江苏省高考数学理科密卷5.docx

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江苏省高考数学理科密卷5

高考数学密卷（5）理

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．集合，若，则．

2．若复数（为虚数单位，）满足，则=．

3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西

向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．

4．函数，的单调减区间为．

5．下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为．

第5题

6．如图是某学生次考试成绩的茎叶图，则该学生次考试成绩的标准差=．

7．已知，，且，则的最小值为．

8．已知平面α，β，直线，，给出下列命题：

①若，，则；②若，，则；

③若，则；④若，，则.

其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．

9．等差数列的前项和为，已知，且数列也为等差数列，则=．

10．设a为实数，已知函数f（x）＝|x－1|＋|x＋1|，且f（2a－3）＝f（a），则满足条件的a构成的集合为．

11．已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是

两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为，则双曲线的离心率为．

12．已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角

的正切值为，，则的值为．

13．在平面直角在平面直角坐标系中，已知圆，圆，动点在直线上的两点之间，过点分别作圆的切线，切点为，若满足，则线段的长度为．

14．已知函数．若对任意实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值集合为．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，

且．

（1）求角的大小；

（2）若△ABC的外接圆的半径为，若，求的值

16．（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BCD＝60°，点E是BC边

的中点，AC，DE交于点O，PO＝2，且PO⊥平面ABCD.

（1）求证：

PD⊥BC；

（2）在线段AP上找一点F，使得BF∥平面PDE，

并求此时四面体PDEF的体积．

17．（本小题满分14分）

为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休

闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）．以AB所在直线为x轴，AB的垂直

平分线为y轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数

模型．园区服务中心P在x轴正半轴上，PO=百米．

（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的

最短长度；

x

（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．

18．（本小题满分16分）

如图，已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点P，

直线的方程为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知椭圆内一点，过点E作一条斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，

交直线于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为．问：

是否存在常数，

使得？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

设数列的前项和，对任意，都有（为

常数）．

（1）当时，求；

（2）当时，

（ⅰ）求证：

数列是等差数列；

（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，

且，求数列的通项公式．

20．（本小题满分16分）

已知函数，．

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）设，试讨论函数的单调性；

（3）当时，若存在正实数满足，

求证：

．

高考模拟试卷（5）

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．

A．[选修4－1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，过点作半圆的切线，

过点作于点.求证：

．

B．[选修4－2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

设点在矩阵对应变换作用下得到点．

（1）求矩阵的逆矩阵；

（2）若曲线C在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线C的

方程．

C．[选修4－4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数），直线与曲线相交于两点．

（1）求的长；

（2）求点到两点的距离之积．

D．[选修4－5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知，且，求证：

．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．

22．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1ABAC2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在

线段A1B上．

（1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成角的大小；

N

（2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，

求线段BP的长度．

23．（本小题满分10分）

已知抛物线，过直线：

上任一点向抛物线引两条切线

（切点为，且点在轴上方）．

（1）求证：

直线过定点，并求出该定点；

（2）抛物线上是否存在点，使得．

高考模拟试卷（5）参考答案

数学Ⅰ

一、填空题：

1．【答案】0．

【解析】因为，所以，又，所以，所以．

2．【答案】．

【解析】因为，所以，所以．

3．【答案】

【解析】遇到红灯的概率为．

4．【答案】．

【解析】，由，及得

函数的单调减区间为．

5．【答案】2021．

【解析】满足条件的正整数m的取值为2019，2020，2021，

所以正整数m的最大值为2021．

6．【答案】．

【解析】学生8次考试成绩的平均值为87，则标准差为．

7．【答案】．

【解析】由，，得，当且仅当时

等号成立，又，则，所以的最小值为．

8．【答案】③④　

【解析】对于①②，平行的传递性仅限于相同的元素（点、线、面），因此均不对．

9．【答案】19．

【解析】因为数列是等差数列，设公差为，则，所以，又也为等差数列，所以，所以．

10．【答案】

【解析】由由，得或

或解得或．

11．【答案】．

【解析】如图所示AF的斜率为，所以

且AF＝AB，所以是等边三角形，

所以，所以，

所以，由双曲线的定义可知，

所以双曲线的离心率为．

12．【答案】．

【解析】令，则，

所以，所以，

由正弦定理可得，所以．

13．【答案】．

【解析】由得，所以，

所以，设，所以，

即，点P在圆上及圆内，

所以EF为直线截圆所得的弦，所以EF=．

14．【答案】．

【解析】令，，所以函数在上递增，在

上递减，又，所以，当且仅当时等号成立，因为对任

意实数，总存在实数，使得成立，且过原点的直线与

切于点，所以函数的图象是不间断的，故．

二、解答题：

15．解：

（1）由，

得，即．

所以，即，

所以．因为，所以．

（2）因为△ABC的外接圆的半径为，由正弦定理得，，

所以，所以．

由余弦定理知，，

即，所以，即，

因为所以

所以△ABC为直角三角形，且

所以。

16．

（1）由题可得△BCD为正三角形，E为BC中点，故DE⊥BC.

