，乙追不上甲．

　　35．

（1）设新合金中，含第一种合金x克（g），第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有

（2）当x=0时，y=250，此时，y为最小；当z=0时，y=500为最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：

最小250克，最大500克．

　　（3）新合金中，含锰重量为：

x·40％＋y·10％+z·50％=400-0.3x，

　　而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：

最小250克，最大400克．