二次函数与圆综合压轴题+例题+巩固+答案.docx
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二次函数与圆综合压轴题+例题+巩固+答案
【例1】.如图，点M4，0
，以点M为圆心、2为半径的圆与
x轴交于点A，B．已知抛物
y
1
x2
bxc过点A和B，与y轴交于点C．
6
⑴求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
⑵点Q
8，m在抛物线
1
2
P为此抛物线对称轴上一个动点，求
y
xbxc上，点
PQ
PB
6
最小值．
y
⑶CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
C
D
A
Bx
O
M
E
【巩固】已知抛物线yax2bxc与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式
yx2并且线段CM的长为22
（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1，0）、B（X2，0），且点A在B的左侧，求线段
AB的长。
（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。
【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点C（0，4）为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于
点A，
AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，
点Q从O
点开始沿x轴正方向以每秒
4
个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，
设运动时间为t（秒）．
⑴当t1时，得到P
Q
P
Q
三点的抛物线解析式及对称轴
l；
1
、1
两点，求经过A、1、
1
⑵当t为何值时，直线
PQ与⊙C相切？
并写出此时点
P和点Q的坐标；
⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴
l上存在一点N，使NPNQ最小，求出点N的坐标并说
明理由．
y
l
A
P1PB
C
OQ1Qx
提示：
（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．
（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由
此可求出a的值．
（3）本题的关键是确定
N的位置，先找出与
P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接
P′Q，那么
P′Q与
直线l的交点即为所求的
N点，可先求出直线
P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．
【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数
二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为4，4
ykx1的图象与
．平行于x轴的直线
l过0，1点．
⑴求一次函数与二次函数的解析式；
⑵判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
⑶把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位t0，二次函数的图象与x
轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的
面积最小？
最小面积是多少？
y
Ox
l
【例
3】如图
1,⊙O的半径为
1，正方形
ABCD顶点
B坐标为
5，0
，顶点
D在⊙O上运动．
⑴当点
D运动到与点
A、O在同一条直线上时，试证明直线
CD
与⊙O相切；
⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；
⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．
y
C
D
O
B
5x
1
A
图1
【巩固】如图，已知点
A从
1，0
出发，以
1个单位长度
/秒的速度沿
x轴向正方向运动，以
O，A为顶点作菱形
OABC，使点
B，C在第一象限内，且
AOC
60；以P0，3
为圆心，
PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：
⑴点C的坐标（用含t的代数式表示）；
⑵当点A在运动过程中，所有使P与菱形
OABC的边所在直线相切的
t的值．
y
P
CB
O1Ax
【例4】已知：
如图，抛物线y
1
x2
23
xm与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
3
3
ACB90
⑴求m的值及抛物线顶点坐标；
⑵过A，B，C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点
的⊙M的切线分别交
x轴、y轴于点F，G，求直线FG的解析式；
⑶在条件⑵下，设
P为CBD上的动点（P不与C，D重合），连结PA交y轴于点H，问是
否存在一个常数k，始终满足AHAP
k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请
说明理由．
y
D
M
AO
B
Fx
C
E
G
【巩固】如图，已知点
A的坐标是
1，0
，点B的坐标是
9，0
，以AB为直径作
O，
交y轴的负半轴于点
C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
⑴求抛物线的解析式；
⑵点E是AC延长线上一点，
BCE的平分线CD交O于点D，连结BD，求
直线BD的解析式；
P，使得
PDB
CBD？
如果存在，请
⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点
求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
y
O
O'
B
A
x
C
D
E
课后作业：
1.如图，直角坐标系中，已知两点O0，0，A2，0，点B在第一象限且
形，OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点
OAB为正三角D．
⑴求B，C两点的坐标；
⑵求直线CD的函数解析式；
⑶设E，F分别是线段AB，AD
上的两个动点，且
EF
平分四边形
ABCD
的周长．试探究：
AEF的最大面积？
yB
C
D
OAx
参考答案
例1
【巩固】
例2
分析：
（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线
的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．
（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因
此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由
此可求出
a的值．
（3）本题的关键是确定
N的位置，先找出与
P点关于直线
l对称的点
P′的坐标，连接
P′Q，那么
P′Q与
直线
l的交点即为所求的
N点，可先求出直线
P′Q的解析式，进而可求出
N点的坐标．
【巩固】
例3
【巩固】
例4
【巩固】
作业
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