又PO⊥平面ABCD，BC平面ABCD，则PO⊥BC，

而DE∩PO＝O，平面，

所以BC⊥平面PDE.

又PD平面PDE，故PD⊥BC.

（2）取AP中点为F，再取PD中点为G，连结FG.

则FG为△PAD中位线，故FGAD，

又BEAD，所以FGBE，于是四边形BFGE为平行四边形，

因此BF∥EG.又BF平面PDE，EG平面PDE,

所以BF∥平面PDE.

由

（1）知，BC⊥平面PDE.则有BC⊥PE，BC⊥DE，

而BC∥FG，故FG⊥PE，FG⊥DE，且DE∩PE＝E，

所以FG⊥平面PDE.

于是四面体PDEF的体积为V=S△PDE·FG＝××2××1＝1.

另解（等体积转化）：

因为BF//面PDE，则B，F两点到平面PDE的距离相等，

所以四面体PDEF的体积等于四面体PDEB，

因为PO⊥平面ABCD，所以VP-BDE=·PO·S△BDE=1.

17．解：

（1）（方法一）设，，

则，

当且仅当，即时取等号．

所以的最小值为百米．

（方法二）设直线（其中斜率一定存在），代入，

得，化简为．

设则，（）

所以，

令，则，

当且仅当等号成立，即时成立．

综上，的最短长度为百米．

（2）当直线与边界曲线相切时，最短．

设切点为，由得，

所以切线的方程为．

因为在轴正半轴上，且PO=，所以点坐标为．

因为切线过点，所以，

整理得，解得，或．

因为，所以，此时切点为，切线方程为．

令，得，即点在线段上且距离轴百米．

答：

当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．

18．解：

（1）因为椭圆的离心率为，所以，

又椭圆过点，所以，

所以，，所以椭圆方程为．

（2）设直线的方程为：

，令，则，所以点，

设，

所以

．

由，可得．

所以，，

所以．

又因为，所以，

所以存在，使得．

19．解：

（1）当，，时，．①

当时，，所以．

当时，．②

①－②得：

．因为，所以，所以，

所以是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以．

（2）（ⅰ）当，，时，．③

当时，．④

③－④得：

，⑤

所以．⑥

⑤－⑥得：

．

因为，所以即，

所以是等差数列．

（ⅱ）因为，所以．

因为，所以，所以．

因为，所以．又因为，

所以，所以或．

当时，，，，

所以不符合题意．

当时，，，

所以满足题意．

所以．

20．

（1）解：

因为，所以，

因为在处取得极值，

所以，解得．

验证：

当时，，

易得在处取得极大值．

（2）解：

因为，

所以．

①若，则当时，，所以函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减．

②若，，

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减；

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减．

（3）证明：

当时，，

因为，

所以，

即，

所以．

令，，

则，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增．

所以函数在时，取得最小值，最小值为．

所以，

即，所以或．

因为为正实数，所以．

当时，，此时不存在满足条件，

所以．

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】

A．证明：

因为为圆的切线，弧所对的圆周角为，

所以．①

又因为为半圆的直径，

所以．

又BD⊥CD，所以．②

由①②得，

所以．

B．

（1），，所以．

（2）设曲线上任意一点在矩阵对应变换作用下得到点，

则，所以．

又点在曲线上，所以，即．

所以曲线的方程为．

C．

（1）由，得，所以，

即，所以曲线是以为圆心，为半径的圆．

直线的普通方程为．

所以圆心到直线的距离为，

所以．

（2）点在直线上，设两点对应的参数分别为．

将与联立可得，

所以．

所以．

D．证法一：

因为

所以．

证法二：

分析法，

要证，

即证，

即证，

即证，

由基本不等式易得．

22．以为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，

N

则，，，，．

（1）若P是线段A1B的中点，

则，，．

所以．

又，所以．

所以直线MP与直线AC所成的角的大小为．

（2）由，得．

设，，，

则，

所以，所以，所以．

设平面的法向量，

则，，

所以取．

因为，设直线与平面所成角为．

由，得．

所以，所以．

23．

（1）设．

当时，，则，所以直线AT的方程为：

．

代入点得，所以，又，

所以，得，同理，

所以直线：

，所以直线过定点．

（2）因为直线过定点，故设：

，

由得，所以．

设，因为，所以，

所以，

即，

，，

．又，

所以，所以，

所以或．因为点B不在直线ST上，

所以．因为，

所以当或时，抛物线上存在点B；

当时，抛物线上不存在点B．